Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

exc · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
${d}^{6}=64\Leftrightarrow \left|d \right|=\sqrt[6]{64}\Leftrightarrow \left|d \right|=\sqrt[6]{{2}^{6}}\Leftrightarrow \left|d \right|=2\Leftrightarrow d=2$ ή $d=-2$

Ελπίζω πως δεν υπάρχει πρόβλημα που δεν είμαι στην α'λυκείου!

Βασικά πειράζει. Γιατί αφού μόλις τελείωσες το λύκειο, έπρεπε να αναρτηθείς αν το d είναι πραγματικός η μιγαδικός.
Η απάντηση στους μιγαδικούς είναι η:
$d=e^{\frac{i\cdot n\cdot\pi}{3}}\,,n\in\{0,1,\ldots,5\}$
Έλεγξέ το.
Ισχύει: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
οχι ρε πυθωνα κανενα προβλημα ισα ισα. ετσι σε θελω συμμετοχη στα thread της αλγεβρας α λυκειου

αυτη θα την προσπαθει κανεις γιατι αν οχι να ανεβασω την λυση . σε latex

Αυτή είναι γελοιωδώς εύκολη ακόμη και για μαθητή Α λυκείου.
Αυτά που έχουν κάποιο ενδιαφέρον για έναν μαθητή λυκείου είναι τα άλλα που είχες βάλει σε προηγούμενο μήνυμά σου:

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
ας βαλω και μια που μου φανηκε απλη : εαν $x+\frac{1}{x}=6$ να υπολογισετε το $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$
και μια ακομα να συγκρινετε τους αριθμους : $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ και $\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$

Guest 018946 · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Βασικά πειράζει. Γιατί αφού μόλις τελείωσες το λύκειο, έπρεπε να αναρτηθείς αν το d είναι πραγματικός η μιγαδικός.
Η απάντηση στους μιγαδικούς είναι η:
$d=e^{\frac{i\cdot n\cdot\pi}{3}}\,,n\in\{0,1,\ldots,5\}$
Έλεγξέ το.
Ισχύει: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Αυτή είναι γελοιωδώς εύκολη ακόμη και για μαθητή Α λυκείου.
Αυτά που έχουν κάποιο ενδιαφέρον για έναν μαθητή λυκείου είναι τα άλλα που είχες βάλει σε προηγούμενο μήνυμά σου:

τι να σου πω τους μιγαδικους δεν τους εχω . Μονο μια γενικη ιδεα εχω τιποτα παραπανω. Οσο για τις προηγουμενες ασκησεις που εβαλα δυστυχως ποτε δεν απαντηθηκαν :/:

Polkiu · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Βασικά πειράζει. Γιατί αφού μόλις τελείωσες το λύκειο, έπρεπε να αναρτηθείς αν το d είναι πραγματικός η μιγαδικός.
Η απάντηση στους μιγαδικούς είναι η:
$d=e^{\frac{i\cdot n\cdot\pi}{3}}\,,n\in\{0,1,\ldots,5\}$
Έλεγξέ το.
Ισχύει: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Δεν θυμάμαι να διδαχτήκαμε κάτι τέτοιο φέτος στα μαθηματικά :hmm:

Bl4Ck_PyTh0N! · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Polkiuzxc:
Δεν θυμάμαι να διδαχτήκαμε κάτι τέτοιο φέτος στα μαθηματικά

όχι δεν έχουμε διδαχθεί κάτι τέτοιο.Προφανώς το παιδί exc έχει κάνει όλη την ύλη των μιγαδικών κι όχι ένα κομμάτι τους όπως εμείς.

Guest 018946 · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από julietini:
Να ρωτησω κατι?? Αυτα ειναι σιγουρα μαθηματικα α Λυκειου? Φαινονται δυσκολα!

καλου κακου κανε μια επαναληψη στα μαθηματικα της γ πριν πας στο λυκειο

exc · 12 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Οσο για τις προηγουμενες ασκησεις που εβαλα δυστυχως ποτε δεν απαντηθηκαν

Ναι το πρόσεξα ότι κανείς δεν ασχολήθηκε για αυτό τις επανέφερα.

Αρχική Δημοσίευση από Polkiuzxc:
Δεν θυμάμαι να διδαχτήκαμε κάτι τέτοιο φέτος στα μαθηματικά

Είναι περίπου εκτός ύλης. Δεν είπα ότι έπρεπε να το γνώριζε, είπα ότι έπρεπε να αναρωτηθεί αν το d είναι πραγματικός ή όχι πριν δώσει τη λύση, γιατί κάθε μονώνυμο βαθμού n έχει n ρίζες και βρήκε μόνο δύο για ένα 6ου βαθμού.

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
όχι δεν έχουμε διδαχθεί κάτι τέτοιο.Προφανώς το παιδί exc έχει κάνει όλη την ύλη των μιγαδικών κι όχι ένα κομμάτι τους όπως εμείς.

Είθισται σε ένα τμήμα Φυσικής...

Bl4Ck_PyTh0N! · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Ναι το πρόσεξα ότι κανείς δεν ασχολήθηκε για αυτό τις επανέφερα.

Είναι περίπου εκτός ύλης. Δεν είπα ότι έπρεπε να το γνώριζε, είπα ότι έπρεπε να αναρωτηθεί αν το d είναι πραγματικός ή όχι πριν δώσει τη λύση, γιατί κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει n ρίζες και βρήκε μόνο δύο για ένα 6ου βαθμού.

Είναι τόπικ της Α'λυκείου.Δε θέλω να πανικοβάλλω τα παιδιά με τους μιγαδικούς αριθμούς.

Guest 018946 · 12-08-11

να αρχισω να βαζω λυσεις (κοινως να παρει φωτια το latex ) ή καποιος τις προσπαθει ?

exc · 12 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Είναι τόπικ της Α'λυκείου.Δε θέλω να πανικοβάλλω τα παιδιά με τους μιγαδικούς αριθμούς.

Δίκαιο έχεις.

Δεν προσπαθώ να σε μειώσω, αφού μάλιστα η λύση ήταν εκτός και από την Γ λυκείου, απλώς ήθελα να πω σε όλους ότι ένα μονώνυμο ν βαθμού έχει ν ρίζες και αυτές δεν είναι απαραίτητα πραγματικές.
Είναι κάτι που τονίζεται κατά μία έννοια από τη β γυμνασίου όταν μαθαίνουν τον τύπο επίλυσης των δευτεροβάθμιων όταν τους λένε ότι μία εξίσωση δεν έχει ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς ή με το ότι μία εξίσωση έχει διπλή ρίζα.

Guest 018946 · 12 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Δίκαιο έχεις. Δεν προσπαθώ να σε μειώσω, αφού μάλιστα η λύση ήταν εκτός και από την Γ λυκείου, απλώς ήθελα να πω σε όλους ότι ένα πολυώνυμο ν βαθμού έχει ν ρίζες και αυτές δεν είναι απαραίτητα πραγματικές.
Είναι κάτι που τονίζεται κατά μία έννοια από τη β γυμνασίου όταν μαθαίνουν τον τύπο επίλυσης των δευτεροβάθμιων όταν τους λένε ότι μία εξίσωση δεν έχει ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς ή με το ότι μία εξίσωση έχει διπλή ρίζα.

απο οτι ξερω ενα πολυωνυμο εχει το πολυ οσες πραγματικες και μιγαδικες οσες και ο βαθμος του

exc · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
απο οτι ξερω ενα πολυωνυμο εχει το πολυ οσες πραγματικες και μιγαδικες οσες και ο βαθμος του

Βασικά το διόρθωσα, μιλούσα για μονώνυμα (είχα ξεχάσει την σωστή ορολογία).

Guest 018946 · 12-08-11

αυτο που ειπα ισχυει και για μονωνυμα right?

Bl4Ck_PyTh0N! · 24 Ιουνίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Τάσο έκανα μια προσπάθεια.Κοίταξε τη να μου πεις. Την απέδειξα με έναν τρόπο 2 βημάτων.Ακολουθεί η λύση

$\frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}\leq x+y\Leftrightarrow \frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}-(x+y)\leq 0 \Leftrightarrow \frac{(x+y)({x}^{2}-xy+{y}^{2})}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}-(x+y)\leq 0\Leftrightarrow \frac{(x+y)({x}^{2}-xy+{y}^{2})-(x+y)({x}^{2}+xy+{y}^{2})}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}\leq 0\Leftrightarrow \frac{(x+y)[{x}^{2}-xy+{y}^{2}-({x}^{2}+xy+{y}^{2})]}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}\leq 0\Leftrightarrow \frac{-2xy(x+y)}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}\leq 0$

Γνωρίζουμε ότι η παράσταση $-2xy(x+y)<0$ (1) αφού οι x και οι y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί

Επίσης, αποδεικνύω ότι ${{x}^{2}+xy+{y}^{2}}\geq 0$ (2) ως εξής :
${{x}^{2}+xy+{y}^{2}}\geq 0{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}\geq 0\Leftrightarrow {{x}^{2}+2x\frac{y}{2}+{y}^{2}}\geq 0 \Leftrightarrow {{x}^{2}+2x\frac{y}{2}+{\frac{y}{4}}^{2}-\frac{y}{4}}^{2}+{y}^{2}}\geq 0\Leftrightarrow {({x}+\frac{y}{2}})^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}+{y}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {({x}+\frac{y}{2}})^{2}+\frac{{3y}^{2}}{4}\geq 0$ που ισχύει αφού έχουμε άθροισμα τετραγώνων

Οπότε συνδυάζοντας την (1) με τη (2) προκύπτει η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε. Α,αν την έχεις λύσει διαφορετικά,θέλω τη λύση σου. (έχω την εντύπωση ότι κάτι δεν πάει καλά στην εκφώνησή σου με την ισότητα αφού το x και το y θετικοί διάφοροι του μηδενός :O )

Εdit : Έκανα λάθος στην αρίθμηση των σχέσεων.

exc · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
αυτο που ειπα ισχυει και για μονωνυμα right?

Προφανώς.
Επίσης, ισχύει ότι κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στους μιγαδικούς.
Και εδώ να διευκρινίσουμε για όσους δεν το ξέρουν ότι οι πραγματικοί είναι υποσύνολο των μιγαδικών και συνεπώς όταν λέμε ότι ο a είναι μιγαδικός, δεν αποκλείουμε να είναι και ένας καθαρά πραγματικός.
---
@Bl4Ck_PyTh0N!
Βασικά γιατί δεν πολλαπλασίασες και τα δύο μέλη με τον παρανομαστή του αριστερού μέλους; Κάνε το να δεις τι βγάζεις.

Bl4Ck_PyTh0N! · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Προφανώς.
Επίσης, ισχύει ότι κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στους μιγαδικούς.
Και εδώ να διευκρινίσουμε για όσους δεν το ξέρουν ότι οι πραγματικοί είναι υποσύνολο των μιγαδικών και συνεπώς όταν λέμε ότι ο a είναι μιγαδικός, δεν αποκλείουμε να είναι και ένας καθαρά πραγματικός.
---
@Bl4Ck_PyTh0N!
Βασικά γιατί δεν πολλαπλασίασες και τα δύο μέλη με τον παρανομαστή του αριστερού μέλους; Κάνε το να δεις τι βγάζεις.

Σχεδόν το ίδιο βγάζουμε.Απλά εγώ τα έκανα ομώνυμα πρώτα.Ουσιαστικά γι αυτό το λόγο έκανα και την δεύτερη απόδειξη.Εμένα με κολλάει η ισότητα αφού οι χ,y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός. :hmm:

Guest 018946 · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Εdit : Έκανα λάθος στην αρίθμηση των σχέσεων.

η λυση μου ειναι αρκετα πιο απλη και γρηγορη απο την δικια σου κοιτα :
$\frac{({x}+{y})({x}^{2}-{xy}+{y}^{2})}{{x}^{2}+{xy}+{y}^{2}} \leq {x}+{y}$ χιαστι
και παιρνω $\frac{({x}+{y})({x}^{2}-{xy}+{y}^{2})}{{x}+{y}} \leq \frac{({x}+{y})({x}^{2}+{xy}+{y}^{2})}{{x}+{y}}$
απο εδω βρισκω ${x}^{2}-{xy}+{y}^{2} \leq {x}^{2}+{xy}+{y}^{2}$
και καταληγω στο ${xy} \leq -{xy}$
οσο για την λυση σου πως ακριβως σκοπευεις να τις συνδειασεις ? ειναι αργα δεν σκεφτομαι πολυ καλα.

Bl4Ck_PyTh0N! · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
η λυση μου ειναι αρκετα πιο απλη και γρηγορη απο την δικια σου κοιτα :
$\frac{({x}+{y})({x}^{2}-{xy}+{y}^{2})}{{x}^{2}+{xy}+{y}^{2}} \leq {x}+{y}$ χιαστι
και παιρνω $\frac{({x}+{y})({x}^{2}-{xy}+{y}^{2})}{{x}+{y}} \leq \frac{({x}+{y})({x}^{2}+{xy}+{y}^{2})}{{x}+{y}}$
απο εδω βρισκω ${x}^{2}-{xy}+{y}^{2} \leq {x}^{2}+{xy}+{y}^{2}$
και καταληγω στο ${xy} \leq -{xy}$
οσο για την λυση σου πως ακριβως σκοπευεις να τις συνδειασεις ? ειναι αργα δεν σκεφτομαι πολυ καλα.

γνωρίζοντας ότι η (1)<0 και η (2)>=0 τότε καταλήγουμε στο ότι (1)(2)=<0 άρα και ότι (1)/(2)=<0 (όπου (1) και (2) οι προηγούμενες σχέσεις που έχω στο ποστ μου).Εξαιρετική η λύση σου,κομψή!

exc · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Σχεδόν το ίδιο βγάζουμε.Απλά εγώ τα έκανα ομώνυμα πρώτα.Ουσιαστικά γι αυτό το λόγο έκανα και την δεύτερη απόδειξη.Εμένα με κολλάει η ισότητα αφού οι χ,y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός.

Ναι, η ισότητα ισχύει μόνο εφόσον ισχύει χ,y>=0.
Βέβαια, αυτό που σου λέω εγώ δεν έχει καμία σχέση με αυτό που έκανες. Κοίτα:
$\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\leq x+y\Leftrightarrow x^3+y^3\leq x^3+2x^2y+2xy^2+x^3\Leftrightarrow 0\leq 2x^2y+2xy^2$
το οποίο (τελευταίο) ισχύει για χ,y>=0.

Bl4Ck_PyTh0N! · 12-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Ναι, η ισότητα ισχύει μόνο εφόσον ισχύει χ,y>=0.
Βέβαια, αυτό που σου λέω εγώ δεν έχει καμία σχέση με αυτό που έκανες. Κοίτα:
$\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\leq x+y\Leftrightarrow x^3+y^3\leq x^3+2x^2y+2xy^2+x^3\Leftrightarrow 0\leq 2x^2y+2xy^2$
το οποίο (τελευταίο) ισχύει για χ,y>=0.

Eγώ πολλαπλασίασα με τον παρανομαστή μετά που πήγα στο α μέλος το (χ+y).Και οι δυο λύσεις είναι σωστές.

Guest 018946 · 12-08-11

ρε συ τι καγκουριες εκανες στην αποδειξη της (2) ενω μπορεις ευκολα να δεις οτι ${x}^{2}+{y}^{2} \geq -{xy}$
βλεπεις οτι αθροισμα θετικων = θετικο που ειναι $\geq$ αρνητικου

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης