Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Unseen skygge]

Όχι γιατί συναντήσες σε κάποιο βοηθημα τέτοιο ερωτημα; Εφόσον έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=x τότε βλέπουμε και γεωμετρικά ότι Αφού η μια είναι 1-1 θα είναι και η αλλη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giovanni_]

Αυτο δεν ειναι αιτιολογηση,αλλα οχι δεν χρειαζεται να το αιτιολογησεις δεν θα σου ζητηθει πουθενα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Samael]

Καλησπερα αυτο ειναι το 1ο ποστ μου,οποτε εαν εχω κανει οποιοδηποτε λαθος στην κατηγορια που το εχω βαλει η κατι παρομοιο ζηταω συγγνωμη εκ των προτερων.Λοιπον ειδα οτι υπαρχει ενα editor που λεγεται LaTeX και μπορει καποιος να γραψει τα διαφορα απαιτουμενα συμβολα αλλα δεν καταλαβα πως γινεται να γραψει καποιος Ελληνικα ουτε καν πως λειτουργουν τα κενα,το προσπαθησα αλλα μου σπασε τα νευρα οποτε θα παραθεσω τις οποιες πληροφοριες με εναν πιο "απλοϊκό" τροπο,που ελπιζω να μην δημιουργησει θεματα σητν κατανοηση.

Λοιπον η ασκηση ελεγε το εξης :
"Δινεται συναρτηση f:R-->R παραγωγισιμη,τετοια ωστε να ισχυει : (f(x))^3 + f(x) = 2x για καθε x E R.
Να αποδειξετε οτι η f εχει συνολο τιμων το R".

Ψηλο-θυμομουν μια λυση που ειχα πετυχει παλια σε παρομοια ασκηση και πηγα να την αναπαραγω με αποτυχια οπως ηταν αναμενομενο αφου ποτε δεν ειχα καταλαβει το πως λειτουργουσε,η εαν θελετε δεν θα ηταν κατι που θα ερχοταν κατευθειαν στο μυαλο να εφαρμοστει.Πρεπει να πω οτι η λυση (που πρακτικα δεν θυμαμαι πληρως ) σε τετοιου ειδους ασκησεις που ειχα βρει ηταν κυριως με χρηση αλγεβρας,στη δικη μου γινεται συνδυασμος αλγεβρας και λογισμου κατι που την κανει πιο....χρονοβορα & δυσκολη ισως ...

Αφου λοιπον το πηρα αποφαση οτι οσο και να προσπαθω να αναπαραγω τη λυση αυτη δεν θα ειχε νοημα,αφου ηταν μια λογικη που δεν κατανοοω πληρως,αποφασισα να δοκιμασω μια δικη μου λυση :

Για να εχει συνολο τιμων το R η f,πρεπει η εξισωση f(x)=y ,για καθε y Ε R να εχει λυση ως προς καποιο x E |R.

Eστω οτι για καθε yo E R η f δεν εχει λυση ως προς καποιο χο Ε R.
Τοτε f(xo)=!yo για καθε χο Ε R.
(f(xo))^3=!yo^3(2)
f(xo)=!yo(3)

Με προσθεση κατα μελη των (2) και (3) αρα ειναι :
(f(xo))^3+f(xo) =! yo^3+yo (1)

Ομως (f(xo))^3+f(xo) = 2xo Αρα η (1) γινεται :

2χο =!yo^3+yo
yo^3+yo-2xo =! 0 για καθε χο και yo Ε R

Αυτο ομως ειναι ατοπο διοτι :

Εστω η συναρτηση h(x) = -2x+yo^3+yo,x E R και yo Ε R.

h'(x) = -2 Ειναι Ah = R και h'<0 για οποιοδηποτε yo Ε R και χο Ε R.
Αρα το συνολο τιμων της h(x) ειναι το : h(R) = ( lim(x-->+oo)(h(x)) , lim(x-->-oo)(h(x)) )
Αρα h(R) = (-oo,+oo)

Παρατηρουμε οτι το 0 Ε h(R)

Αρα η συναρτηση h(x) μηδενιζεται παντα για καποιο Χο E R.
Δηλαδη παντα υπαρχει καποιο χο Ε R ,για οποιοδηποτε yo E R,τετοιο ωστε :
0 = -2xo+yo^3+yo

Ένα μικρό update.Τελικα δουλεύοντας λίγο ακόμα τα παραπάνω κατέληξα ότι το χο = (yo^3+yo)/2
Άρα για χ=Χο η αρχική γίνεται :

(f(xo))^3+f(xo) =2*xo
(f(xo))^3+f(xo) = yo^3+yo(4)
Θέτουμε g(x) = x^3+x
Άρα g'(x)=3x^2+1 >0 άρα g γνησίως αύξουσα και επομένως 1-1.Η προηγούμενη σχέση (4) γίνεται :g(f(xo)) = g(yo)
Αφού g είναι 1-1 θα είναι
f(xo) = yo με yo Ε R.Αρα η f έχει σύνολο τιμών το R.
Το τελευταίο κομμάτι που έγραψα τώρα είναι ίδιο με την λύση που είχα βρει.Απλα εκείνη ξεκίναγε κατευθείαν με επιλογή xo= την τάδε παράσταση.
Ολα τα παραπάνω είναι απαραίτητα άρα η όχι?
πάντως εμένα με βοήθησαν(αφού μπόρεσα τελικά να αναπαράγω τη λύση ).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[shilex]

Γεια σας , ειμαι αποφοιτος εδω και εναν χρονο και αποφασισα να δωσω φετος (δεν ειχα δωσει τις προηγουμενες δυο χρονιες). Αυτο που θελω να ρωτησω ειναι για τα μαθηματικα της γ λυκειου , εχω αρκετα κενα καθως 1 χρονο δεν τα αγγιξα και στο λυκειο επισης διαβαζα μονο για τα διαγωνισματα τετραμηνου. Με λιγα λογια θελω να ρωτησω αν γνωριζετε καποιες απαραιτητες γνωσεις απο α&β λυκειου που χρειαζονται στη γ λυκειου μηπως μπορεσω να τα καλυψω και μια αντικειμενικη γνωμη για το πως σας φανηκαν τα μαθηματικα της γ ποσο μαλλον για εσας που ειχατε και κενα απο προηγουμενες ταξεις οπως εγω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Unseen skygge]

Δύσκολα τα πράγματα.. απαραίτητες γνώσεις από Ά όλα εκτός απο πιθανότητες και ακολουθίες και από Β Λυκείου όλα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giovanni_]

Spoiler

Καλησπερα αυτο ειναι το 1ο ποστ μου,οποτε εαν εχω κανει οποιοδηποτε λαθος στην κατηγορια που το εχω βαλει η κατι παρομοιο ζηταω συγγνωμη εκ των προτερων.Λοιπον ειδα οτι υπαρχει ενα editor που λεγεται LaTeX και μπορει καποιος να γραψει τα διαφορα απαιτουμενα συμβολα αλλα δεν καταλαβα πως γινεται να γραψει καποιος Ελληνικα ουτε καν πως λειτουργουν τα κενα,το προσπαθησα αλλα μου σπασε τα νευρα οποτε θα παραθεσω τις οποιες πληροφοριες με εναν πιο "απλοϊκό" τροπο,που ελπιζω να μην δημιουργησει θεματα σητν κατανοηση.

Λοιπον η ασκηση ελεγε το εξης :
"Δινεται συναρτηση f:R-->R παραγωγισιμη,τετοια ωστε να ισχυει : (f(x))^3 + f(x) = 2x για καθε x E R.
Να αποδειξετε οτι η f εχει συνολο τιμων το R".

Ψηλο-θυμομουν μια λυση που ειχα πετυχει παλια σε παρομοια ασκηση και πηγα να την αναπαραγω με αποτυχια οπως ηταν αναμενομενο αφου ποτε δεν ειχα καταλαβει το πως λειτουργουσε,η εαν θελετε δεν θα ηταν κατι που θα ερχοταν κατευθειαν στο μυαλο να εφαρμοστει.Πρεπει να πω οτι η λυση (που πρακτικα δεν θυμαμαι πληρως ) σε τετοιου ειδους ασκησεις που ειχα βρει ηταν κυριως με χρηση αλγεβρας,στη δικη μου γινεται συνδυασμος αλγεβρας και λογισμου κατι που την κανει πιο....χρονοβορα & δυσκολη ισως ...

Αφου λοιπον το πηρα αποφαση οτι οσο και να προσπαθω να αναπαραγω τη λυση αυτη δεν θα ειχε νοημα,αφου ηταν μια λογικη που δεν κατανοοω πληρως,αποφασισα να δοκιμασω μια δικη μου λυση :

Για να εχει συνολο τιμων το R η f,πρεπει η εξισωση f(x)=y ,για καθε y Ε R να εχει λυση ως προς καποιο x E |R.

Eστω οτι για καθε yo E R η f δεν εχει λυση ως προς καποιο χο Ε R.
Τοτε f(xo)=!yo για καθε χο Ε R.
(f(xo))^3=!yo^3(2)
f(xo)=!yo(3)

Με προσθεση κατα μελη των (2) και (3) αρα ειναι :
(f(xo))^3+f(xo) =! yo^3+yo (1)

Ομως (f(xo))^3+f(xo) = 2xo Αρα η (1) γινεται :

2χο =!yo^3+yo
yo^3+yo-2xo =! 0 για καθε χο και yo Ε R

Αυτο ομως ειναι ατοπο διοτι :

Εστω η συναρτηση h(x) = -2x+yo^3+yo,x E R και yo Ε R.

h'(x) = -2 Ειναι Ah = R και h'<0 για οποιοδηποτε yo Ε R και χο Ε R.
Αρα το συνολο τιμων της h(x) ειναι το : h(R) = ( lim(x-->+oo)(h(x)) , lim(x-->-oo)(h(x)) )
Αρα h(R) = (-oo,+oo)

Παρατηρουμε οτι το 0 Ε h(R)

Αρα η συναρτηση h(x) μηδενιζεται παντα για καποιο Χο E R.
Δηλαδη παντα υπαρχει καποιο χο Ε R ,για οποιοδηποτε yo E R,τετοιο ωστε :
0 = -2xo+yo^3+yo

Ένα μικρό update.Τελικα δουλεύοντας λίγο ακόμα τα παραπάνω κατέληξα ότι το χο = (yo^3+yo)/2
Άρα για χ=Χο η αρχική γίνεται :

(f(xo))^3+f(xo) =2*xo
(f(xo))^3+f(xo) = yo^3+yo(4)
Θέτουμε g(x) = x^3+x
Άρα g'(x)=3x^2+1 >0 άρα g γνησίως αύξουσα και επομένως 1-1.Η προηγούμενη σχέση (4) γίνεται :g(f(xo)) = g(yo)
Αφού g είναι 1-1 θα είναι
f(xo) = yo με yo Ε R.Αρα η f έχει σύνολο τιμών το R.
Το τελευταίο κομμάτι που έγραψα τώρα είναι ίδιο με την λύση που είχα βρει.Απλα εκείνη ξεκίναγε κατευθείαν με επιλογή xo= την τάδε παράσταση.
Ολα τα παραπάνω είναι απαραίτητα άρα η όχι?
πάντως εμένα με βοήθησαν(αφού μπόρεσα τελικά να αναπαράγω τη λύση ).

Το ίδιο πράγμα θα σου πω αλλά με λιγότερα λόγια

Θα αποδείξω ότι η f αντιστρέφεται,για κάθε xεR με f(x1)=f(x2) (1)
f^3(x1)=f^3(x2) (2)
Προσθέτω κατά μέλη (1),(2)
f^3(x1)+f(x1)=f^(x2)+f(x2)
2x1=2x2
x1=x2 άρα η f είναι 1-1 άρα ορίζεται η αντίστροφη

Για y=f(x) έχω x=(y^3+y)/2 άρα έστω g η αντίστροφη g(x)=(x^3+x)/2 με xεR Ισχύει Dg=f(R) άρα f(R)=R άρα το σύνολο τιμών είναι όλο το R

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Αν lim(χ τείνει στο +άπειρο) του f(x)=0 τότε το lim(χ τείνει στο +άπειρο)του 1/f(x) πόσο είναι???
Ευχαριστώ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 542551]

Αν lim(χ τείνει στο +άπειρο) του f(x)=0 τότε το lim(χ τείνει στο +άπειρο)του 1/f(x) πόσο είναι???
Ευχαριστώ

Το όριο lim(χ τείνει στο +άπειρο)του 1/f(x) δίνει άπειρο αφού ορίζεται και είναι της μορφής 1/0. Το αν θα είναι συν ή πλην άπειρο εξαρτάται από το πρόσημο του παρονομαστή στο κλάσμα 1/f(x), δηλαδή από το πρόσημο της f στην περιοχή του +οο.

• Αν f(x) > 0 στην περιοχή του +οο τότε το όριο δίνει +οο
  
• Αν f(x) < 0 στην περιοχή του +οο τότε το όριο δίνει -οο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[#LoveMaths]

Το όριο lim(χ τείνει στο +άπειρο)του 1/f(x) δίνει άπειρο αφού ορίζεται και είναι της μορφής 1/0. Το αν θα είναι συν ή πλην άπειρο εξαρτάται από το πρόσημο του παρονομαστή στο κλάσμα 1/f(x), δηλαδή από το πρόσημο της f στην περιοχή του +οο.

• Αν f(x) > 0 στην περιοχή του +οο τότε το όριο δίνει +οο
  
• Αν f(x) < 0 στην περιοχή του +οο τότε το όριο δίνει -οο

Αν δεν ορίζεται το όριο, δεν υπάρχει.
Πρέπει να λέει η άσκηση ότι υπάρχει. Διαφορετικά πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στην αντιμετώπιση της άσκησης.
Γι' αυτό το έβαλα σε bold.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 542551]

Αν δεν ορίζεται το όριο, δεν υπάρχει.
Πρέπει να λέει η άσκηση ότι υπάρχει. Διαφορετικά πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στην αντιμετώπιση της άσκησης.
Γι' αυτό το έβαλα σε bold.

Νομίζω οτι στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου όλες οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στις περιοχές του απείρου που ορίζονται, άρα έχουν και όριο στα άπειρα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[#LoveMaths]

Νομίζω οτι στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου όλες οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στις περιοχές του απείρου που ορίζονται, άρα έχουν και όριο στα άπειρα

Έτσι νομίζω και εγώ.
Καλή επιτυχία αν δίνεις φέτος, επειδή βλέπω ότι είσαι 17.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί η f(x)=ln(x-2)/(x+2)(το ln παει σε ολο)ειναι 1-1 συνάρτηση?Γιατι με τον ορισμό βγαίνω στο χ1^2=χ2^2 δηλ χ1=-x2 ή χ1=χ2 που σημαίνει
ότι η f δεν είναι 1-1. Αλλά βλέπω τις λύσεις της άσκησης και μου λέει πως είναι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί η f(x)=ln(x-2)/(x+2)(το ln παει σε ολο)ειναι 1-1 συνάρτηση?Γιατι με τον ορισμό βγαίνω στο χ1^2=χ2^2 δηλ χ1=-x2 ή χ1=χ2 που σημαίνει
ότι η f δεν είναι 1-1. Αλλά βλέπω τις λύσεις της άσκησης και μου λέει πως είναι.

1oς τροπος(αν εχεις κανει παραγωγους)
f'(x)=4/[(x-2)*(x+2)] εχοντας βρει το πεδιο ορισμου της f εχεις οτι χε(-00,-2)υ(2,+00)
Σε αυτο το συνολο η f'(x) ειναι μεγαλυτερη του μηδενος αρα f γνησιως αυξουσα οποτε f1-1

2oς τροπος
θεωρω g(x)=lnx και h(x)=(x-2)/(x+2) (προφανως ισχυει g(h(x))=f(x) αρα ειναι δυο συναρτησεις ιδιες οποτε εχουν ιδια χαρακτηριστικα)
g γνησιως αυξουσα
η h(x) γραφεται και ως εξης 1-4/(x+2)
η 1/x ειναι γνησιως φθινουσα η -1/x ειναι γνησιως αυξουσα ετσι προκυπτει οτι η h(x) ειναι γνησιως αυξουσα
x1<x2=>g(x1)<g(x2)=>g(h(x1))<g(h(x2)) Αρα η goh γνησιως αυξουσα και 1-1
f=goh αρα f 1-1

Γενικα να ξερεις οτι οταν θελω να δειξω οτι μια συναρτηση ειναι 1-1 βολευει η μονοτονια τις περισσοτερες φορες

3ος τροπος (μεσω ορισμου)
Θα εχεις κανει καποιο λαθος στις πραξεις
παιρνω f(x1)=f(x2)
Για ευκολια το κανω της μορφης e^(f(x1))=e^(f(x2))
(x1-2)/(x1+2)=(x2-2)/(x2+2)
x1x2+2x1-4=x1x2+2x2-4
2x1=2x2
x1=x2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Ευχαριστώ πολύ!!!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PanosFlo]

Παδιά κάνω χάραξη και μελέτη γραφικών συναρτήσεων αλλά παρατήρησα ότι στο ίδιο θέμα βρίσκει τα σημεία στον χ'χ και y'y {f(0)=.. και f(x)=0} και την χαράζει κανονικά αφου έχει κάνει και τον τελικό πίνακα ενώ σε άλλο θέμα την χαράζει απλά μόνο με τον τελικό πίνακα και ασύμπτωτες χωρίς να βρει σημεία στους άξονες.Δοκίμασα να βρω αλλά βγαίνουν ρίζες και σημεία που δεν έιναι λογικά για την γραφική παράσταση του συγκεκριμένου θέματος.Μπορεί να μου πει καποιος τι παίζει γιατί έχω μπερδευτεί.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[MahouTsukai]

Έχεις εικόνα από το γράφημα και την συνάρτηση που λες;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PanosFlo]

https://imgur.com/L5gLJJg
https://imgur.com/6gEZfpU
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
https://imgur.com/nb6Byp3
https://imgur.com/o5EBj2l

Αυτά έιναι..Το πρώτο έιναι χωρίς σημεία.Επιπλέον το γράφημα χωρίς σημεία έχει ακρότατα σε αντίθεση με το γράφημα το οποίο έχει σημεία αλλά όχι ακρότατα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Παδιά κάνω χάραξη και μελέτη γραφικών συναρτήσεων αλλά παρατήρησα ότι στο ίδιο θέμα βρίσκει τα σημεία στον χ'χ και y'y {f(0)=.. και f(x)=0} και την χαράζει κανονικά αφου έχει κάνει και τον τελικό πίνακα ενώ σε άλλο θέμα την χαράζει απλά μόνο με τον τελικό πίνακα και ασύμπτωτες χωρίς να βρει σημεία στους άξονες.Δοκίμασα να βρω αλλά βγαίνουν ρίζες και σημεία που δεν έιναι λογικά για την γραφική παράσταση του συγκεκριμένου θέματος.Μπορεί να μου πει καποιος τι παίζει γιατί έχω μπερδευτεί.

Καταρχας δεν ειναι απαραιτητο να βρισκεις τα σημεια των ριζων και τα σημεια τομης της f μει τον y'y (εκτος κι αν στο ζηταει),αυτο που ειναι απαραιτητο ειναι να ξερεις αν (πχ στην πρωτη περιπτωση) η ριζα ειναι πριν το 0 η μετα το 0,διοτι αν τις βαλεις και τις 2 μετα <<αλλοιωνεις>>το διαγραμμα της συναρτησης. Οπως θα δεις στην πρωτη περιπτωση οι ριζες ειναι +-ριζα3. Ε απλα δεν τις εβαλε στο διαγραμμα,διοτι μαλλον θα το θεωρουσε περιττο.Αυτο ειναι δικη σου επιλογη, αν θες τις βαζεις, αν δεν θες δεν τις βαζεις
Στην 2η περιπτωση για διευκολυνση και για να το καταλαβει καλυτερα ο αναγνωστης, σου δειχνει πως βρισκεις τις ριζες και πως βρισκεις το σημειο τομης της f με τον y'y

Προσωπικη μου αποψη ειναι να τα κανεις οπως στην 2η περιπτωση αν σου το επιτρεπουν οι συνθηκες του προβληματος,διοτι ετσι θα εισαι σιγουρος και δεν θα κανεις και καποιο λαθος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PanosFlo]

Κατάλαβα Με κάλυψες πλήρως!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[osfp123123]

Αν χε (-π/2,π/2) το συν(π/χ) με χ διάφορο του 0 ποιες τιμές μπορεί να πάρει??Ευχαριστώ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.