Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Guest 018946 · 24-10-13

δωσε κανα hint αμα γινεται ρε Κωστα

rebel · 24 Οκτωβρίου 2013

Ναι όσον αφορά το σύνολο τιμών πρέπει να αποδείξεις ότι $g \left( \mathbb{R} \right) = (-\infty, -2]$ . Από το πρώτο ερώτημα έχεις ήδη δείξει ότι $g(x) \leq -2$ για κάθε χ και επομένως $g \left( \mathbb{R} \right) \subseteq (-\infty, -2]$ . Μένει τώρα να δείξεις τον ανάποδο εγκλεισμό $(-\infty, -2] \subseteq g \left( \mathbb{R} \right)$ που σημαίνει: Αν πάρω έναν αριθμό που ανήκει στο διάστημα $(-\infty, -2]$ είναι εικόνα κάποιου χ μέσω της $g$ ; Τα όρια θα σε βοηθήσουν.
Για το δεύτερο ερώτημα προσπάθησε να αποδείξεις πρώτα ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0 \in (-1,0)$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=x_0$ . Θεώρησε την $f$ γνησίως φθίνουσα στο κλειστό $[-1,0]$ και όχι στο ανοικτό που έγραψα ( λάθος μου )

Guest 018946 · 25-10-13

lim g(x)=-00
x->+-00

αρκει νδο οτι για τυχαιο y0 $\in ( -\infty,-2]$ υπαρχει χ0 τετοιο ωστε g(x0)=y0

θεωρω την h(x)=g(x)-y0

διαλεγω στην αρχη ενα πολυυυυ μικρο κ για το οποιο θα ισχυει h(k)<0 αφου προφανως το οριο της h στο -00 ειναι -00
και μετα bolzano στο [κ,0]

ομοια διαλεγω πολυ μεγαλο λ για το οποιο θα ισχυει h(λ)<0 αφου προφανως το οριο της h στο +00 ειναι -00
μετα bolzano στο [0,λ] και νομιζω πως τελειωσαμε

Guest 018946 · 26-10-13

για το δευτερο βγαινω στο εξης (χ-1/φ(χ))(χ-φ(χ))=0
θα παρω δυο περιπτωσεις ωστοσο δεν καταλαβαινω πως θα αποριψω την πρωτη
(για την δευτερη τα πραγματα ειναι απλα με ενα bolzano)

rebel · 26-10-13

Θεωρούμε την συνάρτηση
$h(x)=\left(xf(x)-1\right)\left(x-f(x)\right)$
Είναι $h(-1)=\left(-f(-1)-1\right)\left(-1-f(-1)\right)=\left(f(-1)+1\right)^2$
Λόγω μονοτονίας της f είναι $f(-1)>f(0)=-1 \Rightarrow f(-1)+1>0$ οπότε $h(-1)>0$ . Επίσης $h(0)=(-1)\left(-\left(-1\right)\right)=-1<0$ . Από Bolzano υπάρχει $x_0 \in (-1,0): h(x_0)=0$ . Όμως είναι $f(x_0) \geq -1$ ενώ $-1<x_0<0 \Rightarrow \frac{1}{x_0}<-1$ . Υποχρεωτικά επομένως $f(x_0)=x_0$ και λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης $f(x)-x$ , είναι και μοναδικό.

Η λύση που έχω πάει κάπως ανάποδα. Πρώτα δηλαδή αποδεικνύεις με Bolzano ότι υπάρχει $x_0 \in (-1,0): f(x_0)=x_0$ οπότε από την αρχική σχέση (2) για $x=x_0$ παίρνουμε $x_0^2- x_0g(x_0)+1=0$ , όπου και πάλι η μοναδικότητα του $x_0$ εξασφαλίζεται από την μονοτονία της $f(x)-x$ .

Guest 018946 · 27-10-13

Αρκετα απλο το βημα μαλακια μου που δεν το ειδα :mad:

rebel · 27-10-13

Για την ιστορία να αναφέρω ότι η άσκηση είναι δημοσιευμένη στον "Ευκλείδη" τ. 86 από τον Γιώργο Τσικαλουδάκη με ελαφρώς αλλαγμένη την εκφώνηση του γ' ερωτήματος.

Effort · 27-10-13

Θυμαμαι που την ελυνα αυτην την ασκηση!! Ελεος

.

Guest 018946 · 28-10-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Για την ιστορία να αναφέρω ότι η άσκηση είναι δημοσιευμένη στον "Ευκλείδη" τ. 86 από τον Γιώργο Τσικαλουδάκη με ελαφρώς αλλαγμένη την εκφώνηση του γ' ερωτήματος.

ειναι γνωστος ο Τσικαλουδακης για τις ντοπες ασκησεις του :whistle:

Guest 018946 · 01-11-13

να ριξω καμια ντοπα ;

panabarbes · 02-11-13

Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w, με |z|=3 και |w|=1. Θεωρούμε επίσης τη συνεχή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: R->R για την οποία ισχύει:

zwf(0)=(z+w)(9w+z) και f²(x) (διάφορο του) 4 για κάθε xεR.

Να αποδείξετε ότι:
α) f(0) (μεγαλύτερο ή ίσον του) 4 , β) f(x)>2 για κάθε xεR,

γ) η εξίσωση e^x + f(x) = e^x f(x) έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, η οποία ανήκει στο (0,1).

Απ'το βιβλίο ''Μαθηματικά Γ' Λυκείου, η επανάληψη'', Βασίλης Παπαδάκης, εκδ. Σαββάλας,2012

Civilara · 02-11-13

Αρχική Δημοσίευση από panabarbes:
Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w, με |z|=3 και |w|=1. Θεωρούμε επίσης τη συνεχή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: R->R για την οποία ισχύει:

zwf(0)=(z+w)(9w+z) και f²(x) (διάφορο του) 4 για κάθε xεR.

Να αποδείξετε ότι:
α) f(0) (μεγαλύτερο ή ίσον του) 4 , β) f(x)>2 για κάθε xεR,

γ) η εξίσωση e^x + f(x) = e^x f(x) έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, η οποία ανήκει στο (0,1).

Απ'το βιβλίο ''Μαθηματικά Γ' Λυκείου, η επανάληψη'', Βασίλης Παπαδάκης, εκδ. Σαββάλας,2012

(α) Επειδή |z| διάφορο 0 και |w| διάφορο 0 τότε z διάφορο 0 και w διάφορο 0. Έχουμε:
zwf(0)=(z+w)(9w+z)=9zw+(z^2)+9(w^2)+zw=10zw+(z^2)+9(w^2) => f(0)=10+(z/w)+9(w/z)

Αν φ=Arg(z) και θ=Arg(w) τότε οι w και z γράφονται σε τριγωνομετρική μορφή ως εξής:
z=|z|(συνφ+iημφ)=3(συνφ+iημφ)
w=|w|(συνθ+iημθ)=συνθ+iημθ

Επομένως προκύπτει:
z/w=3[συν(φ-θ)+iημ(φ-θ)]
w/z=(1/3)[συν(θ-φ)+iημ(θ-φ)]=(1/3)[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]

Συνεπώς έχουμε:
f(0)=10+3(συνφ+iημφ)+9*(1/3)*[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]=10+6συν(φ-θ)

Ισχύει -1<=συν(φ-θ)<=1 για κάθε 0<=φ<2π και 0<=θ<2π. Άρα
-6<=6συν(φ-θ)<=6 => 4<=10+6συν(φ-θ)<=16 => 4<=f(0)<=16 => f(0)>=4

(β) (f(x))^2 διάφορο 4 => [f(x)^2]-4 διάφορο 0 => (f(x)-2)(f(x)+2) διάφορο 0 => f(x) διάφορο 2 και f(x) διάφορο -2 για κάθε x ανήκει R

Είναι f(0)>=4>2

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα τότε για x>0 προκύπτει f(x)>f(0)>=4 => f(x)>4>2 για κάθε x ανήκει (0,+οο)

Αν υπήρχε ρ<0 με f(ρ)<2 τότε επειδή η f είναι συνεχής στο [ρ,0] θα υπάρχει ξ ανήκει (ρ,0) ώστε f(ξ)=2 καθώς η f παίρνει κάθε τιμή μεταξύ f(ρ) και f(0) στο (ρ,0) (f(ρ)<2<f(0)). Αυτό όμως είναι άτοπο καθώς f(x) διάφορο 2 για κάθε x ανήκει R. Άρα f(x)>2 για κάθε x>0.

Συνεπώς f(x)>2 για κάθε x ανήκει R

(γ) Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=((e^x)-1)f(x)-(e^x), x ανήκει R. Έχουμε
F(0)=-1<0
F(1)=(e-1)f(1)-e

Επειδή 1>0 και f γνησίως αύξουσα τότε f(1)>f(0) => f(1)>4
Είναι e>2 => e-1>1>0, e>2 => 3e>6 => 3e-4>2>0
Άρα f(1)>4 => (e-1)f(1)>4(e-1) => (e-1)f(1)-e>4e-4-e => F(1)>3e-4 => F(1)>0

Είναι F(0)<0 και F(1)>0, οπότε F(0)F(1)<0. Επειδή η f είναι συνεχής στο R τότε και η F είναι συνεχής στο R.
Η F είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει F(0)F(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 τέτοιο ώστε
F(x0)=0 => ((e^x0)-1)f(x0)-(e^x0)=0 => (e^x0)+f(x0)=(e^x0)f(x0)

Η εξίσωση (e^x)+f(x)=(e^x)f(x) γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
(e^x)+f(x)=(e^x)f(x) <=> ((e^x)-1)f(x)=e^x

Η εξίσωση δεν επαληθεύεται για x=0, άρα το x=0 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Συνεπώς για x ανήκει R* η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
f(x)=(e^x)/((e^x)-1)

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(e^x)/((e^x)-1)=[(e^x)-1+1]/[(e^x)-1]=1+1/[(e^x)-1], x ανήκει R*. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R* με πρώτη παράγωγο g΄(x)=-(e^x)/[((e^x)-1)^2]<0 για κάθε x ανήκει R*.

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0). Επομένως για κάθε x1, x2 με x1<x2<0 ισχύει g(x1)>g(x2).
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο). Επομένως για κάθε x1, x2 με 0<x1<x2 ισχύει g(x1)>g(x2).

Επειδή lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε lim(x->-oo)g(x)=0
Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo τότε lim(x->+oo)g(x)=1
Επειδή lim(x->0)((e^x)-1)=0 τότε lim(x->0-)[1/((e^x)-1)]=-oo και lim(x->0+)[1/((e^x)-1)]=+oo
Άρα lim(x->0-)g(x)=-oo και lim(x->0+)g(x)=+oo

Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0), οπότε g((-oo,0))=(lim(x->0-)g(x),lim(x->-oo)g(x))=(-oo,0)
Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,+oo), οπότε g((0,+oo))=(lim(x->+oo)g(x),lim(x->0+)g(x))=(1,+oo)

Συνεπώς για x1<0<x2 είναι g(x1)<0<1<g(x2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-οο,0), (0,+οο) αλλά δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο R*.

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=g(x)-f(x), x ανήκει R*

Για x<0 είναι g(x)<0 => g(x)-f(x)<-f(x) => h(x)<-f(x)<-2<0 επειδή f(x)>2. Άρα h(x)<0 => h(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει (-οο,0)

Για 0<x1<x2 ισχύει f(x1)<f(x2) => -f(x1)>-f(x2) και g(x1)>g(x2). Επομένως g(x1)-f(x1)>g(x2)-f(x2) => h(x1)>h(x2)
Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο). Επειδή F(x0)=0, όπου 0<x0<1 τότε h(x0)=0 και επειδή η h είναι γνησίως μονότονη στο (0,+οο) τότε το x0 είναι μοναδικό.

Άρα υπάρχει μοναδικό x0 ανήκει (0,1) τέτοιο ώστε (e^x0)+f(x0)=(e^x0)f(x0)

Effort · 02-11-13

Θεουλη μου αυτην την ασκηση ειχα επιχειρησει να την λυσω, με εστειλε αδιαβαστο!!!!!

ξαροπ · 02-11-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
(α) Επειδή |z| διάφορο 0 και |w| διάφορο 0 τότε z διάφορο 0 και w διάφορο 0. Έχουμε:
zwf(0)=(z+w)(9w+z)=9zw+(z^2)+9(w^2)+zw=10zw+(z^2)+9(w^2) => f(0)=10+(z/w)+9(w/z)

Αν φ=Arg(z) και θ=Arg(w) τότε οι w και z γράφονται σε τριγωνομετρική μορφή ως εξής:
z=|z|(συνφ+iημφ)=3(συνφ+iημφ)
w=|w|(συνθ+iημθ)=συνθ+iημθ

Επομένως προκύπτει:
z/w=3[συν(φ-θ)+iημ(φ-θ)]
w/z=(1/3)[συν(θ-φ)+iημ(θ-φ)]=(1/3)[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]

Συνεπώς έχουμε:
f(0)=10+3(συνφ+iημφ)+9*(1/3)*[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]=10+6συν(φ-θ)

Ισχύει -1<=συν(φ-θ)<=1 για κάθε 0<=φ<2π και 0<=θ<2π. Άρα
-6<=6συν(φ-θ)<=6 => 4<=10+6συν(φ-θ)<=16 => 4<=f(0)<=16 => f(0)>=4

1) Γράφουμε σε $LATEX$ ιδίως για μεγάλες απαντήσεις, αν δε θέλουμε να βγει το μάτι του άλλου που προσπαθεί να διαβάσει τη λύση

2) Εδώ και κάτι χρόνια τα arguments και οι πολικές μορφές των μιγαδικών είναι εκτός ύλης. Σκοπός των λύσεων είναι να τις καταλαβαίνουν οι υποψήφιοι, αλλιώς δεν έχει και πολύ νόημα. Βέβαια αν δε βγαίνουν αλλιώς το λάθος είναι του θεματοθέτη...

Guest 018946 · 02-11-13

εναλλακτικα για το πρωτο

$f(0)=\frac{(z+w)(\frac{9}{\bar{w}}+\frac{9}{\bar{z}})}{zw} \Leftrightarrow f(0)=9\frac{(z+w)(\bar{z}+\bar{w})}{|z|^2|w|^2} \Leftrightarrow f(0)=|z+w|^2 \geq ||z|-|w||^2=2$

Civilara · 3 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
1) Γράφουμε σε $LATEX$ ιδίως για μεγάλες απαντήσεις, αν δε θέλουμε να βγει το μάτι του άλλου που προσπαθεί να διαβάσει τη λύση

Δεν δέχομαι υποδείξεις με τέτοιο υφάκι.

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
2) Εδώ και κάτι χρόνια τα arguments και οι πολικές μορφές των μιγαδικών είναι εκτός ύλης. Σκοπός των λύσεων είναι να τις καταλαβαίνουν οι υποψήφιοι, αλλιώς δεν έχει και πολύ νόημα. Βέβαια αν δε βγαίνουν αλλιώς το λάθος είναι του θεματοθέτη...

Έχει νόημα και μάλιστα μεγάλο. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

rebel · 03-11-13

Μόνο για το γ):
H εξίσωση γράφεται $\left(f(x)-1\right)\left(e^x-1\right)=1,\,\,(1)$ . Αν υπήρχε $\rho$ ρίζα της (1) με $\rho \leq 0$ τότε θα είχαμε $1=\left(f(\rho)-1\right)\left(e^\rho-1\right) \leq 0$ , άτοπο.

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=\left(f(x)-1\right)\left(e^x-1\right)-1$ . Είναι
$g(0)=-1<0$ και $g(1)=f(1)(e-1)-e>0$ εφ' όσον $f(1)>2>\frac{e}{e-1}$
αφού από β) $f(1)>2$ και $2>\frac{e}{e-1} \Leftrightarrow 2e-2>e \Leftrightarrow e>2$ που ισχύει. Από θ. Bolzano υπάρχει $x_0 \in (0,1):g(x_0)=0$ . Μένει να δείξουμε ότι το $x_0$ είναι μοναδικό.

Έστω $x_1,x_2>0$ με $x_1<x_2$ . Τότε αφού η $f$ είναι γνησίως αύξουσα με $f(x)>2$ , θα έχουμε
$f(x_2)>f(x_1) \Rightarrow f(x_2)-1>f(x_1)-1>0\,\,(2)$ και επίσης λόγω της μονοτονίας της εκθετικής:
$e^{x_2}>e^{x_1} \Rightarrow e^{x_2}-1>e^{x_1}-1>0\,\,(3)$ . Με πολλαπλασιασμό των (2) και (3) παίρνουμε
$\left(f(x_2)-1\right)\left(e^{x_2}-1\right)>\left(f(x_1)-1\right)\left(e^{x_1}-1\right) \Rightarrow g(x_2)>g(x_1)$ . Συνεπώς η $g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0, +\infty)$ οπότε η ρίζα που βρήκαμε είναι μοναδική.

Guest 018946 · 3 Νοεμβρίου 2013

εστω f,g,h R -> R συνεχεις στο R και να ισχυει οτι f^2(x)+g^2(x)=h^2(x) για καθε χ στο R

νδο οτι η 2f(x)g(x)=xh^2(x) έχει λυσh στους πραγματικους
(Του Στάθη Κούτρα )

Civilara · 3 Νοεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
εστω f,g,h R -> R συνεχεις στο R και να ισχυει οτι f^2(x)+g^2(x)=h^2(x) για καθε χ στο R

νδο οτι η 2f(x)g(x)=xh^2(x) έχει λυσh στους πραγματικους
(Του Στάθη Κούτρα )

Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=x(h(x)^2)-2f(x)g(x), x ανήκει R. Η F γράφεται ισοδύναμα στη μορφή:
F(x)=x[(f(x)^2)+(g(x)^2)]-2f(x)g(x), x ανήκει R. Επειδή οι f και g είναι συνεχείς στο R τότε η F είναι συνεχής στο R.

Έχουμε
F(-1)=-(f(-1)^2)-(g(-1)^2)-2f(-1)g(-1)=-((f(-1)+g(-1))^2)
F(1)=(f(1)^2)+(g(1)^2)-2f(1)g(1)=(f(1)-g(1))^2

Αν g(-1)=-f(-1) τότε F(-1)=0
Αν g(1)=f(1) τότε F(1)=0
Αν g(-1) διάφορο -f(-1) και g(1) διάφορο f(1) τότε F(-1)<0 και F(1)>0. Η F είναι συνεχής στο [-1,1] και ισχύει F(-1)F(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (-1,1) τέτοιο ώστε F(x0)=0.

Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει [-1,1] τέτοιο ώστε F(x0)=0

Effort · 03-11-13

Civilara, η λυση που δινεις στο γ ερωτημα δεν στεκει. Δεν ξερεις οτι η f ειναι παραγωγισιμη.Αναφερομαι στην προηγουμενη ασκηση.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος