Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara

Περιβόητο μέλος

Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
χμμμ ας βάλω και εγώ μια άσκηση που προέκυψε από τον τρόπο που έλυσα μια άλλη άσκηση.. :P
εντάξει, μπορεί να λυθεί σε 2 σειρές :redface:

αν a b και a,b Ε νδο

Για βάλε α=1/e και b=1/(2e). Είναι α>b>0 και α^α<b^b. Υπάρχει λάθος.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Guest 278211

Επισκέπτης

αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμέν. Δεν έχει γράψει κανένα μήνυμα.
Να κοιτάξω ένα λεπτό την άσκηση μήπως ξέχασα και κάτι ακόμα...

αααα πάλι μισή είναι :fool: α>1 και β>1 συγνώμη...
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Επεξεργάστηκε από συντονιστή:

Dmitsos

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Δημήτρης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 929 μηνύματα.
Να κοιτάξω ένα λεπτό την άσκηση μήπως ξέχασα και κάτι ακόμα...

αααα πάλι μισή είναι :fool: α>1 και β>1 συγνώμη...



το οποιο ισχυει αφου και a-b>0, α>1, αρα . H ισοτητα ισχυει οτι α=β
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Guest 278211

Επισκέπτης

αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμέν. Δεν έχει γράψει κανένα μήνυμα.
@ Dmitsos : :D

γράφω και άλλη μια λύση:

1. έστω ότι α=β =>

2. έστω ότι όλα θετικά άρα
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Dmitsos

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Δημήτρης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 929 μηνύματα.
Σωστή η λύση σου, απλώς αυτό που έχουμε ισχύει και για αριθμούς μικρότερους του 1 (για την ακρίβεια από το 1/e και πάνω). Απλώς μας "περιορίζει" η εκφώνηση. Make a little kinky και κάντο

"Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους για α>=β ισχύει αυτό που λέμε"

:D
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

red span

Δραστήριο μέλος

Ο ΧΑΡΗΣ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Πτολεμαΐδα (Κοζάνη). Έχει γράψει 407 μηνύματα.
Μια ασκηση για τους μαθητες,επαναληπτικη στις συναρτησεις
Εστω η συνάρτηση f : R-->R για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει
fof(x)=x για καθε χ Ε R
Να αποδειχθεί ότι
1)η f είναι συνάρτηση 1-1
2)η f έχει σύνολο τιμών το R
3)Η εξισωση f(x)=2011 έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία να βρεθεί
4)f^-1(x)=f(x) για καθε x e R
5)Αν η f περριτη τοτε και η f^-1 είναι περριτή
6)αν η συνάρτηση g(x)=e^f(x)+e^x για καθε χ ε R ειναι συνάρτηση 1-1 τότε είναι f(x)=x για καθε x ε R
Νομιζω πως ειναι μια καλή άσκηση για επανάληψη στις συναρτήσεις
(Απο τα γραφομενα του Κωστα Γκατζουλη)
Φιλικα Χαρης
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Guest 278211

Επισκέπτης

αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμέν. Δεν έχει γράψει κανένα μήνυμα.
:D ευχαριστώ για την άσκηση, και είχα όρεξη για συναρτήσεις τώρα!!!

1) για κάθε (αφού f(x): R --> R)
έστω και άρα η f είναι 1-1.

2) έστω f(x)=y, (1)
f(y)=x => y=f^-1(x) (αφού f 1-1) => (2) (αφού f^-1: f(R)-->R)
από (1) και (2) =>

3) η f είναι 1-1 άρα f(x)=2011 έχει ακριβώς μια ρίζα.
f(x)=2011 => fof(x)=f(2011) => x=f(2011)

4) f(f(x))=x , όλα άρα f^-1(fof(x))=f^-1(x) => f(x)=f^-1(x)

5) αν η f είναι περιττή, τότε ισχύει: -f(x)=f(-x) ή f(x) = -f(-x)
f^-1(x)=f(x)=-f(-x)=-f^-1(-x) δηλαδή -f^-1(x)=f^-1(-x) άρα είναι και η f^-1 περιττή

6) δεν έχω λύσει ακόμα το ερώτημα αυτό :redface:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Επεξεργάστηκε από συντονιστή:

qwerty111

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο qwerty111 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής. Έχει γράψει 1,376 μηνύματα.
6.
g(x)=e^f(x)+e^x, xεR
Θέτω όπου χ το f(x) και παίρνω: g(f(x))=e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)=g(x),xεR
Δηλαδή g(f(x))=g(x) και επειδή η g είναι 1-1, f(x)=x, xεR

Ωραίο ερώτημα. Δεν θυμάμαι να έχω δει παρόμοιο.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

Guest 278211

Επισκέπτης

αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμέν. Δεν έχει γράψει κανένα μήνυμα.
6.
g(x)=e^f(x)+e^x, xεR
Θέτω όπου χ το g(x) και παίρνω: g(f(x))=e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)=g(x),xεR
Δηλαδή g(f(x))=g(x) και επειδή η g είναι 1-1, f(x)=x, xεR

Ωραία άσκηση. Δεν θυμάμαι να έχω δει παρόμοια.

:clapup: καλά λες!!! πωωωωω δεν το σκέφτηκα αυτό!!!! :redface:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

red span

Δραστήριο μέλος

Ο ΧΑΡΗΣ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Πτολεμαΐδα (Κοζάνη). Έχει γράψει 407 μηνύματα.
Guest 278211,qwerty13 ευχαριστω πολυ για την ενασχοληση με την ασκηση
Λιγο διαφορετικες προσσεγισεις σε καποια ερωτηματα
2) για να αποδειξω οτι η f εχει συνολο τιμων ενα συνολο Β αρκει να δειξω οτι υπαρχει μοναδικο χ ε Α τετοιο ωστε f(x)=y συνθετοντας ,με f(x)
εχω f(f(x))=f(y) και απο την υποθεση x=f(y) ,αρα επειδη η εξισωση y=f(x) εχει λυση για οποιαδξποτε τιμη του y το συνολο τιμων της f ειναι το R
Παντως με αρεσε και η προσεγγιση του Guest 278211
5)f(f^-1(x))=x (1)
Θετω οπου χ το -χ f(f^-1(-x))=-x
λογω της 1 f(f^-1(-x))=-f(f^-1(x)(αφου η f περριτη)
f(f^-1(x))=f(-f^-1(x))
η f ειναι ''1-1''
f^-1(x)=-f^-1(x)
Αρα η f^-1 περριτη
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Dmitsos

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Δημήτρης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 929 μηνύματα.
Έχοντας αποδείξει ότι η αντίστροφη συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R, μπορούμε εύκολα να βρούμε τον τύπο της χωρίς το βοηθητικό ερώτημα ως εξής



Οι ισοδυναμίες ισχύουν λόγω του χαρακτηρισμού ως 1-1 της αντίστροφης. Σορρυ αν μου ξεφεύγει κάτι, έχω να πιάσω μαθηματικα από το Μάιο.

Να κάνω μια tricky ερώτηση;

Αν μια συνάρτηση είναι 1-1, είναι και η αντίστροφή της 1-1;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

red span

Δραστήριο μέλος

Ο ΧΑΡΗΣ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Πτολεμαΐδα (Κοζάνη). Έχει γράψει 407 μηνύματα.
Έχοντας αποδείξει ότι η αντίστροφη συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R, μπορούμε εύκολα να βρούμε τον τύπο της χωρίς το βοηθητικό ερώτημα ως εξής



Οι ισοδυναμίες ισχύουν λόγω του χαρακτηρισμού ως 1-1 της αντίστροφης. Σορρυ αν μου ξεφεύγει κάτι, έχω να πιάσω μαθηματικα από το Μάιο.

Να κάνω μια tricky ερώτηση;

Αν μια συνάρτηση είναι 1-1, είναι και η αντίστροφή της 1-1;
Αν η f :A-->R ειναι ''1-1'' τότε η αντίστροφη της f^-1:f(A)--->R ειναι μοναδικη και ''1-1''
Εχω μια γεωμετρικη αποδειξη,αλλα νομιζω βγαινει με την κοινη λογικη
Φιλικα Χαρης
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

exc

Διάσημο μέλος

Ο exc αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 2,812 μηνύματα.
6.
g(x)=e^f(x)+e^x, xεR
Θέτω όπου χ το f(x) και παίρνω: g(f(x))=e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)=g(x),xεR
Δηλαδή g(f(x))=g(x) και επειδή η g είναι 1-1, f(x)=x, xεR

Ωραίο ερώτημα. Δεν θυμάμαι να έχω δει παρόμοιο.
Έχεις κάνει ένα σοβαρό λάθος. Μπορείς να βάλεις στη θέση του χ το f(x) ως μία άλλη μεταβλητή, αλλά δεν μπορείς να θεωρήσεις δεδομένο ότι ισχύει f(x)=x (αυτό ζητείται να αποδείξεις) και συνεπώς η ισότητα «e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)» η οποία έγραψες δεν ισχύει.

Με την προϋπόθεση, ότι θα χρησιμοποιήσεις το στοιχείο ότι η g(x) είναι 1-1 και συνεπώς από την εξίσωση που σου δίνει (
g(x)=e^f(x)+e^x) συμπεραίνεις ότι και η f(x) είναι 1-1, σωστή απάντηση είναι η παρακάτω:
Η οποία καλύτερα θα ήταν να γραφεί διαφορετικά ως εξής:
Ισχύει f(f(x))=χ.
Επειδή f είναι 1-1, ισχύει και f(f^-1(x))=x.
Επομένως ισχύει ότι: f(f^-1(x))=f(f(x)), από εδώ επειδή η f είναι 1-1 ισχύει: f^-1(x)=f(x) και επομένως f(x)=x.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

vassilis498

Διακεκριμένο μέλος

Ο vassilis498 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 7,079 μηνύματα.
Έχεις κάνει ένα σοβαρό λάθος. Μπορείς να βάλεις στη θέση του χ το f(x) ως μία άλλη μεταβλητή, αλλά δεν μπορείς να θεωρήσεις δεδομένο ότι ισχύει f(x)=x (αυτό ζητείται να αποδείξεις) και συνεπώς η ισότητα «e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)» η οποία έγραψες δεν ισχύει.

Με την προϋπόθεση, ότι θα χρησιμοποιήσεις το στοιχείο ότι η g(x) είναι 1-1 και συνεπώς από την εξίσωση που σου δίνει (
g(x)=e^f(x)+e^x) συμπεραίνεις ότι και η f(x) είναι 1-1, σωστή απάντηση είναι η παρακάτω:

Η οποία καλύτερα θα ήταν να γραφεί διαφορετικά ως εξής:
Ισχύει f(f(x))=χ.
Επειδή f είναι 1-1, ισχύει και f(f^-1(x))=x.
Επομένως ισχύει ότι: f(f^-1(x))=f(f(x)), από εδώ επειδή η f είναι 1-1 ισχύει: f^-1(x)=f(x) και επομένως f(x)=x.

δε νομίζω ότι κάνει κάτι λάθος η ιδιότητα που εκμεταλλεύεται είναι το fof(x)=x ( το οποίο δίνεται ) και όχι το f(x)=x
από την άλλη δεν καταλαβαίνω πώς προκύπτει το bold.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Guest 278211

Επισκέπτης

αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμέν. Δεν έχει γράψει κανένα μήνυμα.
@ red span: :D (είμαι η Guest 278211 :P )
@ exc: Γνωρίζουμε πως η g είναι 1-1, οπότε δεν υπάρχει λάθος

Γενικά: Το 6ο ερώτημα χρειάζεται για να απαντήσουμε ότι f(x)=x, διαφορετικά δεν αποδεικνύεται. Για παράδειγμα, αν fof(x)=x μπορεί f(x)=-x.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Dmitsos

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Δημήτρης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 929 μηνύματα.
Αν η f :A-->R ειναι ''1-1'' τότε η αντίστροφη της f^-1:f(A)--->R ειναι μοναδικη και ''1-1''
Εχω μια γεωμετρικη αποδειξη,αλλα νομιζω βγαινει με την κοινη λογικη
Φιλικα Χαρης

Aχ πόσο μ' αρέσει αυτό που θα κάνω τώρα :P

'Εχουμε f: A -> B.

A= {1,2,3}
f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3.
B= {1,2,3,4}={f(1),f(2),f(3),4}

Όλα τα στοιχεία του Α αντιστοιχίζονται σε κάτι του Β, όμως δεν αντιστοιχίζοντα όλα του Β σε κάτι του Α, οπότε η έννοια της αντίστροφης δεν ισχύει στην περίπτωση αυτή!

Κάπου υπάρχει μια λεπτή διαφορά...και κάνει τη διαφορά :P
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Guest 278211

Επισκέπτης

αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμέν. Δεν έχει γράψει κανένα μήνυμα.
Αν μια συνάρτηση είναι 1-1, είναι και η αντίστροφή της 1-1;

Ναι. Αν η Df=A τότε η f και η f^-1 είναι 1-1 για κάθε
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

red span

Δραστήριο μέλος

Ο ΧΑΡΗΣ αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Πτολεμαΐδα (Κοζάνη). Έχει γράψει 407 μηνύματα.
Ναι. Αν η Df=A τότε η f και η f^-1 είναι 1-1 για κάθε
Και εγω αυτο,λεω αλλα ο μιτσος δεν συμφωνει
Ας μας διαφωτισει κανενας μαθηματικος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Dmitsos

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Δημήτρης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 929 μηνύματα.
Ναι. Αν η Df=A τότε η f και η f^-1 είναι 1-1 για κάθε

Εγώ δε μίλησα πουθενά για χ μέσα στο σύνολο τιμών της f, εδώ υπάρχει η διαφορά.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

dark_knight

Νεοφερμένος

Ο dark_knight αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 35 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 42 μηνύματα.
Αρχική Δημοσίευση από dmitsos:
Εγώ δε μίλησα πουθενά για χ μέσα στο σύνολο τιμών της f, εδώ υπάρχει η διαφορά.
Δεν μίλησες γενικώς για χ. Ρώτησες "Αν μια συνάρτηση είναι 1-1 είναι και η αντίστροφή της 1-1;" και η απάντηση είναι ένα ξερό ναι. Προφανώς είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, το οποίο εν γένει μπορεί να μην ταυτίζεται με το R, αλλά κάθε φορά που αναφέρουμε μια ιδιότητα για μια συνάρτηση φ δεν χρειάζεται να επαναλαμβάνουμε "στο πεδίο ορισμού της". Επομένως οι απαντήσεις που δόθηκαν ήταν απόλυτα σωστές (αν και δεν αιτιολογήθηκαν επαρκώς). Μάλιστα ο Χάρης ανέφερε και ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το f(Α).
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Top