Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Bl4Ck_PyTh0N! · 13-08-11

Tέσπα,δίνω εγώ μια καλή άσκηση.

Αν ισχύει ότι α+β=4 τότε να αποδείξετε ότι : α) $\alpha \beta \leq 4$ και β) ${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}\geq 8$

Polkiu · 13-08-11

Να δώσω λύση??

Guest 278211 · 13-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Polkiuzxc:
Να δώσω λύση??

Να αφήσουμε καλύτερα τους μικρότερους να προσπαθήσουν πρώτοι, αφού δεν είναι και δύσκολη... Αν και για να πω την αλήθεια, μάλλον πιο πολύ ασχολούμαστε όσοι είμαστε μεγαλύτεροι...

Θα πρότεινα να την αφήσουμε μέχρι αύριο π.χ.

akis95 · 13-08-11

α+β=4

αβ<=4 <=> α(4-α)<=4 <=> 4α - α²-4<=0<=> (α-2)²>=0 που ισχυει

α²+β²>=8 <=> (α+β)² -2αβ>=8 <=> 8-2αβ>=ο 8>=2αβ που ισχυει αν πολλαπλασιασουμε με 2 την (α)

g1wrg0s · 13-08-11

Ετσι ειναι καλυτερα ! Καλο θα ηταν παιδια σαν τον Ακη να λυνουν τις ασκησεις...

Guest 018946 · 13-08-11

για δωστε καμια αλλη.

akis95 · 13 Αυγούστου 2011

Να συγκριθούν οι αριθμοί :

Εχω και αλλες ωραιες αλλα δεν εχω καλο ιντερνετ μια κοβεται μια ερχεται μου εχει σπασει τα νευρα τελος παντων λυστε αυτη και βλεπουμε

--

και μια αλλη
Αν οι αριθμοί

είναι θετικοί και :

,

να αποδειχθεί ότι

.

Guest 018946 · 13-08-11

to

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Να συγκριθούν οι αριθμοί :

Εχω και αλλες ωραιες αλλα δεν εχω καλο ιντερνετ μια κοβεται μια ερχεται μου εχει σπασει τα νευρα τελος παντων λυστε αυτη και βλεπουμε

--

και μια αλλη
Αν οι αριθμοί

είναι θετικοί και :

,

να αποδειχθεί ότι

.

tough ones..

13diagoras · 13 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Αν οι αριθμοί

είναι θετικοί και :

,

να αποδειχθεί ότι

.

Ανεβαζω λυση ...Ακυρο.
Ακη πηγα να την λυσω με ανισοτητες αλλα κατι δεν μου παει καλα,αν αποδεικνυεται με τον τροπο που την προσπαθω.
Θα την ελυνα ,εαν αντιμεταθεταμε τον 2ο με τον 4ο ορο. :whistle:

Οποτε μια αλλη ασκηση ειναι να αλλαξουμε τον 2ο με τον 4ο ορο και υπο τα ιδια δεδομενα,να αποδειξουμε το ιδιο ζητουμενο.
Η λυση της δικης μου ειναι αυτη:

Bl4Ck_PyTh0N! · 14-08-11

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Να συγκριθούν οι αριθμοί :

Εχω και αλλες ωραιες αλλα δεν εχω καλο ιντερνετ μια κοβεται μια ερχεται μου εχει σπασει τα νευρα τελος παντων λυστε αυτη και βλεπουμε

--

και μια αλλη
Αν οι αριθμοί

είναι θετικοί και :

,

να αποδειχθεί ότι

.

Nα βάλω κι εγώ με τη σειρά μου τη λύση στη δεύτερη άσκηση.
$\frac{\alpha+\beta }{2}+\sqrt{\alpha \beta }=\sqrt{\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{2}}+\frac{2\alpha \beta }{\alpha +\beta }$ Πολλαπλασιάζω με 2(α+β) που είναι διάφορο του μηδενός κι έχω
${(\alpha +\beta )}^{2}+2(\alpha +\beta )\sqrt{\alpha \beta }=2(\alpha +\beta )\sqrt{\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{2}} +4\alpha \beta \Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+2\alpha \beta -4\alpha \beta =2(\alpha +\beta )[\sqrt{\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{2}}-\sqrt{\alpha \beta }]\Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-2\alpha \beta =2(\alpha +\beta )[\sqrt{\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{2}}-\sqrt{\alpha \beta }]$ (1)

Θέτω $\sqrt{\alpha \beta }=\chi\geq 0$ (2) και $\sqrt{\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{2}}=\psi \geq 0$ (3)
Ισχύει ότι ${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}={(\alpha +\beta )}^{2}-2\alpha \beta$ (4)
$(3)\Leftrightarrow{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}=2{\psi }^{2}<=> {(\alpha +\beta )}^{2}-2\alpha \beta =2{\psi }^{2}$
Από τη σχέση (2) προκύπτει ότι αβ=χ²
Οπότε έχουμε ${(\alpha +\beta )}^{2}=2{\psi }^{2}+2{\chi }^{2}\Leftrightarrow {\alpha +\beta }=\sqrt{2({\psi }^{2}+{\chi }^{2})}$ (4)
Με την βοήθεια των σχέσεων (2),(3) και (4) η (1) γράφεται : $2{\psi }^{2}-2{\chi }^{2}=2(\sqrt{2({\psi }^{2}+{\chi }^{2})})(\psi -\chi )\Leftrightarrow 2({\psi }^{2}-{\chi }^{2})=2(\sqrt{2({\psi }^{2}+{\chi }^{2})})(\psi -\chi )\Leftrightarrow 2(\psi -\chi )(\psi +\chi )-2(\sqrt{2({\psi }^{2}+{\chi }^{2})})(\psi -\chi )=0\Leftrightarrow 2(\psi -\chi )[(\psi +\chi )-(\sqrt{2({\psi }^{2}+{\chi }^{2})}]=0$
Άρα $\psi -\chi =0$ ή $\psi +\chi -\sqrt{2({\psi }^{2}+{\chi }^{2})}=0$
Οπότε έχουμε
$\psi=\chi\Leftrightarrow \sqrt{\alpha \beta }=\sqrt{\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{2}}\Leftrightarrow \alpha \beta={\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{2}}\Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-2\alpha \beta =0 \Leftrightarrow {(\alpha -\beta )}^{2}=0 \Leftrightarrow \alpha =\beta$
Eπίσης :
$\psi +\chi =\sqrt{2({\psi }^{2}+{\chi }^{2})}\Leftrightarrow {(\psi +\chi )}^{2}=2{\psi }^{2}+2{\chi }^{2}\Leftrightarrow {\psi }^{2}+{\chi }^{2} +2\psi \chi =2{\psi }^{2}+2{\chi }^{2}\Leftrightarrow {\psi }^{2}+{\chi }^{2}-2\chi \psi =0\Leftrightarrow {(\psi -\chi )}^{2}=0\Leftrightarrow \psi -\chi =0\Leftrightarrow \psi =\chi \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \alpha =\beta$

Ξέρω πως σε κάποια σημεία ενδεχομένως να μη γίνω κατανοητός.Περιμένω απορίες πάνω στη λύση.Τώρα προσπαθώ και την πρώτη σου άσκηση φίλε Άκη.

Φιλικά
Γιώργος.

Guest 018946 · 14-08-11

δεν μπορω να καταλαβω την λυση σουαπο εκει που μετασχηματιζεις την (1) με την βοηθεια της 3,4

Bl4Ck_PyTh0N! · 14-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
δεν μπορω να καταλαβω την λυση σουαπο εκει που μετασχηματιζεις την (1) με την βοηθεια της 3,4

Από τις (3) και (4) προσπαθώ να σχηματίσω τα (α+β) ,α²+β² ,-2αβ της (1) σε συνάρτηση με το χ και το ψ.

Κάτσε και λύσε τη στο χαρτί κι εσύ με αυτό τον τρόπο και θα την κατανοήσεις καλύτερα φίλε Τάσο!

wfgl · 14-08-11

Έστω δύο σχέσεις :
a ^2 + b^2 >= 2ab (1)
και c > -1 (2)
Αν τις προσθέσουμε θα διατηρηθεί ή όχι το μεγαλύτερο ή ίσο

13diagoras · 14-08-11

Δεν θα διατηρηθει...

g1wrg0s · 14-08-11

Ακριβως...Το >= σημαινει οτι τα δυο μελη ειναι ισα ή το αριστερα ειναι μεγαλυτερο απο το δεξια.
α) Αν ισχυει το πρωτο τοτε προσθετοντας την δευτερη ανισοτητα ευκολα συμπεραινεις οτι το αριστερο μελος ειναι πλεον μεγαλυτερο απο το δεξιο
β)Αν ισχυει το δευτερο τοτε παλι τα ιδια
...οποτε μετα την προσθεση της δευτερης ανισοτητας η ισοτητα καταργειται

Dmitsos · 14-08-11

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
και μια αλλη
Αν οι αριθμοί

είναι θετικοί και :

,

να αποδειχθεί ότι

.

Γράψτε άκυρο, είχα διαβάσει λάθος τη σχέση.

Guest 018946 · 15-08-11

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Να συγκριθούν οι αριθμοί :

Εχω και αλλες ωραιες αλλα δεν εχω καλο ιντερνετ μια κοβεται μια ερχεται μου εχει σπασει τα νευρα τελος παντων λυστε αυτη και βλεπουμε

--

και μια αλλη
Αν οι αριθμοί

είναι θετικοί και :

,

να αποδειχθεί ότι

.

χωρις να ειμαι σιγουρος η πρωτη λυνεται με ανισοτητα δυναμεων κατα την οποια ισχυει : για ${m} \succ {k}$
τοτε : $\sqrt[m]{\frac{{{a}_{1}}^{m}+{{a}_{2}}^{m}+.......+{{a}_{n}}^{m}}{n}} \geq \sqrt[k]{\frac{{{a}_{1}}^{k}+{{a}_{2}}^{k}+.......+{{a}_{n}}^{k}}{n}}$
οποτε εχουμε οτι ο πρωτος ειναι μικροτερος απο τον δευτερο με απλη εφαρμογη του τυπου .
ΥΣ: μεχρι να το γραψω αυτο το πραγμα σε latex μου βγηκε η πιστη!

Polkiu · 15-08-11

Επειδή είμαι στο χωριό και δεν έχω τα μέσα για να την λύσω, όταν την είχα λύσει την πρώτη αρχίζεις ότι 11<12 και πας συνθετικά και βγάζεις αυτό που εΙπες. Οταν πάω Αθήνα θα σας ανεβάσω την λύση.

Guest 018946 · 16 Αυγούστου 2011

θα ηταν καλο να μαζευουμε την θεωρια που χρησιμοποιουμε στις πιο προχωρημενες ασκησεις και καποιος να την γραψει σε pdf για να εχουν ολοι οι μαθητες μια ιδεα για λιγο πιο προωρημενα πραγματα

εστω οτι θελω να αποδειξω την ανισοτητα ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \geq {a}+{b}+{c}$ με : ${a} , {b} , {c} \geq$ και : ${a}{b}{c}=1$ μπορω να πω πως ${a}^{2} \geq {a} (1)$ , ${b}^{2} \geq {b} (2)$ ${c}^{2} \geq {c} (3)$ τοτε προσθετω τις (1) , (2) και (3) κατα μελη και προκυπτει το ζητουμενο. Η μεθοδος αυτη ισχυει ή ειναι λαθος ?

Guest 018946 · 16-08-11

Το θεμα ανοιχτηκε μετα απο παροτρυνση του moderator vaios13. Eδω θα μπαινουν ασκησεις που αφορουν την αλγεβρα της α λυκειου και ισως και λιγο πιο προχωρημενου επιπεδου .
ΥΣ: Καποιος moderator να μεταφερει τα μηνυματα του προηγουμενου thread εδω διοτι υπηρχαν πολυτιμες ασκησεις που αξιζουν να αναρτηθουν .

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης