lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
ΆΣΚΗΣΗ 1
Δίνονται μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να αποδείξετε ότι
γ) Να αποδείξετε ότι
δ) Να υπολογίσετε το
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tebelis13
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
α)|z₁+z₂+z3|=|z̅₂+z̅₁+z̅₃|=|1/z₁+1/z₂+1/z3|
β)|z₁+z₂+z3|=|1/z₁+1/z₂+1/z3|=|z₂*z3/(z₁*z₂*z3) +z₁*z3/(z₁*z₂*z3)+z₁*z₂/(z₁*z₂*z3)|=|z₂*z3 +z₁*z3+z₁*z₂|/|z₁*z₂*z3|=|z₂*z3 +z₁*z3+z₁*z₂|/|z₁|*|z₂|*|z3|=|z₂*z3 +z₁*z3+z₁*z₂|
γ)(z₁+z₂+z3)(1/z₁+1/z₂+1/z3)≤9 ⇒ (z₁+z₂+z3)(z̅₂+z̅₁+z̅₃)≤9 ⇒ |z₁+z₂+z3|^2 ≤9
και εφόσον |z₁+z₂+z3|max=3 ⇒ |z₁+z₂+z3|^2 ≤9 ΙΣΧΥΕΙ
δ)
Άρα
Oπότε
Άρα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Είχα e^2 οπότε βγαίνει 2 το δ, αλλά η λύση σου είναι σωστή
Άσκηση 2
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β] με
α) Να δείξετε ότι:
i)
ii) Υπάρχει
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα.
γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι
i) Υπολογίστε το
ii) Να δείξετε ότι υπάρχει
Και δώρο ένα Σ-Λ:
Άν η f δεν είναι συνεχής στα α και β , τότε δεν είναι συνεχής και στο [α,β]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vassilis498
Διακεκριμένο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Άσκηση 2
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β] μεγια την οποία για κάθε xε[α,β] ισχύει
α) Να δείξετε ότι:
i)
ii) Υπάρχει
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα.
γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι, τότε:
i) Υπολογίστε το
ii) Να δείξετε ότι υπάρχει
Και δώρο ένα Σ-Λ:
Άν η f δεν είναι συνεχής στα α και β , τότε δεν είναι συνεχής και στο [α,β]
ii)
f παραγωγίσιμη, από ΘΜΤ έχω Χο στο (α,β) τέτοιο ώστε
b)
για χ1,χ2 στο [α,β] τέτοια ώστε χ1<χ2
γ)
ii) έστω F(x) μια παράγουσα της f στο [α,β] με F'(x)=f(x).
F παραγωγίσιμη, από ΘΜΤ έχω ξ στο [α,β] τέτοιο ώστε
Το Σ-Λ πρέπει να είναι λάθος, γιατί δεν ισχύει πάντα. Μπορεί τα πλευρικά να είναι μεταξύ τους διαφορετικά, αλλά τα πλευρικά από τη μεριά του διαστήματος να είναι ίσα με τα f(a),f(b).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Όμως
Άρα
Γ τρόπος για το αii (χωρίς μονοτονία)
Άρα
Συνεχίζουμε όμοια με τον Β τρόπο κάνοντας Bolzano στην
Στο (β) ερώτημα δεν ισχύει αυτό που έκανες για να αποδείξεις την κυρτότητα. Όταν υψώνεις στο τετράγωνο δεν διατηρείται πάντα η φορά της ανίσωσης. Πχ: -3<2 αλλά 9>4 (πάντα όταν έχεις αμφιβολία σε τέτοιες περιπτώσεις να δοκιμάζεις με αριθμούς)
Μπορείς να πεις ότι
Επίσης ξέχασες τα ακρότατα
Β τρόπος για το γii
Έστω
Γ τρόπος για το γii
Για το Σ-Λ
![thumbsup :thumbsup: :thumbsup:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/thumbsup.gif)
Δες και ένα σχηματάκι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δίνεται η γνησίως μονότονη και συνεχής συνάρτηση
Α)
i) Να λύσετε την εξίσωση
ii) Να δείξετε ότι
iii) Να δείξετε ότι
B) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να δείξετε ότι:
i) Υπάρχουν τουλάχιστον δύο εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες στο διάστημα
ii)
iii)
Και δώρο μια υπαρξιακή
Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] για την οποία ισχύουν
Να δείξετε ότι υπάρχει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tebelis13
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εφόσον η συνάρτηση είναι γν.μονότονη δεν θα είναι και "1-1"?
Αν ναί πως γίνεται για φ(-4)=φ(0) => -4<>0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vassilis498
Διακεκριμένο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στο (β) ερώτημα δεν ισχύει αυτό που έκανες για να αποδείξεις την κυρτότητα. Όταν υψώνεις στο τετράγωνο δεν διατηρείται πάντα η φορά της ανίσωσης. Πχ: -3<2 αλλά 9>4 (πάντα όταν έχεις αμφιβολία σε τέτοιες περιπτώσεις να δοκιμάζεις με αριθμούς)
το έκανα με το σκεπτικό ότι αφού μου δίνεται ότι φ(χ)>0 δε νομίζω να υπάρχει πρόβλημα.
Επίσης ξέχασες τα ακρότατα
αι στο διάολο όλο τα ξεχνάω και λέω τι τα ζητάει αφού είναι μονότονη
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
13diagoras
Δραστήριο μέλος
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Tonix
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Και δώρο ένα Σ-Λ:
Άν η f δεν είναι συνεχής στα α και β , τότε δεν είναι συνεχής και στο [α,β]
νμζω ειναι ελλιπείς η εκφώνηση , δεν θα επρεπε να πει και που οριζεται η f ή εστω για πιο διαστημα συνολικα μιλαμε διοτι στην απαντηση σου λες για ενα διαστημα πιο ευρυ απο το [α.β]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Leo 93
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Και δώρο μια υπαρξιακή
Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] για την οποία ισχύουνκαι
Να δείξετε ότι υπάρχει![]()
Λύση:
Οπότε, με θ.Rolle στα
Τώρα θ.Rolle στο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
tebelis13 δικιο εχεις -2 θελει
εδιτ:ερχεται λυση σε λιγο...
A ερώτημα ολόσωστος !
Βi)
Στο Bii δεν βλέπω λάθος. Εναλλακτικά και πιο εύκολα:
Στο Βiii, εφόσον στο προηγούμενο ερώτημα έχεις αποδείξει τη σχέση για x>=0, να ολοκληρώσεις από 0 έως 2 και μετά να αντικαταστήσεις τη σχέση από το Αiii
Σωστός. Ας γράψω όμως την αρχή για να έχουμε τη λύσηΛύση:
Με Θ.Μ.Τ. για μια αρχική τηςστο
από την υπόθεση παίρνουμε ότι υπάρχει
.
Οπότε, με θ.Rolle στακαι
έχουμε ότι υπάρχουν
.
Τώρα θ.Rolle στο.
Και συνεχίζουμε όπως εσύ
νμζω ειναι ελλιπείς η εκφώνηση , δεν θα επρεπε να πει και που οριζεται η f ή εστω για πιο διαστημα συνολικα μιλαμε διοτι στην απαντηση σου λες για ενα διαστημα πιο ευρυ απο το [α.β]
Στο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Α) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο
Β) Έστω συνάρτηση
Να δείξετε ότι υπάρχει
Γ) Έστω f συνεχής στο και γνησίως φθίνουσα στο R με
Θεωρούμε τη συνάρτηση
Να αποδείξετε ότη η εξίσωση
Δ) (απ΄τις αγαπημένες μου ασκήσεις)
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] με
Να αποδείξετε ότι υπάρχει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Leo 93
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Α) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
![]()
Λύση για την Α)
Xάρη οι ασκήσεις φαίνονται πολύ ωραίες και θα προτιμούσα να λύνω τέτοιες παρά "πιθανά" θέματα Πανελληνίων. Όμως επειδή κάνω επανάληψη αυτό τον καιρό δεν έχω πολύ χρόνο να ασχολούμαι με αυτές.
Αν βρω χρόνο, θα λύσω και τος υπόποιπες.
Φιλικά
edit: διόρθωσα τα άκρα των ολοκληρωμάτων.
Γ) Έστω f συνεχής στο και γνησίως φθίνουσα στο R με
Θεωρούμε τη συνάρτηση
Να αποδείξετε ότη η εξίσωσηέχει ακριβώς μία ρίζα στο
![]()
Λύση:
Θεωρώ τη συνάρτηση
H
Ακόμη,
αφού για κάθε
H
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vassilis498
Διακεκριμένο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Leo 93
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Απλά απαραίτητη προϋπόθεση για να λειτουργήσει το thread είναι η συμμετοχή ή τουλάχιστον η ενασχόληση, γι'αυτό ρωτάω. Αν θεωρείτε ότι σας κουράζουν, δεν προλαβαίνετε, σας αγχώνουν ή οτιδήποτε άλλο, μου το λέτε και σταματάω !
Προσωπικά αυτές οι ασκήσεις δεν με κουράζουν καθόλου, ούτε με αγχώνουν - το αντίθετο, βρίσκω την ενασχόληση με αυτές ευχάριστη.
Θα προτιμούσα να συνεχίσεις να βάζεις ασκήσεις. Εξάλλου, κάποια ιδέα/τεχνική που περιέχεται σε αυτές τις ασκήσεις μπορεί να χρησιμεύσει και στις Πανελλήνιες.
Αύριο μπορεί να στείλω τη λύση μου στη (Β).
Άσκηση 3
...
B) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να δείξετε ότι:
i) Υπάρχουν τουλάχιστον δύο εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες στο διάστημαοι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία
]...
¨Η με
Αύριο μπορεί να στείλω τη λύση μου στη (Β).
Τελικά η λύση μου ήταν λάθος, οπότε θα γράψω μερικές σκέψεις, που δεν ξέρω πόσο θα βοηθήσουν.
- H συνάρτηση
είναι κυρτή (αφού
).
- Για κάθε κυρτή (και παραγωγίσιμη) συνάρτηση η εφαπτομένη είναι "κάτω" από τη γραφική παράσταση.
- Για τις κυρτές σε διάστημα [α,β] εύκολα αποδεικνύεται (Θ.Μ.Τ. στα [α,x], [x,β] ,
) ότι
.
- Από τη σχέση που δίνεται αν προσθέσουμε και στα δύο μέλη το f(x) και ολοκληρώσουμε από α ως β προκύπτει...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Υπόδειξη 2 (Β τρόπος)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
- Status
- Το θέμα δεν είναι ανοιχτό για νέες απαντήσεις.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 4 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 3 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.