[Γραμμική Άλγεβρα] Επίπεδα και Εξισώσεις Επιπέδων

[maryap10wc]

Γεια!
Ήρθε η ώρα της εξεταστικής κ συνειδητοποιώ ότι μου βγαίνουν λάθος οι ασκήσεις στην Γραμμική Άλγεβρα.Παραθέτω μια μαζί με την λύση που της έδωσα για να μου πει κ κάποιος άλλος τη γνώμη του.

Άσκηση :
Έστω τα σημεία Ρ(1,1,1) και Q(0,2,1). Από το σημείο Μ που είναι μέσο του ευθ.τμήματος PQ φέρνουμε επίπεδο κάθετο στo PQ και στην ευθεία που αυτό τέμνει το ΧΟΥ θεωρούμε το σημείο R που έχει x=0. Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου (Π) που περνά από το P και είναι κάθετο στο . Να δείξετε ότι το (Π) περιέχει κ το σημείο Q.

Προσπάθεια απάντησης :
Προκειμένου να βρω την εξίσωση του ζητούμενου επιπέδου αναζητώ αρχικά το σημείο Μ,στη συνέχεια την εξίσωση του επιπέδου (Α) το οποίο περιέχει το σημείο Μ κ είναι κάθετο στο .Μετά αφού έχω την εξίσωση του επιπέδου (Α) μπορώ να βρω τις συντεταγμένες του R αφού R ,στη συνέχεια να υπολογίσω το που είναι κάθετο στο ζητούμενο επίπεδο κ άρα τελικά να βρω την εξίσωση του (Π).

Παρατηρώ ότι αφού Μ μέσο του PQ ισχύει : =1/2 , =3/2 , =1
Άρα τελικά Μ(1/2 , 3/2 , 1).

Εύρεση της εξίσωσης του (Α) : Ισχύει ότι (Α).
Παρατηρώ = (0-1/2 , 2-3/2 , 1-1) δηλαδή = ( -1/2 , 1/2 , 0)
Έτσι αφού έχουμε ένα σημείο, το Μ, που ανήκει στο (Α) και ένα διάνυσμα κάθετο στο (Α) η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου (Α) είναι όπου .
Άρα το (Α) έχει εξίσωση (το ότι χάθηκε το z τι σημαίνει;; )

To R ανήκει στο (Α) άρα οι συνταγμένες του πρέπει να επαληθέυουν την εξίσωση του επιπέδου. Έτσι .
Άρα .

Υπολογίζω το .
δηλαδή

Βρίσκω την εξίσωση του επιπέδου (Π) αφού έχω το σημείο Ρ(1,1,1) που ανήκει στο (Π) και το .

Καρτεσιανή εξίσωση επιπέδου : όπου D = -1/2.
Άρα η εξίσωση του (Π) είναι .

Ελέγχω αν Q(0,2,1) είναι σημείο του (Π) κ τελικά οι συντεταγμένες του δεν επαληθεύουν την εξίσωση του επιπέδου....

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

εχεις κανει λαθος εκει που βρηκες την εξισωση του (Α).νομιζω πως η σωστη εξισωση ειναι x-y=-1/2.

στη συνεχεια κανοντας αυτο που λεει βρισκεις την εξισωση του (Π):x+y+2z=4 που την επαληθευουν και οι συντεταγμενες του Q.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mmxx]

Η εξίσωση του επιπέδου είναι -(1/2)x + (1/2)y + D=0 εφόσον έχεις βρεί ΜQ(-1/2, 1/2, 0) και αντικαθιστώντας το σημείο M(1/2, 3/2, 1) εχεις -(1/2)(1/2) +(1/2)(3/2) + D=0 => -(1/4) + (3/4) = -D => D=-(2/4)=-(1/2) Αρα η εξίσωση σου είναι -(1/2)x + (1/2)y + -(1/2)=0 και βγάζοντας κοινό παράγοντα το -(1/2) είναι -(1/2)( x -y +1)=0 άρα x -y +1 = 0 Απο εδώ και κάτω συνεχίζεις εσύ. Α το οτι το z χάθηκε σημαίνει ότι το επίπεδο είναι παράλληλο με τον άξονα ΟΖ που είναι λογικό αν παρατηρήσεις ότι το PQ είναι παράλληλο στο OXY

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[maryap10wc]

Ευχαριστώ!
Ναι όντως μια λάθος πράξη στον υπολογισμό του πρώτου D οδήγησε σε λάθος αποτέλεσμα.Τελικά η εξίσωση του Α είναι y-x=1 και του Π είναι x+y+2z = 4.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[the purge]

επειδή δεν βρήκα σχετικό θέμα, παραθέτω εδώ μια άσκηση διαφορικών εξισώσεων, απαλοιφω το κ άλλα μετά στην σχέση 4 έχω αυτό το - 1 το οποίο με ενοχλεί καθώς δεν μπορώ να λύσω την δε με χωρισμό μεταβλητών ούτε να θέσω u=y/x... Οπότε στην σχέση 4 μπορώ να θεωρήσω ότι x^2+y^2-1 κάνει μηδέν επειδή είναι κύκλος η αγγούρια? Αν το κάνω αυτό μετά πάει νεράκι η λύση... Καμία βοήθεια?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Destroyer00]

επειδή δεν βρήκα σχετικό θέμα, παραθέτω εδώ μια άσκηση διαφορικών εξισώσεων, απαλοιφω το κ άλλα μετά στην σχέση 4 έχω αυτό το - 1 το οποίο με ενοχλεί καθώς δεν μπορώ να λύσω την δε με χωρισμό μεταβλητών ούτε να θέσω u=y/x... Οπότε στην σχέση 4 μπορώ να θεωρήσω ότι x^2+y^2-1 κάνει μηδέν επειδή είναι κύκλος η αγγούρια? Αν το κάνω αυτό μετά πάει νεράκι η λύση... Καμία βοήθεια?

Η παραγωγιση σου δε θα επρεπε να είναι -2κy’?
Αντί για -2κ*

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[the purge]

Η παραγωγιση σου δε θα επρεπε να είναι -2κy’?
Αντί για -2κ*

Ναι όντως λάθος μου, μισό να το διορθώσω

Κολλάω μετά καθώς να μπορώ να σχηματίσω τπτ με αυτό το

σε κάτι τέτοιο καταλήγω αν δεν έχω κάνει λάθος και δεν βγάζω άκρη γτ με χαλάει το πλην ένα, τελος πάντων αν κάποιος θέλει να βοηθισει η εκφώνηση είναι πιο πάνω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Destroyer00]

Ναι όντως λάθος μου, μισό να το διορθώσω

Κολλάω μετά καθώς να μπορώ να σχηματίσω τπτ με αυτό το

σε κάτι τέτοιο καταλήγω αν δεν έχω κάνει λάθος και δεν βγάζω άκρη γτ με χαλάει το πλην ένα, τελος πάντων αν κάποιος θέλει να βοηθισει η εκφώνηση είναι πιο πάνω

Για δες αυτό

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[the purge]

Επειδή διαφορικές δεν έχω διδαχτεί, μόνος ψάχνομαι, στην μέθοδο με το θέτω υ=y προς Χ δεν πρέπει να έχω μια συνάρτηση F(u)? Δλδ να έχω μόνο U, εσύ στη λύση σου άφησες το 1/χ^2.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.