Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[eukleidhs1821]

Eκπληκτικη ασκηση οτι πρεπει για δ θεμα.Μικροτερο ισο και τιμες θεωρημα φερματ!!Θες 2 θεωρηματα φερματ πως ομως.Πας το f(x) στο αλλο μελος και στις 2 ανισωσεις και θεωρεις 2 συναρτησεις.Απο κει και περα πρεπει να αποδειξεις με κριτηριο παρεμβολης οτι το οριο της f στο μηδεν ειναι μηδεν.Αρα οι δυο συναρτησεις εχουν τοπικο ακροτατο στο μηδεν.Δημιουργειται ενα συστημα που υπολογισεις τα φ(π) και φ(π/2).Γυρνας στην πανω σχεση απο τη μια βγαζεις φ(χ)>=ημχ και απο την αλλή βγαζεις φ(χ)<=ημχ+αλλη μια παραταση που αποδεικνυεται θεωρωντας επιπλεον συναρτηση και μελετωντας ως προς μονοτονια οτι ειναι αρνητικο.αρα βγαζεις φ(χ)<=ημχ το οποιο σε συναρτηση με το φ(χ)>=ημχ που εχεις συναληθευει στο φ(χ)=ημχ

 

[kvstas92]

Eκπληκτικη ασκηση οτι πρεπει για δ θεμα.Μικροτερο ισο και τιμες θεωρημα φερματ!!Θες 2 θεωρηματα φερματ πως ομως.Πας το f(x) στο αλλο μελος και στις 2 ανισωσεις και θεωρεις 2 συναρτησεις.Απο κει και περα πρεπει να αποδειξεις με κριτηριο παρεμβολης οτι το οριο της f στο μηδεν ειναι μηδεν.Αρα οι δυο συναρτησεις εχουν τοπικο ακροτατο στο μηδεν.Δημιουργειται ενα συστημα που υπολογισεις τα φ(π) και φ(π/2).Γυρνας στην πανω σχεση απο τη μια βγαζεις φ(χ)>=ημχ και απο την αλλή βγαζεις φ(χ)<=ημχ+αλλη μια παραταση που αποδεικνυεται θεωρωντας επιπλεον συναρτηση και μελετωντας ως προς μονοτονια οτι ειναι αρνητικο.αρα βγαζεις φ(χ)<=ημχ το οποιο σε συναρτηση με το φ(χ)>=ημχ που εχεις συναληθευει στο φ(χ)=ημχ

παναγια μου

 

[eukleidhs1821]

παναγια μου

μισο λεπτο κατι δεν λεω σωστα καταληγω φ(χ)>=ημχ και φ(χ)<=ημχ+(e^x-1-6x)/5 -φ(χ)>=-ημχ-(e^x-1-6x)/5 προσθετω κατα μελη 0>=-(e^x-1-6x)/5 e^x-1-6x>>=0

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Απριλίου 2020

μαρκο βασιλη κατι κανω λαθος στο τελος

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Απριλίου 2020

θα μπορουσες να δημιουργησεις και το οριο της παραγωγου και να κανεις απευθειας κριτηριο παρεμβολης αλλα δε συμπιπτουν τα ακριανα ορια οποτε δεν μπορεις να το εφαρμοσεις.για καποιο περιεργο λογο δεν μπορω να βγαλω το φ(χ)<=ημχ και σε συναρτηση με το φ(χ)>=ημχ να τα βγαλω ισα

 

[eukleidhs1821]

μαρκο βασιλη απαντα ρε φιλε

 

[Μάρκος Βασίλης]

Η σχέση είναι αυτή, αν την είδα καλά:

Αντικαθιστώντας το 0 - κλασικό αυτό σε τέτοιες ασκήσεις - παίρνουμε αμέσως ότι f(0)=0.

Θεωρούμε για αρχή τη συνάρτηση:

οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η g είναι μηδενική. Αρχικά, ας παρατηρήσουμε ότι g(0)=0 και:

Επίσης, g'(0)=0 (εύκολο αυτό, απλά παραγωγίζουμε).

Οπότε η δοσμένη σχέση ξαναγράφεται ως εξής:

Πού, άμα κάνουμε τις πράξεις, δίνει:

(1)

Τώρα, αν x>0, διαιρώντας με x παίρνουμε:

οπότε, παίρνοντας και ένα όριο καθώς το χ «πέφτει» προς το 0 έχουμε:

αφού:

Αν τώρα x<0 τότε διαιρούμε και πάλι με x, απλώς θα αλλάξει η φορά, οπότε παίρνουμε:

και, για τους ίδιους λόγους παίρνοντας όριο καθώς το x «ανεβαίνει» προς το 0:

Οπότε παίρνομε τις σχέσεις:

Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε:

Οπότε, αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε:

που ήταν και το ζητούμενο.

Μερικές οδηγίες για αυτές τις ασκήσεις είναι:

1. Δεν πανικοβαλόμαστε.
2. Όταν σου δίνει και κάποιες τιμές της συνάρτησης, δοκίμασε να τις αξιοποιήσεις κάπως. Αν είναι τιμές της ίδιας της συνάρτησης, αντικατάστησε τα νούμερα να δεις τι βγάζει. Αν είναι, όπως εδώ, για κάποια παράγωγο, τότε δες την επόμενη συμβουλή (χεχεχε).
3. Σου λέει κάτι για την παράγωγο και σου δίνει και μία ανισότητα. Σιγά τα αυγά, αφού δεν έχει νόημα να παραγωγίσουμε μία ανισότητα. Οπότε, εδώ έρχεται λίγο μία πιο ουσιαστική σκέψη στο παιχνίδι. Τι είναι η παράγωγος; Μα, το όριο του λόγου μεταβολής. Όριο, λοιπόν, σου δίνει σαν υπόθεση. Και σου δίνει και ανισότητα. Χμμμ... Μπορείς να πάρεις όριο σε ανισότητα χωρίς να «χαλάσει». Άρα, κάπως πρέπει να εμφανίσεις τον λόγο μεταβολής μέσα στην ανισότητα.
4. Εδώ κάναμε και ένα άλλο κόλπο. Σου έλεγε, δείξε ότι f(x)=ημx. Ωραία, αλλά αυτό δε σημαίνει ότι δεν μπορείς να παίξεις με το ζητούμενο. Σύνηθες τρυκ είναι αυτό που είδες, μιας και το να δείξεις ότι μία συνάρτηση είναι 0 είναι, συνήθως, λίγο πιο απλό στο μάτι.
5. Γενικά, σχεδόν ποτέ μία δύσκολη άσκηση δε βγαίνει με το να ξεκινήσουμε από τα δεδομένα μας και, ντουγρού, να πάμε στα ζητούμενα με συμπεράσματα που θα βγάζουμε το ένα πίσω από το άλλο (forward chaining, που λέμε). Το σύνηθες εδώ είναι να δουλεύουμε με τη μέθοδο του «αρκεί». Ξεκινάς από το ζητούμενο και βρίσκεις είτε άλλες διατυπώσεις του (όπως κάναμε εδώ) είτε πράγματα που αν ισχύουν, δίνουν μαζί με άλλα συμπεράσματα ενδεχομένως, και το ζητούμενο.
6. Keep it simple! Μαθηματικά κάνουμε, δεν κάνουμε πυρηνική φυσική (αυτό πάει και σε άλλο thread... :Ρ). Τι κάναμε παραπάνω στην ουσία; Είδαμε στις υποθέσεις μία παράγωγο σε ένα σημείο, πήραμε τον ορισμό της παραγώγου. Είδαμε το
   
   σε ένα άλλο σημείο, το διαιρέσαμε με x και πήραμε ορισμό της παραγώγου. Είδαμε ανισότητα, βρήκαμε κάποια όρια. Απλά πράγματα. Μην πηγαίνει ο νους σου στα περίπλοκα πρώτα - την κάνουν συχνά αυτή τη ζημιά τα φροντιστήρια/ιδιαίτερα, ομολογουμένως. Με τις 4-5 απλές ιδέες θα συνθέσεις το σύνθετο αποτέλεσμα στο τέλος.

 

[eukleidhs1821]

Η σχέση είναι αυτή, αν την είδα καλά:

Αντικαθιστώντας το 0 - κλασικό αυτό σε τέτοιες ασκήσεις - παίρνουμε αμέσως ότι f(0)=0.

Θεωρούμε για αρχή τη συνάρτηση:

οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η g είναι μηδενική. Αρχικά, ας παρατηρήσουμε ότι g(0)=0 και:

Επίσης, g'(0)=0 (εύκολο αυτό, απλά παραγωγίζουμε).

Οπότε η δοσμένη σχέση ξαναγράφεται ως εξής:

Πού, άμα κάνουμε τις πράξεις, δίνει:

(1)

Τώρα, αν x>0, διαιρώντας με x παίρνουμε:

οπότε, παίρνοντας και ένα όριο καθώς το χ «πέφτει» προς το 0 έχουμε:

αφού:

Αν τώρα x<0 τότε διαιρούμε και πάλι με x, απλώς θα αλλάξει η φορά, οπότε παίρνουμε:

και, για τους ίδιους λόγους παίρνοντας όριο καθώς το x «ανεβαίνει» προς το 0:

Οπότε παίρνομε τις σχέσεις:

Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε:

Οπότε, αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε:

που ήταν και το ζητούμενο.

Μερικές οδηγίες για αυτές τις ασκήσεις είναι:

1. Δεν πανικοβαλόμαστε.
2. Όταν σου δίνει και κάποιες τιμές της συνάρτησης, δοκίμασε να τις αξιοποιήσεις κάπως. Αν είναι τιμές της ίδιας της συνάρτησης, αντικατάστησε τα νούμερα να δεις τι βγάζει. Αν είναι, όπως εδώ, για κάποια παράγωγο, τότε δες την επόμενη συμβουλή (χεχεχε).
3. Σου λέει κάτι για την παράγωγο και σου δίνει και μία ανισότητα. Σιγά τα αυγά, αφού δεν έχει νόημα να παραγωγίσουμε μία ανισότητα. Οπότε, εδώ έρχεται λίγο μία πιο ουσιαστική σκέψη στο παιχνίδι. Τι είναι η παράγωγος; Μα, το όριο του λόγου μεταβολής. Όριο, λοιπόν, σου δίνει σαν υπόθεση. Και σου δίνει και ανισότητα. Χμμμ... Μπορείς να πάρεις όριο σε ανισότητα χωρίς να «χαλάσει». Άρα, κάπως πρέπει να εμφανίσεις τον λόγο μεταβολής μέσα στην ανισότητα.
4. Εδώ κάναμε και ένα άλλο κόλπο. Σου έλεγε, δείξε ότι f(x)=ημx. Ωραία, αλλά αυτό δε σημαίνει ότι δεν μπορείς να παίξεις με το ζητούμενο. Σύνηθες τρυκ είναι αυτό που είδες, μιας και το να δείξεις ότι μία συνάρτηση είναι 0 είναι, συνήθως, λίγο πιο απλό στο μάτι.
5. Γενικά, σχεδόν ποτέ μία δύσκολη άσκηση δε βγαίνει με το να ξεκινήσουμε από τα δεδομένα μας και, ντουγρού, να πάμε στα ζητούμενα με συμπεράσματα που θα βγάζουμε το ένα πίσω από το άλλο (forward chaining, που λέμε). Το σύνηθες εδώ είναι να δουλεύουμε με τη μέθοδο του «αρκεί». Ξεκινάς από το ζητούμενο και βρίσκεις είτε άλλες διατυπώσεις του (όπως κάναμε εδώ) είτε πράγματα που αν ισχύουν, δίνουν μαζί με άλλα συμπεράσματα ενδεχομένως, και το ζητούμενο.
6. Keep it simple! Μαθηματικά κάνουμε, δεν κάνουμε πυρηνική φυσική (αυτό πάει και σε άλλο thread... :Ρ). Τι κάναμε παραπάνω στην ουσία; Είδαμε στις υποθέσεις μία παράγωγο σε ένα σημείο, πήραμε τον ορισμό της παραγώγου. Είδαμε το
   
   σε ένα άλλο σημείο, το διαιρέσαμε με x και πήραμε ορισμό της παραγώγου. Είδαμε ανισότητα, βρήκαμε κάποια όρια. Απλά πράγματα. Μην πηγαίνει ο νους σου στα περίπλοκα πρώτα - την κάνουν συχνά αυτή τη ζημιά τα φροντιστήρια/ιδιαίτερα, ομολογουμένως. Με τις 4-5 απλές ιδέες θα συνθέσεις το σύνθετο αποτέλεσμα στο τέλος.

βγαινει και με 2 φερματ φιλε

 

[kvstas92]

Η σχέση είναι αυτή, αν την είδα καλά:

Αντικαθιστώντας το 0 - κλασικό αυτό σε τέτοιες ασκήσεις - παίρνουμε αμέσως ότι f(0)=0.

Θεωρούμε για αρχή τη συνάρτηση:

οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η g είναι μηδενική. Αρχικά, ας παρατηρήσουμε ότι g(0)=0 και:

Επίσης, g'(0)=0 (εύκολο αυτό, απλά παραγωγίζουμε).

Οπότε η δοσμένη σχέση ξαναγράφεται ως εξής:

Πού, άμα κάνουμε τις πράξεις, δίνει:

(1)

Τώρα, αν x>0, διαιρώντας με x παίρνουμε:

οπότε, παίρνοντας και ένα όριο καθώς το χ «πέφτει» προς το 0 έχουμε:

αφού:

Αν τώρα x<0 τότε διαιρούμε και πάλι με x, απλώς θα αλλάξει η φορά, οπότε παίρνουμε:

και, για τους ίδιους λόγους παίρνοντας όριο καθώς το x «ανεβαίνει» προς το 0:

Οπότε παίρνομε τις σχέσεις:

Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε:

Οπότε, αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε:

που ήταν και το ζητούμενο.

Μερικές οδηγίες για αυτές τις ασκήσεις είναι:

1. Δεν πανικοβαλόμαστε.
2. Όταν σου δίνει και κάποιες τιμές της συνάρτησης, δοκίμασε να τις αξιοποιήσεις κάπως. Αν είναι τιμές της ίδιας της συνάρτησης, αντικατάστησε τα νούμερα να δεις τι βγάζει. Αν είναι, όπως εδώ, για κάποια παράγωγο, τότε δες την επόμενη συμβουλή (χεχεχε).
3. Σου λέει κάτι για την παράγωγο και σου δίνει και μία ανισότητα. Σιγά τα αυγά, αφού δεν έχει νόημα να παραγωγίσουμε μία ανισότητα. Οπότε, εδώ έρχεται λίγο μία πιο ουσιαστική σκέψη στο παιχνίδι. Τι είναι η παράγωγος; Μα, το όριο του λόγου μεταβολής. Όριο, λοιπόν, σου δίνει σαν υπόθεση. Και σου δίνει και ανισότητα. Χμμμ... Μπορείς να πάρεις όριο σε ανισότητα χωρίς να «χαλάσει». Άρα, κάπως πρέπει να εμφανίσεις τον λόγο μεταβολής μέσα στην ανισότητα.
4. Εδώ κάναμε και ένα άλλο κόλπο. Σου έλεγε, δείξε ότι f(x)=ημx. Ωραία, αλλά αυτό δε σημαίνει ότι δεν μπορείς να παίξεις με το ζητούμενο. Σύνηθες τρυκ είναι αυτό που είδες, μιας και το να δείξεις ότι μία συνάρτηση είναι 0 είναι, συνήθως, λίγο πιο απλό στο μάτι.
5. Γενικά, σχεδόν ποτέ μία δύσκολη άσκηση δε βγαίνει με το να ξεκινήσουμε από τα δεδομένα μας και, ντουγρού, να πάμε στα ζητούμενα με συμπεράσματα που θα βγάζουμε το ένα πίσω από το άλλο (forward chaining, που λέμε). Το σύνηθες εδώ είναι να δουλεύουμε με τη μέθοδο του «αρκεί». Ξεκινάς από το ζητούμενο και βρίσκεις είτε άλλες διατυπώσεις του (όπως κάναμε εδώ) είτε πράγματα που αν ισχύουν, δίνουν μαζί με άλλα συμπεράσματα ενδεχομένως, και το ζητούμενο.
6. Keep it simple! Μαθηματικά κάνουμε, δεν κάνουμε πυρηνική φυσική (αυτό πάει και σε άλλο thread... :Ρ). Τι κάναμε παραπάνω στην ουσία; Είδαμε στις υποθέσεις μία παράγωγο σε ένα σημείο, πήραμε τον ορισμό της παραγώγου. Είδαμε το
   
   σε ένα άλλο σημείο, το διαιρέσαμε με x και πήραμε ορισμό της παραγώγου. Είδαμε ανισότητα, βρήκαμε κάποια όρια. Απλά πράγματα. Μην πηγαίνει ο νους σου στα περίπλοκα πρώτα - την κάνουν συχνά αυτή τη ζημιά τα φροντιστήρια/ιδιαίτερα, ομολογουμένως. Με τις 4-5 απλές ιδέες θα συνθέσεις το σύνθετο αποτέλεσμα στο τέλος.

εισαι ωραιος, ειχα φτασει κοντα στην λυση σου αλλα ειχα κολλησει σε μια φαση ευχαριστω

 

[aggelosst9]

Είμαι 99% σίγουρος πως στο β χρησιμοποιώ το ξ του Α και κάνω 2 ΘΜΤ αλλά δεν μου βγαίνουν οι πράξεις

 

[eukleidhs1821]

τι σπαστικη ασκηση ειναι αυτη.το πρωτο ειναι της πλακας με θμτ στο [1,3] και f'(ξ)=1 στο δευτερο αν κανεις 2 θμτ στο [1,2] και [2,3] δεν σε παει πουθενα.λογικα αξιοποιειες το ξ που απεδειξες με 2 θμτ [1,ξ] [ξ,3] παλι δεν σε παει πουθενα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Απριλίου 2020

Tα ξ1,ξ2 ειναι διαφορετικα??Γτ ηλιθιωδως μπορω να πω οτι αν ξ1=ξ2=ξ του πρωτου ερωτηματος βγαζει 2+1=3 αλλα σιγα μην βγαινει ετσι

 

[Μάρκος Βασίλης]

View attachment 69314
Είμαι 99% σίγουρος πως στο β χρησιμοποιώ το ξ του Α και κάνω 2 ΘΜΤ αλλά δεν μου βγαίνουν οι πράξεις

Για το β') ερώτημα, μπορείς να πάρεις

και να τελειώνεις, αλλά φαντάζομαι δεν ήταν αυτή η πρόθεση. Έπρεπε, βέβαια, να γράφει στην εκφώνηση «διαφορετικά μεταξύ τους» ή κάτι άλλο.

Όπως και να έχει, είναι τελείως κλασσική άσκηση το β') ερώτημα. Για τα διευκολυνθούμε, ας γράψουμε λίγο το ζητούμενο ως εξής:

Τώρα μυριζόμαστε ότι πρέπει να σπάσουμε το [1,3] σε δύο τμήματα, στο πρώτο να δώσουμε τα 2/3 του μήκους και στο δεύτερο το 1/3. Έτσι, σπάμε το [1,3] στα [1,7/3] και [7/3,3]. Τώρα, η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ και στα δύο οπότε βρίσκουμε

τέτοια ώστε:

Τώρα, βλέπουμε ότι:

που ήταν το ζητούμενο.

Είναι κλασσικές ασκήσεις αυτές, προσοχή - όχι ότι έχουν ενδιαφέρον, αλλά είναι κρίμα να χάσεις μονάδες από τα στανταράκια.

 

[Samael]

Παραθέτω μια ακόμη λύση,σε περίπτωση που κάποιος έκανε διαφορετικά τον διαχωρισμό του χωρίου :

f συνεχής στο [1,3] & παραγωγίσιμη στο (1,3) και η Cf διέρχεται
απο Α(1,1) & Β(3,3) .

Εντάξει το α ήταν πανεύκολο αλλά είμαι τυπικός και το βάζω να υπάρχει εαν τυχόν κάποιο άλλο παιδί χρειαστεί βοήθεια :
α)
Ζητάω εφαπτομένη στο Μ(ξ,f(ξ)) ,οπου ξ Ε (1,3) :
η y = -x -1 να είναι κάθετη σε αυτή .

Αρκεί :
λεφ*λε = -1 =>
λεφ*(-1) = -1 =>
λεφ = 1 =>
f '(ξ) = 1

Εφόσον ισχύουν οι προυποθέσεις για την εφαρμογή του ΘΜΤ
στο διάστημα [1,3] συμπεραίνουμε οτι υπάρχει ξ Ε (1,3) :

f '(ξ) = [f(3)-f(1)] / (3-1) = (3-1)/(3-1) = 1

Επειδή f(1) =1 & f(3) = 3 απο τα δεδομένα μας .
y - f(ξ) = x-ξ =>
f(ξ) = y-x+ξ

 

[aggelosst9]

Οκ παίδες ευχαριστώ πολύ, με καλύψατε, επειδή το α έβγαινε τόσο εύκολα λέω θα χρειαστεί και στο β, για αυτό το παρέθεσα.

Για το β') ερώτημα, μπορείς να πάρεις

και να τελειώνεις, αλλά φαντάζομαι δεν ήταν αυτή η πρόθεση. Έπρεπε, βέβαια, να γράφει στην εκφώνηση «διαφορετικά μεταξύ τους» ή κάτι άλλο.

Όπως και να έχει, είναι τελείως κλασσική άσκηση το β') ερώτημα. Για τα διευκολυνθούμε, ας γράψουμε λίγο το ζητούμενο ως εξής:

Τώρα μυριζόμαστε ότι πρέπει να σπάσουμε το [1,3] σε δύο τμήματα, στο πρώτο να δώσουμε τα 2/3 του μήκους και στο δεύτερο το 1/3. Έτσι, σπάμε το [1,3] στα [1,7/3] και [7/3,3]. Τώρα, η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ και στα δύο οπότε βρίσκουμε

τέτοια ώστε:

Τώρα, βλέπουμε ότι:

που ήταν το ζητούμενο.

Είναι κλασσικές ασκήσεις αυτές, προσοχή - όχι ότι έχουν ενδιαφέρον, αλλά είναι κρίμα να χάσεις μονάδες από τα στανταράκια.

Έψαχνα να κάνω κάτι με το ξ του α γιατί στο 99% των ασκήσεων το πηγαίναμε έτσι όλη τη χρονιά.. είχα δει και το σπάσιμο σε τμήματα έτσι αλλά μάλλον ήταν στο ΠΟΛΥ πίσω μέρος του μυαλού μου :p

 

[eukleidhs1821]

Παραθέτω μια ακόμη λύση,σε περίπτωση που κάποιος έκανε διαφορετικά τον διαχωρισμό του χωρίου :

f συνεχής στο [1,3] & παραγωγίσιμη στο (1,3) και η Cf διέρχεται
απο Α(1,1) & Β(3,3) .

Εντάξει το α ήταν πανεύκολο αλλά είμαι τυπικός και το βάζω να υπάρχει εαν τυχόν κάποιο άλλο παιδί χρειαστεί βοήθεια :

Spoiler

α)
Ζητάω εφαπτομένη στο Μ(ξ,f(ξ)) ,οπου ξ Ε (1,3) :
η y = -x -1 να είναι κάθετη σε αυτή .

Αρκεί :
λεφ*λε = -1 =>
λεφ*(-1) = -1 =>
λεφ = 1 =>
f '(ξ) = 1

Εφόσον ισχύουν οι προυποθέσεις για την εφαρμογή του ΘΜΤ
στο διάστημα [1,3] συμπεραίνουμε οτι υπάρχει ξ Ε (1,3) :

f '(ξ) = [f(3)-f(1)] / (3-1) = (3-1)/(3-1) = 1

Επειδή f(1) =1 & f(3) = 3 απο τα δεδομένα μας .
y - f(ξ) = x-ξ =>
f(ξ) = y-x+ξ

β) ΘΜΤ στο [1,ξ] & [ξ,3] ,άρα υπάρχουν ξ1 Ε (1,ξ) & (ξ,3) τέτοια ώστε :
f '(ξ1) = [f(ξ)-f(1)] / (ξ-1) = [f(ξ)-1]/(ξ-1)
f '(ξ2) = [f(3)-f(ξ)] / (3-ξ) = [3-f(ξ)]/(3-ξ) = [f(ξ)-3]/(ξ-3)

2f '(ξ1) +f '(ξ2) = [2f(ξ)-2]/(ξ-1) + [f(ξ)-3]/(ξ-3)
= [(2f(ξ)-2)(ξ-3) + (f(ξ)-3)(ξ-1)]/(ξ-1)(ξ-3)
= [ 2ξf(ξ) - 6f(ξ) -2ξ +6 +ξf(ξ) -f(ξ) -3ξ +3] /(ξ-1)(ξ-3)
=[ 3ξf(ξ) - 7f(ξ) -5ξ +9]/(ξ-1)(ξ-3)

Όμως βρήκαμε προηγουμένως ότι :
f '(ξ) = 1 όπου το ξ είναι μια λύση της γενικότερης εξίσωσης :
f '(x) -1 = 0 =>

Εφόσον η προηγούμενη ισχύει με ολοκλήρωση δεξιά και αριστερά, βρίσκουμε οτι θα ισχύει και η σχέση :
f(x)-x = c

Για να βρούμε το c απλά αντικαθιστούμε μια γνωστή τιμή της f(x) ,π.χ. για x =1 έχουμε :

f(1)-1 = c =>
1 -1 = c =>
c= 0

Τελικά :
f(x) = x

Επίσης για x = ξ η παραπάνω εξίσωση γίνεται :
f(ξ) = ξ

Καταλήγουμε εν τέλει οτι :

2f '(ξ1) +f '(ξ2) = [ 3ξf(ξ) - 7f(ξ) -5ξ +9]/(ξ-1)(ξ-3) = [ 3ξ² -7ξ -5ξ +9] /(ξ-1)(ξ-3) = [3ξ²-12ξ+9]/(ξ-1)(ξ-3)
= 3(ξ²-4ξ+3)/(ξ-1)(ξ-3) = 3(ξ-1)(ξ-3)/(ξ-1)(ξ-3) = 3

Και άρα αποδείξαμε το ζητούμενο .
Σημείωση θέλει πολύ προσοχή στην κατανόηση των βημάτων και γιατί η παραπάνω λύση λειτουργεί για να μην παρεξηγήσουμε ορισμένα επιχειρήματα κατά την διαδικασία . Η σχέση f(x) = x που προέκυψε σε καμία περίπτωση δεν σημαίνει οτι η συνάρτηση του προβλήματος μας είναι απαραίτητα μια ευθεία .

δεν νομιζω φιλε μου οτι ειναι πολυ σωστο το επιχειρημα οτι απο μια ριζα να γενικευσεις την συναρτηση.και γτ να μην ειναι ριζα μιας αλλης συναρτησης?

 

[Samael]

δεν νομιζω φιλε μου οτι ειναι πολυ σωστο το επιχειρημα οτι απο μια ριζα να γενικευσεις την συναρτηση.και γτ να μην ειναι ριζα μιας αλλης συναρτησης?

Ναι , έχεις δίκιο , μεγάλο μου λάθος,το επιχείρημα για την μετάβαση στην γενικότερη εξίσωση δεν στέκει γιατί αποδείξαμε οτι ισχύει για τουλάχιστον ένα ξ Ε (1,ξ) και όχι οτι ισχύει καθολικά οτι f '(x) = 1.

 

[eukleidhs1821]

Ναι , έχεις δίκιο , μεγάλο μου λάθος,το επιχείρημα για την μετάβαση στην γενικότερη εξίσωση δεν στέκει γιατί αποδείξαμε οτι ισχύει για τουλάχιστον ένα ξ Ε (1,ξ) και όχι οτι ισχύει καθολικά οτι f '(x) = 1.

δεν πειραζει.ουδεις ασφαλτος που λεει και η ατζελα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 27 Απριλίου 2020

Να αποδειχθει η προταση:TO μεγιστο ειναι το μεγαλυτερο απο τα τοπικα μεγιστα.Δεν μου φαινεται και πολυ σωστη προταση

 

[Samael]

δεν πειραζει.ουδεις ασφαλτος που λεει και η ατζελα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 27 Απριλίου 2020

Να αποδειχθει η προταση:TO μεγιστο ειναι το μεγαλυτερο απο τα τοπικα μεγιστα.Δεν μου φαινεται και πολυ σωστη προταση

Πράγματι, σε ευχαριστώ για την παρατήρηση .
Ούτε εγώ καταλαβαίνω ακριβώς την πρόταση, εφόσον το μέγιστο ορίζεται έτσι ώστε να είναι το μεγαλύτερο απο όλα τα τοπικά μέγιστα .

 

[eukleidhs1821]

Πράγματι, σε ευχαριστώ για την παρατήρηση .
Ούτε εγώ καταλαβαίνω ακριβώς την πρόταση, εφόσον το μέγιστο ορίζεται έτσι ώστε να είναι το μεγαλύτερο απο όλα τα τοπικά μέγιστα .

το τοπικο μεγιστο μπορει να ιεναι μικροτερο απο τοπικο ελαχιστο

 

[Samael]

το τοπικο μεγιστο μπορει να ιεναι μικροτερο απο τοπικο ελαχιστο

Δεν διαφωνώ με αυτό ωστόσο η πρόταση σου λέει οτι η σύγκριση γίνεται μεταξύ μέγιστου και τοπικών μέγιστων , όχι με τοπικά ελάχιστα .

Οπότε εαν ένα τοπικό μέγιστο είναι μικρότερο απο το τοπικό ελάχιστο,και πάλι δεν αναιρεί το γεγονός πως και φυσικά τόσο αυτό το τοπικό μέγιστο αλλά και αυτό το τοπικό ελάχιστο θα είναι μικρότερα απο το μέγιστο . Είναι ο ορισμός του μέγιστου μιας συνάρτησης.

 

[Μάρκος Βασίλης]

Πράγματι, σε ευχαριστώ για την παρατήρηση .
Ούτε εγώ καταλαβαίνω ακριβώς την πρόταση, εφόσον το μέγιστο ορίζεται έτσι ώστε να είναι το μεγαλύτερο απο όλα τα τοπικά μέγιστα .

Ορισμός: Αν

είναι μία συνάρτηση, λέμε ότι η f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο

αν για κάθε

ισχύει

Ορισμός: Αν

είναι μία συνάρτηση, λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο

αν υπάρχει ένα

τέτοιο ώστε για κάθε

ισχύει

Οι ορισμοί είναι ξεχωριστοί και ο ένας δεν κάνει αναφορά στον άλλον. Απλώς, είναι τετριμμένο να αποδείξεις ότι ένα (ολικό) μέγιστο είναι και τοπικό. Τετριμμένο, μεν, αλλά θέλει απόδειξη (προφανώς εκτός λυκείου αυτά, στο λύκειο θεωρείται προφανές).

 

[eukleidhs1821]

παρε πχ τη συναρτηση f(x)=(x-1)/e^x εχει τοπικο μεγιστο στο χ=2 το οποιο ομως ειναι και ολικο.εκει τι να αποδειξεις.να παρεις τα ορια στο -00 και στο +00.ψιλοαυτονοητο