Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Mr.Blonde · 03-12-12

Αρχική Δημοσίευση από bueno:
καποιος??

Θεσε u=lnx....

φρι · 03-12-12

Ναι θα βγει lim(u-->o)[lnu]
After?

Mr.Blonde · 03-12-12

Αρχική Δημοσίευση από bueno:
Ναι θα βγει lim(u-->o)[lnu]
After?

Eιναι γνωστο οριο και κανει -απειρο.

Polymnia · 03-12-12

Λοιπόν παίδες,είναι μια άσκηση ,συνδυαστική με όρια,συναρτήσεις και μιγαδικούς.
Θα ήθελα ένα ξεκαθάρισμα σχετικά με το τελευταίο ερώτημα.

Απο προηγουμενα ερωτήματα βρήκα τα εξής :
Για τον μιγαδικό βρήκα οτι ο γτ της εικόνας του είναι κύκλος με κεντρο το σημείο Κ(0,2) και ακτίνα ρ=1 .
Για τον μιγαδικό διαπίστωσα οτι ο γτ της εικόνας του είναι ο κύκλος με κεντρο Λ(4,5) και ακτίνα Ρ=2 .
Απέδειξα οτι $2 \leq \left| z-w \right| \leq 8$
Το τελευταίο ερώτημα ζητά να αποδείξω τούτο :

$\sqrt{65}-3 \leq \left| z+w\right|\leq \sqrt{65} +3$

Έχω προσέξει ,οτι παρ'ολο δεν έχω θέμα γενικά με τους μιγαδικους,με προβληματίζουν ερωτήματα που ζητούν το \left| z+w\right| .
Όταν ζητεί πχ. $\left|z+w \right| = a , a\in R$ νταξει ,εκεί το βρίσκω και μάλιστα με 3 διαφορετικούς τρόπους .
Εδώ όμως ,τί γίνεται;
Αν μπορεί κάποιος ας μου το ξεκαθαρίσει,θέλω πιο πολύ να το καταλάβω για τα καλά και όχι απλά να πάρω μια λύση και να το αντιγράψω...

rebel · 03-12-12

Αρχική Δημοσίευση από bueno:
Ναι θα βγει lim(u-->o)[lnu]
After?

Για να θυμάσαι τα όρια βασικών συναρτήσεων προσπάθησε να έχεις μία εικόνα της γραφικής παράστασης.

rebel · 03-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Polymnia:
Λοιπόν παίδες,είναι μια άσκηση ,συνδυαστική με όρια,συναρτήσεις και μιγαδικούς.
Θα ήθελα ένα ξεκαθάρισμα σχετικά με το τελευταίο ερώτημα.

Απο προηγουμενα ερωτήματα βρήκα τα εξής :
Για τον μιγαδικό βρήκα οτι ο γτ της εικόνας του είναι κύκλος με κεντρο το σημείο Κ(0,2) και ακτίνα ρ=1 .
Για τον μιγαδικό διαπίστωσα οτι ο γτ της εικόνας του είναι ο κύκλος με κεντρο Λ(4,5) και ακτίνα Ρ=2 .
Απέδειξα οτι $2 \leq \left| z-w \right| \leq 8$
Το τελευταίο ερώτημα ζητά να αποδείξω τούτο :

$\sqrt{65}-3 \leq \left| z+w\right|\leq \sqrt{65} +3$

Έχω προσέξει ,οτι παρ'ολο δεν έχω θέμα γενικά με τους μιγαδικους,με προβληματίζουν ερωτήματα που ζητούν το \left| z+w\right| .
Όταν ζητεί πχ. $\left|z+w \right| = a , a\in R$ νταξει ,εκεί το βρίσκω και μάλιστα με 3 διαφορετικούς τρόπους .
Εδώ όμως ,τί γίνεται;
Αν μπορεί κάποιος ας μου το ξεκαθαρίσει,θέλω πιο πολύ να το καταλάβω για τα καλά και όχι απλά να πάρω μια λύση και να το αντιγράψω...

Αν το μόνο που σου ζητάει είναι άνω και κάτω φράγμα για το μέτρο τότε η τριγωνική ανισότητα δουλεύει μια χαρά απ' όσο έχω δει. Εφόσον γνωρίζουμε από προηγούμενα ερωτήματα τους αριθμούς $|z-2i|=1$ και $|w-4-5i|=2$ πρέπει να τους εμφανίσουμε στην τριγωνική ανισότητα με κατάλληλες προσθαφαιρέσεις. Αναλυτικά έχουμε:

$|z+w|=\left|z+w-4-7i+4+7i \right|=\left|(z-2i)+(w-4-5i)+4+7i\right|$

Για την δεξιά ανισότητα είναι
$\left|(z-2i)+(w-4-5i)+4+7i\right|\leq |z-2i+w-4-5i|+|4+7i|\leq |z-2i|+|w-4-5i|+\sqrt{65}=3+\sqrt{65}$

ενώ για την αριστερή ανισότητα
$\left|(z-2i)+(w-4-5i)+4+7i\right| \geq \left||4+7i|-\left|(z-2i)+(w-4-5i)\right|\right| \geq |4+7i|-\left|(z-2i)+(w-4-5i)\right| \geq |4+7i|-|z-2i|-|w-4-5i|=\sqrt{65}-3$

φρι · 03-12-12

lim(x--> +00) [ln(1/x)]

Polymnia · 03-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν το μόνο που σου ζητάει είναι άνω και κάτω φράγμα για το μέτρο τότε η τριγωνική ανισότητα δουλεύει μια χαρά απ' όσο έχω δει. Εφόσον γνωρίζουμε από προηγούμενα ερωτήματα τους αριθμούς $|z-2i|=1$ και $|w-4-5i|=2$ πρέπει να τους εμφανίσουμε στην τριγωνική ανισότητα με κατάλληλες προσθαφαιρέσεις. Αναλυτικά έχουμε:

$|z+w|=\left|z+w-4-7i+4+7i \right|=\left|(z-2i)+(w-4-5i)+4+7i\right|$

Για την δεξιά ανισότητα είναι
$\left|(z-2i)+(w-4-5i)+4+7i\right|\leq |z-2i+w-4-5i|+|4+7i|\leq |z-2i|+|w-4-5i|+\sqrt{65}=3+\sqrt{65}$

ενώ για την αριστερή ανισότητα
$\left|(z-2i)+(w-4-5i)+4+7i\right| \geq \left||4+7i|-\left|(z-2i)+(w-4-5i)\right|\right| \geq |4+7i|-\left|(z-2i)+(w-4-5i)\right| \geq |4+7i|-|z-2i|-|w-4-5i|=\sqrt{65}-3$

Άρα με τριγωνική βγαίνει.Τι μου ελεγαν οτι δεν μπορώ να αξιοποιήσω την τριγωνική .
Η ολοκληρωμένη εκφώνηση είναι :
Δίνεται συνάρτηση $g(x)= \sqrt{{x}^{2}+x+1} -\alpha x+ \beta$ με $\alpha ,\beta\in R$
για την οποία ισχύει : οριο της g(x) όταν το χ τείνει στο +απειρο ειναι ισο με $l\in R$
α) Να βρείτε το $\alpha .$
β) Για $\alpha =1$ να αποδείξετε οτι $g(x)=\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}}+1} +\beta$
και επίσης οτι $\beta = l- \frac{1}{2}$ .
Δίνονται επίσης οι μιγαδικοί $z,w$ και η συνάρτηση :
$f(x)= \sqrt{{x}^{2}+x+1}- \left|z-2i \right|x + \left|w-4-5i \right|$
για την οποία ισχύουν :
οριο της f(x) όταν το χ τείνει στο +απειρο ειναι ίσο με $\frac{5}{2}$ και $f=g$ .
α)Να αποδείξετε οτι ο γτ της εικονας του ειναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο K $(0,2)$ και ακτίνα $ρ=1$ .
β)Να βρείτε το γτ της εικόνας του $w$
γ)Να αποδείξετε οτι $2\leq \left|z-w \right|\leq 8$
δ) Να αποδείξετε οτι $\sqrt{65}-3\left|z+w \right|\leq \sqrt{65}+3$

Την άσκηση την έλυσα ολη εκτος απο το δ που ρώτησα ,αν και το ειχα λυσει στο προχειρο με ανισοτητα .Απλα ανεβασα ολο το θεμα για να δειτε αν χρειαζεται κατι για το ερωτημα που ρωτησα,αν και δε νομιζω .

Κάπου είχα διαβάσει οτι απαιτούνται κάποιες προυποθέσεις ωστε να χρησιμοποιήσει κανεις τριγωνικη ανισοτητα στους μιγαδικούς.Ισχύει κάτι τέτοιο ή μπορώ να λυσω το ερωτημα χωρις να γραψω τιποτα παραπάνω; :hmm:

mary-blackrose · 03-12-12

Αρχική Δημοσίευση από bueno:
lim(x--> +00) [ln(1/x)]

Code:

[LATEX]\Theta \epsilon \tau \omega \quad \frac { 1 }{ x } =\kappa \quad \quad \tau \o \quad x\rightarrow +\infty \quad \tau \o \quad \kappa \rightarrow 0\\ \Leftrightarrow x\cdot \kappa =1\\ \Leftrightarrow x=\frac { 1 }{ \kappa \\  } \\ \varepsilon \pi \o \mu \varepsilon \nu \omega \varsigma \quad \lim _{ \kappa \rightarrow 0 }{ \ln { \frac { 1 }{ \kappa  }  }  } =-\infty \quad \\[/LATEX]

rebel · 3 Δεκεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Polymnia:
Κάπου είχα διαβάσει οτι απαιτούνται κάποιες προυποθέσεις ωστε να χρησιμοποιήσει κανεις τριγωνικη ανισοτητα στους μιγαδικούς.Ισχύει κάτι τέτοιο ή μπορώ να λυσω το ερωτημα χωρις να γραψω τιποτα παραπάνω;

Δεν γνωρίζω κάποια προϋπόθεση. Είναι άλλωστε στοιχειώδης. Χρησιμοποίησέ την άφοβα.
Άλλος τρόπος χωρίς τριγωνική ανισότητα είναι να παρατηρήσεις ότι ο γ.τ. του $-w$ είναι ο κύκλος με κέντρο $K(-4,-5)$ και ακτίνα $\rho=2$ και δουλεύεις γεωμετρικά.

lowbaper92 · 03-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Polymnia:
Κάπου είχα διαβάσει οτι απαιτούνται κάποιες προυποθέσεις ωστε να χρησιμοποιήσει κανεις τριγωνικη ανισοτητα στους μιγαδικούς.Ισχύει κάτι τέτοιο ή μπορώ να λυσω το ερωτημα χωρις να γραψω τιποτα παραπάνω;

Μήπως εννοείς ότι η τριγωνική ανισότητα εξασφαλίζει μόνο φράγματα, και όχι μέγιστες/ελάχιστες τιμές?

Polymnia · 03-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Δεν γνωρίζω κάποια προϋπόθεση. Είναι άλλωστε στοιχειώδης. Χρησιμοποίησέ την άφοβα.
Άλλος τρόπος χωρίς τριγωνική ανισότητα είναι να παρατηρήσεις ότι ο γ.τ. του $-w$ είναι ο κύκλος με κέντρο $K(-4,-5)$ και ακτίνα $\rho=2$ και δουλεύεις γεωμετρικά.

Μάλιστα!
Θα τη λύσω και γεωμετρικά,όπως είπες.
Σε ευχαριστώ για άλλη μια φορά για την πολύτιμη βοήθειά σου!

Μήπως εννοείς ότι η τριγωνική ανισότητα εξασφαλίζει μόνο φράγματα, και όχι μέγιστες/ελάχιστες τιμές?

Ναι αυτό εννοώ φίλτατε.Είναι σωστό ; :hmm:

φρι · 04-12-12

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:

Code:

[LATEX]\Theta \epsilon \tau \omega \quad \frac { 1 }{ x } =\kappa \quad \quad \tau \o \quad x\rightarrow +\infty \quad \tau \o \quad \kappa \rightarrow 0\\ \Leftrightarrow x\cdot \kappa =1\\ \Leftrightarrow x=\frac { 1 }{ \kappa \\  } \\ \varepsilon \pi \o \mu \varepsilon \nu \omega \varsigma \quad \lim _{ \kappa \rightarrow 0 }{ \ln { \frac { 1 }{ \kappa  }  }  } =-\infty \quad \\[/LATEX]

Ναι,το ελυσα τελικα. Σε ευχαριστω

φρι · 04-12-12

Lim(x-->0) [(ημ^2x /x)* συν(1/χ)]
Διπλα στο ημιτονο δν ειναι ημ2x αλλα ημιτονο τετραγωνο του χ

lowbaper92 · 04-12-12

Αρχική Δημοσίευση από Polymnia:
Ναι αυτό εννοώ φίλτατε.Είναι σωστό ;

Ναι, η τριγωνική ανισότητα εξασφαλίζει μόνο φράγματα, και όχι μέγιστες/ελάχιστες τιμές.
Αν έχεις το βοήθημα Στεργίου-Νάκης πήγαινε σελίδα 53 (1ο τεύχος) για να το δεις.

φρι · 04-12-12

Αρχική Δημοσίευση από bueno:
Lim(x-->0) [(ημ^2x /x)* συν(1/χ)]
Διπλα στο ημιτονο δν ειναι ημ2x αλλα ημιτονο τετραγωνο του χ

?
δεν εχω καταλάβει παιδιά τις "μηδενικες επι φραγμενες" με τα απολυτα π βαζεις μετα κτλ.οποιος μπορει χελπ

Civilara · 04-12-12

Αρχική Δημοσίευση από bueno:
Lim(x-->0) [(ημ^2x /x)* συν(1/χ)]
Διπλα στο ημιτονο δν ειναι ημ2x αλλα ημιτονο τετραγωνο του χ

lim(x->0)(((ημx)^2)/(x^2))=(lim(x->0)(ημx/x))^2=1^2=1
lim(x->0)(((ημx)^2)/x)=lim(x->0)[(((ημx)^2)/(x^2))*x]=lim(x->0)(((ημx)^2)/(x^2))*lim(x->0)x=1*0=0

lim(x->0)(((ημx)^2)/x)=0 <=> lim(x->0-)(((ημx)^2)/x)=lim(x->0+)(((ημx)^2)/x)=0

Για κάθε x ανήκει R* έχουμε:

|(((ημx)^2)/x)συν(1/x)|=|(((ημx)^2)/x)||συν(1/x)|=[(((ημx)^2)/|x|]|συν(1/x)|<=(((ημx)^2)/|x|
Επομένως

-(((ημx)^2)/|x|)<=(((ημx)^2)/x)συν(1/x)<=((ημx)^2)/|x| για κάθε x ανήκει R*

Αν x>0 τότε |x|=x, οπότε ισχύει -(((ημx)^2)/x)<=(((ημx)^2)/x)συν(1/x)<=((ημx)^2)/x για κάθε x ανήκει (0,+οο)

lim(x->0+)[-(((ημx)^2)/x)]=-lim(x->0+)(((ημx)^2)/x)=-0=0
Επειδή lim(x->0+)[-(((ημx)^2)/x)]=lim(x->0+)(((ημx)^2)/x)=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής lim(x->0+)[(((ημx)^2)/x)συν(1/x)]=0

Αν x<0 τότε |x|=-x, οπότε ισχύει ((ημx)^2)/x<=(((ημx)^2)/x)συν(1/x)<=-(((ημx)^2)/x) για κάθε x ανήκει (-oo,0)

lim(x->0-)[-(((ημx)^2)/x)]=-lim(x->0-)(((ημx)^2)/x)=-0=0
Επειδή lim(x->0-)(((ημx)^2)/x)=lim(x->0-)[-(((ημx)^2)/x)]=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής lim(x->0-)[(((ημx)^2)/x)συν(1/x)]=0

Επειδή lim(x->0-)[(((ημx)^2)/x)συν(1/x)]=lim(x->0+)[(((ημx)^2)/x)συν(1/x)]=0 τότε lim(x->0)[(((ημx)^2)/x)συν(1/x)]=0

φρι · 04-12-12

εκτιμώ όλα όσα έκανες αλλά δεν είμαι σε θέση να το διαβασω γιατι δε βγάζω νοημα.

rebel · 04-12-12

Λίγο πιο σύντομα η λύση του Γιώργου:
Επειδή $\left|\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x}\right| \leq 1$ είναι

$\left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x}\right|\leq \left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|\cdot1 \Rightarrow -\left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|\leq \frac{\eta\mu ^2x}{x}\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x} \leq \left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|$

Επίσης

$\lim_{x \to 0}\frac{\eta\mu ^2x}{x}=\lim_{x \to 0}x\frac{\eta\mu ^2x}{x^2}=0\cdot 1=0$

οπότε

$\lim_{x \to 0}\left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|=\lim_{x \to 0}\left(-\left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|\right)=0$

Λόγω του κριτηρίου παρεμβολής τελικά το όριο είναι 0.

φρι · 04-12-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Λίγο πιο σύντομα η λύση του Γιώργου:
Επειδή $\left|\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x}\right| \leq 1$ είναι

$\left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x}\right|\leq \left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|\cdot1 \Rightarrow -\left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|\leq \frac{\eta\mu ^2x}{x}\sigma\upsilon \nu \frac{1}{x} \leq \left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|$

Επίσης

$\lim_{x \to 0}\frac{\eta\mu ^2x}{x}=\lim_{x \to 0}x\frac{\eta\mu ^2x}{x^2}=0\cdot 1=0$

οπότε

$\lim_{x \to 0}\left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|=\lim_{x \to 0}\left(-\left|\frac{\eta\mu ^2x}{x}\right|\right)=0$

Λόγω του κριτηρίου παρεμβολής τελικά το όριο είναι 0.

στη δευτερη γραμμη γτ να ειναι μικροτερο η ισο αυτου του απολυτου;; του |ημ²χ/χ| ?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος