Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

DumeNuke · 25-10-14

Εννοείς κάτι τέτοιο:
$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(g(x)) }$ ?

Αν ναι, θέτεις όπου g(x) το u, έτσι ώστε όταν το x τείνει στο x0, το u [g(x)] να τείνει στο u0 [g(x0)]:
$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ f(g(x)) } =\lim _{ u\rightarrow { u }_{ 0 } }{ f(u) }$
Όπου: ${ u }_{ 0 }=\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ g(x) }$

Ουσιαστικά, ναι, υπολογίζεις πρώτα το όριο της g στο x0 και, κατόπιν, το όριο της f στο g(x0).

Μαριλινάκι · 26-10-14

Πώς μπορώ να βρω την εξίσωση της ευθείας της τομής αυτών των δύο επιπέδων
Π1:x+2y+1=0
Π2:3x+4y+2z-10=0
με προβληματίζει που ενώ έχω τρεις αγνώστους έχω μόνο δύο εξισώσεις και θέλω η τελική μου εξίσωση να είναι παραμετρική δλδ να έχει και χ και y και z
Ευχαριστώ πολύ!

gth · 26-10-14

Αρχική Δημοσίευση από Μαριλινάκι:
Πώς μπορώ να βρω την εξίσωση της ευθείας της τομής αυτών των δύο επιπέδων
Π1:x+2y+1=0
Π2:3x+4y+2z-10=0
με προβληματίζει που ενώ έχω τρεις αγνώστους έχω μόνο δύο εξισώσεις και θέλω η τελική μου εξίσωση να είναι παραμετρική δλδ να έχει και χ και y και z
Ευχαριστώ πολύ!

Στη γενική περίπτωση η τομή των δύο επιπέδων θα είναι μία ευθεία στο χώρο η οποία περιγράφεται από δύο εξισώσεις. Οπότε, απαλείφεις από το σύστημα μία παράμετρο (οποιαδήποτε) και αυτό που σου μένει είναι οιεξίσωσεις της ευθείας.

Αν θέλεις να βρεις τη διανυσματική εξίσωση της ευθείας τότε χρειάζεσαι ένα σημείο και ένα παράλληλο προς την ευθεία διάνυσμα. Το παράλληλο διάνυσμα θα είναι το α = (1,2,0) x (3,4,2). Ένα σημείο μπορείς να βρείς πχ. αν θέσεις στο αρχικό σύστημα z = 0 και στη συνεχεια λύσεις το σύστημα για τα x και y. Έστω Po(xo,yo,zo) το σημείο αυτό. Τότε έχεις

R-R0 = λα , όπου R=(x,y,z) , Ro = (xo,yo,zo ) και λεR

Μαριλινάκι · 26-10-14

Το διάνυσμα α θα είναι το διάνυσμα διέυθυνσης της ευθείας που είναι η τομή των δύο επιπέδων?

eyb0ss · 26-10-14

Αρχική Δημοσίευση από Μαριλινάκι:
Πώς μπορώ να βρω την εξίσωση της ευθείας της τομής αυτών των δύο επιπέδων
Π1:x+2y+1=0
Π2:3x+4y+2z-10=0
με προβληματίζει που ενώ έχω τρεις αγνώστους έχω μόνο δύο εξισώσεις και θέλω η τελική μου εξίσωση να είναι παραμετρική δλδ να έχει και χ και y και z
Ευχαριστώ πολύ!

Το $x+2y+1=0$ δεν παριστάνει επίπεδο αλλά ευθεία.

I Love Daniel J · 26 Οκτωβρίου 2014

Παιδιά έχω ακόμα μια απορία στα όρια Β λυκείου..Όταν έχω ρίζα τι πρέπει να κάνω..??
Πχ. lim (tou x pu tini sto +oo) (χ+2-χ)
το χ+2 ειναι σε ρίζα.. και το -χ το ίδιο αλλά σε ξεχωριστή ρίζα..
τι θα κάνω για να το λύσω? :eek:

DumeNuke · 26-10-14

Εγώ έχω δύο απορίες:
α) Από πότε διδάσκεστε Όρια στη Β' Λυκείου?
β) Ουσιαστικά, με τις απορίες που έχεις παραθέσει μέχρι τώρα, σου έχουμε αναλύσει ολόκληρο το κεφάλαιο των Ορίων. Στο σχολείο/φροντιστήριο τι κάνετε?

Για το όριο τώρα, πολλαπλασιάζεις με συζυγή παράσταση:
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \sqrt { x+2 } -\sqrt { x } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { \left( \sqrt { x+2 } -\sqrt { x } \right) \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { x+2-x }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { 2 }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\left( \frac { 2 }{ +\infty } \right) =0$

methexys · 26-10-14

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Εγώ έχω δύο απορίες:
α) Από πότε διδάσκεστε Όρια στη Β' Λυκείου?
β) Ουσιαστικά, με τις απορίες που έχεις παραθέσει μέχρι τώρα, σου έχουμε αναλύσει ολόκληρο το κεφάλαιο των Ορίων. Στο σχολείο/φροντιστήριο τι κάνετε?

Για το όριο τώρα, πολλαπλασιάζεις με συζυγή παράσταση:
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \sqrt { x+2 } -\sqrt { x } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { \left( \sqrt { x+2 } -\sqrt { x } \right) \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { x+2-x }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { 2 }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\left( \frac { 2 }{ +\infty } \right) =0$

Kάποιοι αρχίζουν την ύλη από τη β λυκείου, εγώ είχα κάνει απλά όρια και παραγώγους πολύ νωρίς

Εκτός κι αν μπερδεύτηκε και έγραψε ότι είναι β λυκείου κατά λάθος.

photon · 26 Οκτωβρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από I Love Daniel J:
Παιδιά έχω ακόμα μια απορία στα όρια Β λυκείου..Όταν έχω ρίζα τι πρέπει να κάνω..??
Πχ. lim (tou x pu tini sto +oo) (χ+2-χ)
το χ+2 ειναι σε ρίζα.. και το -χ το ίδιο αλλά σε ξεχωριστή ρίζα..
τι θα κάνω για να το λύσω?

edit:
Mε πρόλαβε ο DumeNuke

eyb0ss · 26 Οκτωβρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από I Love Daniel J:
Παιδιά έχω ακόμα μια απορία στα όρια Β λυκείου..Όταν έχω ρίζα τι πρέπει να κάνω..??
Πχ. lim (tou x pu tini sto +oo) (χ+2-χ)
το χ+2 ειναι σε ρίζα.. και το -χ το ίδιο αλλά σε ξεχωριστή ρίζα..
τι θα κάνω για να το λύσω?

Όπως το έκανε ο DumeNuke ή αν έχεις περίεργα βίτσια με ΘΜΤ στην $f(t)=\sqrt{t}$ στο διάστημα $[x,x+2]$ με $x>0$ γνωρίζοντας ότι η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα (επειδή η $f$ είναι κοίλη). Προς το παρόν να λύνεις τις σχολικές ασκήσεις στα διανύσματα και να αφήσεις τα όρια (αν είσαι Β'Λυκείου).

DumeNuke · 26-10-14

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Όπως το έκανε ο DumeNuke ή αν έχεις περίεργα βίτσια με ΘΜΤ στην $f(t)=\sqrt{t}$ στο διάστημα $[x,x+2]$ με $x>0$ γνωρίζοντας ότι η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα (επειδή η $f$ είναι κοίλη). Προς το παρόν να λύνεις τις σχολικές ασκήσεις στα διανύσματα και να αφήσεις τα όρια (αν είσαι Β'Λυκείου).

Τζααααα.....
Αναλυτική λύση παρακαλώ!

methexys · 26-10-14

Αρχική Δημοσίευση από mathguy1996:
Όπως το έκανε ο DumeNuke ή αν έχεις περίεργα βίτσια με ΘΜΤ στην $f(t)=\sqrt{t}$ στο διάστημα $[x,x+2]$ με $x>0$ γνωρίζοντας ότι η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα (επειδή η $f$ είναι κοίλη). Προς το παρόν να λύνεις τις σχολικές ασκήσεις στα διανύσματα και να αφήσεις τα όρια (αν είσαι Β'Λυκείου).

αν θυμάμαι καλά, τέτοιους τρόπους τους είχαμε κάνει στο τέλος της χρονιάς και ο καθηγητής τους θεωρούσε δύσκολους... εκτός αν λέμε κάτι άλλο. γιατί αν δεν λέμε, δεν υπάρχει περίπτωση στη β λυκείου να το λυσει έτσι :hehe:

I Love Daniel J · 26-10-14

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Εγώ έχω δύο απορίες:
α) Από πότε διδάσκεστε Όρια στη Β' Λυκείου?
β) Ουσιαστικά, με τις απορίες που έχεις παραθέσει μέχρι τώρα, σου έχουμε αναλύσει ολόκληρο το κεφάλαιο των Ορίων. Στο σχολείο/φροντιστήριο τι κάνετε?

Για το όριο τώρα, πολλαπλασιάζεις με συζυγή παράσταση:
$\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \sqrt { x+2 } -\sqrt { x } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { \left( \sqrt { x+2 } -\sqrt { x } \right) \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { x+2-x }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ \frac { 2 }{ \left( \sqrt { x+2 } +\sqrt { x } \right) } } =\left( \frac { 2 }{ +\infty } \right) =0$

Στο σχολείο κάνουμε όρια..και στο φροντιστήριο το ίδιο..απλά την τετάρτη έχουμε διαγώνισμα..και προσπαθώ να λύσω όλες τις ασκήσεις από την αρχή!

Ευχαριστώ πολύ! Εμείς στην Β λυκείου στα μαθηματικά κατευθυνσης κάνουμε όρια..τώρα από ποτε άρχησαν να μας διδάσκουν στην Β λυκείου ορια ..δεν ξέρω..

I Love Daniel J · 26-10-14

Παιδιά συγνώμη που κάνω συνέχεια απορίες..αλλά έχω ακόμα 2 απορίες..

1) η ασκηση μου λέει Αν lim(του χ που τινει στο 2) [x*f(x)-3g(x)]=-9 και lim (του χ που τινει στο 2) [f(x)+2x*g(x)]=1 να υπολογίσετε το lim f(x) (που το χ τίνει στο 2) και το lim g(x) (που το χ τίνει στο 2)

Τι πρέπει να κάνω για να την λύσω? Και υπάρχει κάποιος κανόνας για την επίληση αυτού του είδους ασκήσεων??

2 απορεία) η άσκηση μου λέει να βρείτε τις σταθερές κ και λ της συνάρτησης
f(x)= -2κx-5 x(mikrotero ke iso tou 1)

2κx (είναι υψωμένο στην δευτέρα) -3λχ-2 χ>-1

αν lim f(x) (του χ που τινει στο -1) =1

Filippos14 · 26-10-14

Αρχική Δημοσίευση από I Love Daniel J:
Παιδιά συγνώμη που κάνω συνέχεια απορίες..αλλά έχω ακόμα 2 απορίες..

1) η ασκηση μου λέει Αν lim(του χ που τινει στο 2) [x*f(x)-3g(x)]=-9 και lim (του χ που τινει στο 2) [f(x)+2x*g(x)]=1 να υπολογίσετε το lim f(x) (που το χ τίνει στο 2) και το lim g(x) (που το χ τίνει στο 2)

Τι πρέπει να κάνω για να την λύσω? Και υπάρχει κάποιος κανόνας για την επίληση αυτού του είδους ασκήσεων??

2 απορεία) η άσκηση μου λέει να βρείτε τις σταθερές κ και λ της συνάρτησης
f(x)= -2κx-5 x(mikrotero ke iso tou 1)

2κx (είναι υψωμένο στην δευτέρα) -3λχ-2 χ>-1

αν lim f(x) (του χ που τινει στο -1) =1

Ναι υπαρχει στανταρ τροπος αντιμετωπισης για το 1ο,βοηθητικη συναρτηση λεγεται.
Για το 2ο,υπολογισε το lim πρωτα και μετα παει μονο τ.

eyb0ss · 26-10-14

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Τζααααα.....
Αναλυτική λύση παρακαλώ!

Έστω η συνάρτηση $f(t)=\sqrt{t}$ , $t>0$ . $f$ μια και δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με $f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}$ και $f''(t)=(\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}})'=-\frac{1}{4}t^{-\frac{3}{2}}<0$ για κάθε $(0,+\infty)$ άρα η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\infty)$ .
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(x,x+2)$ και συνεχής στο $[x,x+2]$ (με $x>0$ ) άρα σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει $x_0\in(x,x+2)$ τέτοιο, ώστε $f'(x_0)=\frac{f(x+2)-f(x)}{x+2-x}=\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{2}$ .
Έχουμε
$x<x_0<x+2 \Leftrightarrow f'(x+2)<f'(x_0)<f'(x) \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+2}}<\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{2}<\frac{1}{2\sqrt{x}} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+2}}<\sqrt{x+2}-\sqrt{x}<\frac{1}{\sqrt{x}}$
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$ και $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{x+2}}=\lim_{u\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{u}}=0$ όπου $u=x+2$ .
Επομένως από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})=0$

Guest 856924 · 28 Οκτωβρίου 2014

ασκησεις
1)δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f:R*->R τετοια ωστε f(xy)=f(x)+f(y) για καθε x,y ε R* και f ' (ρ)#0 για καθε χ,y ε R*.δειξτε οτι
ι)f '(x)/f '(y)=y/x
ii)f '(1) + f '(-1)=0

2)αν η συναρτηση f(0,+oo)->R,ειναι παραγωγισιμη και ισχυει f(xy)=yf(x)+xf(y) x,y>0.να δειξετε οτι f '(x)=f(x)/x +f '(1) x>0

eyb0ss · 28 Οκτωβρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από arnold:
ii)f '(1) + f '(1)=0

Δεν παίζει να είναι έτσι,όχι ότι έχει κάποιο αλγεβρικό λάθος αλλά δεν έχει νόημα να στο δώσουν έτσι ως δεδομένο.Μήπως εννοούσες $f(1)+f'(1)=0$ ;

Edit:Και το ρ από που προέκυψε; (στην πρώτη άσκηση, f'(ρ)#0)

Guest 856924 · 28-10-14

δε ξερω ετσι ειναι

eyb0ss · 28-10-14

Αρχική Δημοσίευση από arnold:
ασκησεις
1)δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f:R*->R τετοια ωστε f(xy)=f(x)+f(y) για καθε x,y ε R* και f ' (ρ)#0 για καθε χ,y ε R*.δειξτε οτι
ι)f '(x)/f '(y)=y/x
ii)f '(1) + f '(-1)=0

2)αν η συναρτηση f(0,+oo)->R,ειναι παραγωγισιμη και ισχυει f(xy)=yf(x)+xf(y) x,y>0.να δειξετε οτι f '(x)=f(x)/x +f '(1) x>0

1)i)Παραγωγίζουμε ως προς $x$ την δοσμένη σχέση και έχουμε $yf'(xy)=f'(x)$
και ως προς $y$ : $xf'(xy)=f'(y)$
Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε: $\frac{f'(x)}{f'(y)}=\frac{yf'(xy)}{xf'(xy)} \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f'(y)}=\frac{y}{x}$
(Υποθέτω ότι το δεδομένο $f'(\rho)\neq 0$ σημαίνει ότι η παράγωγος είναι διάφορη του μηδενός εξ'ου και η απλοποίηση του $f'(xy)$ ). Να σημειωθεί ότι δίνεται $x,y\neq 0$ επομένως δεν τίθεται θέμα διαίρεσης με το μηδέν.

ii)Με χιαστί στη σχέση που αποδείξαμε πριν έχουμε $xf'(x)=yf'(y)$ που ισχύει για κάθε $x,y\in R^{*}$ επομένως θέτοντας $x=1$ και $y=-1$ έχουμε $f'(1)=-f'(-1) \Leftrightarrow f'(1)+f'(-1)=0$

2)Παραγωγίζουμε ως προς $y$ και παίρνουμε $xf'(xy)=f(x)+xf'(y)$ , επειδή ισχύει για κάθε $y>0$ θέτουμε $y=1$ και έχουμε $xf'(x)=f(x)+xf'(1)$ διαιρούμε με το $x>0$ για να πάρουμε $f'(x)=\frac{f(x)}{x}+f'(1)$ για κάθε $x>0$ .

Προσοχή: Πάντα εξηγούμε ότι η $f(xy)$ είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 856924

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 856924

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος