Ασκήσεις στο κεφάλαιο των Μιγαδικών

Demlogic · 20-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
i) Πράξεις
ii) Ισχύει ότι $xy+yz+xz \leq x^2+y^2+z^2 ,\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}\,\, (*)$ .
Απόδειξη
$xy+yz+xz \leq x^2+y^2+z^2 \Leftrightarrow 2xy+2yz+2xz \leq 2x^2+2y^2+2z^2 \Leftrightarrow \\ 0\leq (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2$
που ισχύει. Επομένως
$|a-b||b-c|+|a-b||a-c|+|b-c||a-c| \stackrel{(*)}{\leq} |a-b|^2+|a-c|^2+|b-c|^2 \leq 3\left(|a|^2+|b|^2+|c|^2\right)=9r^2$
λόγω του ερωτήματος i)

πολυ ωραια άσκηση. απορώ πως δε πρόσεξα την ταυτότητα

Alejandro che 7 · 21-06-13

Αν z^2+z+1=0 να αποδειξετε οτι z^65+(1/z^65)=-1

IasonasM · 21 Ιουνίου 2013

delete

nikoslarissa · 21-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Alejandro che 7:
Αν z^2+z+1=0 να αποδειξετε οτι z^65+(1/z^65)=-1

Εχουμε z=-1/2 +/- ριζα3/2 i
z1^2=-1/2 -ριζα3/2 i και z2^2 = -1/2+ριζα3/2 i (z1 ο συζυγης του z2)
z1^3=1 και z2^3=1
Το μετρο του z ειναι 1 αρα z1z2=1 και z1=1/z2
z^65 + 1/z^65 =z1^65 + z2^65=(z1^3)^21x z1^2 +(z2^3)^21x z2^2=z1^2 + z2^2=-1/2-ριζα3/2i -1/2+ριζα3/2i=-1
Σορρυ αν σας βγηκαν τα ματια θα μαθω καποια στιγμη latex.

Mercury · 21-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Alejandro che 7:
Αν z^2+z+1=0 να αποδειξετε οτι z^65+(1/z^65)=-1

Θα δοκιμάσω μία διαφορετική προσέγγιση,πείτε μου άν είναι σωστή ή λάθος:

Απο την δευτεροβάθμια παίρνουμε,με βάση τους τύπους του Vietta:
${z}_{1}+{z}_{2}=-1$
${z}_{1}{z}_{2}=1\Rightarrow {z}_{2}=\frac{1}{{z}_{1}}$
Επίσης:
${z}^{65}={z}^{1}=z$
Οπότε έχουμε:
${{z}_{1}}^{65}+\frac{1}{{{z}_{1}}^{65}}={z}_{1}+\frac{1}{{z}_{1}}={z}_{1}+{z}_{2}=-1$

Civilara · 21-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Alejandro che 7:
Αν z^2+z+1=0 να αποδειξετε οτι z^65+(1/z^65)=-1

Ένας άλλος τρόπος είναι να λύσουμε την δευτεροβάθμιας εξίσωση με λύσεις z1, z2=συζυγήςz1 (εφοσον Δ=-3<0). Στη συνέχεια βρίσκουμε με θεώρημα De Moivre τα (z1^65) και (z1^(-65)) και τα προσθέτουμε. Εφόσον ισχύει η αποδεικτέα σχέση για τον z1 θα ισχύει και για τον z2 εφόσον είναι συζυγής του z1.

nikoslarissa · 22-06-13

Να βρειτε το μετρο του μιγαδικου z για τον οποιο ισχυει

οπου z1 ο συζυγης του z

Civilara · 22-06-13

Αρχική Δημοσίευση από nikoslarissa:
Να βρειτε το μετρο του μιγαδικου z για τον οποιο ισχυει

οπου z1 ο συζυγης του z

Μπορείς να δυσκολέψεις λίγο παραπάνω την άσκηση ζητώντας να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει η δοσμένη σχέση. (Πρέπει να είναι οι z1=-1, και z2=3-4i)

nikoslarissa · 22-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Μπορείς να δυσκολέψεις λίγο παραπάνω την άσκηση ζητώντας να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει η δοσμένη σχέση. (Πρέπει να είναι οι z1=-1, και z2=3-4i)

Αυτο λυνεται νομιζω με x+yi ετσι;

Civilara · 22-06-13

Αρχική Δημοσίευση από nikoslarissa:
Αυτο λυνεται νομιζω με x+yi ετσι;

Όχι δε χρειάζεται. Απλά εκμεταλλευόμαστε τις ταυτότητες |z_|=|-z|=|z| (z_ ο συζυγής του z). Συνεπώς η σχέση γράφεται ισοδύναμα:

z=(|z|-2)+(1-|z|)i (1)

Άρα έχουμε

|z|^2=[(|z|-2)^2]+[(1-|z|)^2] => |z|^2=2(|z|^2)-6|z|+5 => (|z|^2)-6|z|+5=0 => (|z|^2)-6|z|+9-4=0 =>
=> [(|z|-3)^2]-4=0 => (|z|-3-2)(|z|-3+2)=0 => (|z|-5)(|z|-1)=0 => |z|=5 ή |z|=1

Αν |z|=1 τότε από την (1) προκύπτει z=-1 (πράγματι |z|=|-1|=1)
Αν |z|=5 τότε από την (1) προκύπτει z=3-4i (πράγματι |z|=SQRT((3^2)+((-4)^2))=SQRT(25)=5)

Άρα z1=-1, |z1|=1 και z2=3-4i, |z2|=5

κατερω · 17-07-13

Αρχική Δημοσίευση από Alejandro che 7:
Αν z^2+z+1=0 να αποδειξετε οτι z^65+(1/z^65)=-1

Κάτι δε μου αρέσει στη λύση μου..
Αρχικά είναι στην υπόθεση ότι z=/0 αφού είναι σε παρονομαστή, έτσι;
z^2 + z + 1 = 0
άρα (z-1)(z^2+z+1) = 0
άρα z^3 - 1 = 0
και έτσι z^3 = 1

τώρα κάνω τη διαίρεση 65 = 3*21 +2
άρα με δεδομένο το ζητούμενο
z^65 + 1/ z^65 = -1
γράφεται z^ (3*21 + 2) + 1/ z (^3*21 + 2) = -1
και αφού z^3 κάνει 1 μένει ότι z^2 + 1/ z^2 + 1 = 0
πολλ/ζω με z^ 2
και έχω z^4 + z^2 + 1 = 0
αντικαθιστώ το z^2 + 1 με -z (από αρχική συνθήκη αφού z^2 + z + 1 = 0)
και έχω z^4 - z = 0
κοινό παράγοντα
z (z^3 - 1) = 0
z =/ 0 από υπόθεση αφού σε παρονομαστή
z^3 = 1 που ισχύει!

Κάνω κάτι λάθος??

unπαικτable · 17-07-13

${z}^{2}+z+1=0\Leftrightarrow (z-1)({z}^{2}+z+1)=0\Leftrightarrow {z}^{3}-1=0\Leftrightarrow {z}^{3}=1$

${z}^{65}={z}^{3*21+2}={{z}^{3}}^{21}*{z}^{2}=1*{z}^{2}={z}^{2}$
$\frac{1}{{z}^{65}}=\frac{1}{{z}^{2}}$

${z}^{2}+\frac{1}{{z}^{2}}=\frac{{z}^{4}+1}{{z}^{2}}=\frac{{z}^{3}*z+1}{{z}^{2}}=\frac{z+1}{-z-1}=-1$

(βασανο μεγαλο ο συντακτης LATEX, χειρογραφο και παλι χειρογραφο για τα μαθηματικοφυσικα)

Mamaguena · 17-07-13

Αρχική Δημοσίευση από unπαικτable:
${z}^{2}+z+1=0\Leftrightarrow (z-1)({z}^{2}+z+1)=0\Leftrightarrow {z}^{3}-1=0\Leftrightarrow {z}^{3}=1$

${z}^{65}={z}^{3*21+2}={{z}^{3}}^{21}*{z}^{2}=1*{z}^{2}={z}^{2}$
$\frac{1}{{z}^{65}}=\frac{1}{{z}^{2}}$

${z}^{2}+\frac{1}{{z}^{2}}=\frac{{z}^{4}+1}{{z}^{2}}=\frac{{z}^{3}*z+1}{{z}^{2}}=\frac{z+1}{-z-1}=-1$

(βασανο μεγαλο ο συντακτης LATEX, χειρογραφο και παλι χειρογραφο για τα μαθηματικοφυσικα)

Αρχικά, πρέπει να αποδείξεις ότι $z\neq 1$ με άτοπο, εφόσον πολλαπλασιάζεις με το $(z-1)$

unπαικτable · 17-07-13

Αρχική Δημοσίευση από pre+:
Αρχικά, πρέπει να αποδείξεις ότι $z\neq 1$ με άτοπο, εφόσον πολλαπλασιάζεις με το $(z-1)$

Πολλαπλασιασμο εκανα, δεν χρειαζεται να παρω περιορισμο.

Mamaguena · 17-07-13

Αρχική Δημοσίευση από unπαικτable:
Πολλαπλασιασμο εκανα, δεν χρειαζεται να παρω περιορισμο.

Εφόσον έβαλες $\Leftrightarrow$ ισχύει και το αντίστροφο, άρα διαιρείς κατά μέλη, άρα απαιτείται περιορισμός.

gth · 17-07-13

65=4*16+1=> z^65=z^(4*16+1)=z^(4*16)*z =z (1)

z^65+(1/z^65)=-1=> (z^65)^2 +z^65 +1=0 ==(1)==> ισχυει.

ξαροπ · 22-07-13

Νδο. η εξίσωση $(1+iz)^{15} = \frac{4+i}{\sqrt{15} - \sqrt{2}i}$ δεν έχει λύση στους πραγματικούς.

Άμα ήταν μέσα και το θεώρημα de Moivre και η τριγωνομετρική / πολική μορφή μιγαδικών θα 'χαμε ωραία πράματα να πούμε αλλά δεν είναι...οπότε μόκο εκτός αν ενδιαφέρεται κανείς.

coy0te · 22 Ιουλίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Νδο. η εξίσωση $(1+iz)^{15} = \frac{4+i}{\sqrt{15} - \sqrt{2}i}$ δεν έχει λύση στους πραγματικούς.

Άμα ήταν μέσα και το θεώρημα de Moivre και η τριγωνομετρική / πολική μορφή μιγαδικών θα 'χαμε ωραία πράματα να πούμε αλλά δεν είναι...οπότε μόκο εκτός αν ενδιαφέρεται κανείς.

Έστω $x\in R$ είναι η ρίζα της εξίσωσης.Τότε: ${{(1+ix)}^{15}= \frac{4+i}{\sqrt{15} - \sqrt{2}i}\Rightarrow \left|{(1+ix)}^{15}\right|= \left|\frac{4+i}{\sqrt{15} - \sqrt{2}i} \right|\Leftrightarrow \left|1+ix \right|^{15}=1\Leftrightarrow \left|1+xi \right|=1\Rightarrow x=0$
Για x=0 στην αρχική σχέση προκύπτει: $1^{15}=\frac{4+i}{\sqrt{15} - \sqrt{2}i}\Leftrightarrow \sqrt{15} - \sqrt{2}i}=4+i$ , άτοπο. Άρα η εξίσωση δεν έχει λύση στους πραγματικούς.

coy0te · 22 Ιουλίου 2013

Δίνεται ο μιγαδικός $z=\frac{\sigma\upsilon\nu\theta-i\eta\mu\theta}{\eta\mu\theta+i\sigma\upsilon\nu\theta},\theta\in R$
i) Νδο $z=-i$
ii) Να βρείτε τις τιμές του $n \in N$ , για τις οποίες ισχύει $(1-z)^{n}=(1+z)^{n}$
iii)Νδο $1+z+z^{2}+...+z^{99}=0$

κατερω · 23 Ιουλίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από coy0te:
Δίνεται ο μιγαδικός $z=\frac{\sigma\upsilon\nu\theta-i\eta\mu\theta}{\eta\mu\theta+i\sigma\upsilon\nu\theta},\theta\in R$
i) Νδο $z=-i$
ii) Να βρείτε τις τιμές του $n \in N$ , για τις οποίες ισχύει $(1-z)^{n}=(1+z)^{n}$
iii)Νδο $1+z+z^{2}+...+z^{99}=0$

Τα i) και iii) νομιζω βγηκαν ευκολα το ii δεν το προσπαθησα αρκετα θα το ξαναδω..
(δεν το καταφερα το LaTeX

)
i) z = συνθ - ημθi / -ημθi^2 + συνθ i
z = συνθ - ημθ i / -i (ημθi - συνθ)
z = - (ημθ i - συνθ) / -i (ημθi - συνθ)
z = 1/ i
z = -i

iii) γεωμετρικη προοδος με α1 = z και λ = z
αρκει νδο z + z^2 + .... + z^99 = -1
S(99) = α1 [ (λ^ν - 1) / λ-1 ]
S = z (z ^99 - 1) /z-1
S = -i [ (-i)^99 -1 ] / -i-1
S = -i (i^99 + 1) /i + 1
S = i ^2 -i / i + 1
S = -1 -i / 1 +i
S = -1

αρα το δειξαμε..

για το ii κατι μου διαφευγει προς το παροοον

Νομίζω ξελαμπήκαρα

ii) (1 -z )^n = (1 + z) ^n
(1 + i)^n = (1 -i)^n
(1 + i)^n = (-i^2 -i)^n
(1+i)^n = (-i)^n (1 + i)^n
(-i)^n = 1
n = 4ρ, ρ ε Z?

το χασα??

Ασκήσεις στο κεφάλαιο των Μιγαδικών

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος