Παλιά Θέματα ΕΜΕ Γυμνασίου-Λυκείου

Eukleidis · 6 Ιουνίου 2009 στις 15:48

Μιας και οι διαγωνισμοί της ΕΜΕ εχουν τόσο μεγάλη απήχηση δημιουργούμε αυτό το τόπικ με διάφορα θέματα από ολες τις τάξεις(Β γυμν-Γ λυκείου)

Για να υπάρχει ομοιομορφοία στο τοπικ τα θέματα πρέπει να ανρτούνται ως εξής:

πχ.Θαλής Θεμα 4ο Α Λυκείου 2006-2007
[Εκφώνηση]

Επίσης δε θα δίνονται λύσεις ούτε θα γίνονται συζητήσεις πάνω στα θέματα

Θα παρακαλέσω να τηρούνται αυτοί οι κανόνες.

Ας ξεκινήσει η συλλογή ασκήσεων

ξαροπ · 6 Ιουνίου 2009 στις 16:55

Λοιπόν επειδή έχω την τύχη να έχω τους Ευκλείδηδες όλων των τάξεων από 2006 έως 2008, βάζω ένα θέμα της Α' Λυκείου, το οποίο όμως είναι εύκολο και για το γυμνάσιο.

Ευκλείδης Θέμα 1ο Α Λυκείου 2005-2006

Αν $n, n+2$ είναι πρώτοι αριθμοί, να αποδειχτεί ότι ο $n + 4$ είναι σύνθετος. (Δίνεται ότι $n>3$ thx Eukleidis)

Eukleidis · 6 Ιουνίου 2009 στις 17:57

Αρχιμήδης Μικρών 2ο Θέμα 2008

Αν οι θετικοί πραγματικοί $x,y,z < 2$ και έχουν αθροισμα τετραγώνων ίσο με 3 νδο

$\frac{3}{2} < \frac{{1 + {y^2}}}{{x + 2}} + \frac{{1 + {z^2}}}{{y + 2}} + \frac{{1 + {x^2}}}{{z + 2}} < 3$

ΥΓ ξαροπ είναι για n>3 προσθεσε και αυτό

Eukleidis · 7 Ιουνίου 2009 στις 12:38

Πάμε και μια περιστεροφωλιά

Ευκλείδης Γ γυμνασίου 4ο Θέμα 2006-2007

Οι 15 μαθητές μιας τάξης εχουν συνολικά στις τσάντες τους 115 τετράδια. Αν κάθε μαθητής έχει τουλάχιστον ένα τετράδιο νδο δύο τουλάχιστον μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό τετραδίων
-----------------------------------------
Γ Γυμνασίου Ευκλειδης Θέμα 4ο 2007-2008

Έστω ο τριψήφιος ακέραιος αριθμός Α=abc οπου α,b,c ψηφία με α>0. Αν εναλλάξουμε το πρώτο με το τρίτο ψηφίο του, τότε προκύπτει ο ακέραιος Β που είναι μικρότερος απο τον Α κατά 396. Επιπλέον, αν από τον Α αφαιρέσουμε 41 ο αριθμός που προκύπτει ισούται με 50 φορές το άθροισμα των ψηφίων του Α. Να βρεθεί ο Α.

Eukleidis · 7 Ιουνίου 2009 στις 23:30

Θαλής Γ Γυμνασίου 4ο Θεμα 2006-2007

Να εξεταστεί αν υπάρχουν πραγματικοί α,β δαιφοροι του 0 ώστε να ισχυει η παρακάτω σχέση:

$\frac{3}{2}a{b^{ - 1}} + \frac{{10}}{3}{a^{ - 1}}b = 3$

ξαροπ · 7 Ιουνίου 2009 στις 23:54

Άλλα δυο.

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων Θέμα 4ο 2002-2003:

Δίνονται δύο σημεία $B, C$ . Θεωρούμε σημείο $A$ που δεν ανήκει στην ευθεία $BC$ και γράφουμε τους κύκλους $O_1 (K_1, R_1), O_2(K_2,R_2)$ με χορδή την $AB, BC$ αντίστοιχα, έτσι ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται στο εξωτερικό του τριγώνου $ABC$ κι επιπλέον να ισχύει ότι $R_1 \times AC = R_2 \times BA$ . Αν $M$ είναι το σημείο τομής των δυο κύκλων, $M \neq A$ και $T$ ένα τυχαίο σημείο της $AM$ , να αποδειχτεί ότι: $MC \times E(TBM) = MB \times E(TCM).$

Eυκλείδης Γ' Γυμνασίου 1ο Θέμα 1997-1998

Με πόσους τρόπους μπορείς να παραστήσεις τον πρώτο αριθμό $1997$ ως διαφορά δυο τετραγώνων φυσικών αριθμών?

Eukleidis · 8 Ιουνίου 2009 στις 00:12

Θαλής Γ γυμνασίου Θέμα 2ο 2002-2003

Οι ακέραιοι x,y είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή ,αντίστοιχα, του κλάσματος που προκύπτει από τη μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού αριθμου α=4,3333333... . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης.
$B = \frac{{6x - 5y}}{{6x + 5y}} - \frac{{21}}{{31}}$

ΥΓ ξαροπ βγάλε τα Ε από την εκφώνηση. Η παρένθεση θα εχεις η το Ε

Eukleidis · 8 Ιουνίου 2009 στις 16:33

Γ Γυμνασίου Ευκλείδης 1ο Θέμα 2007-2008

Αν $12b + 26a = 1$ να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

$A = \frac{5}{{12}} - {\left( {24b + 52a} \right)^{ - 2}} - {\left( {72b + 156a} \right)^{ - 1}}$

ξαροπ · 9 Ιουνίου 2009 στις 15:44

Μας βλέπω εναλλάξ να βάζουμε ασκήσεις.

Αρχιμήδης Μικρών 1997-1998 Θέμα 4ο:

Θεωρούμε κύκλο κέντρου $O$ με ευθεία $(\epsilon)$ που εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο $A$ . Μια ευθεία παράλληλη στην $OA$ τέμνει τον κύκλο στα σημεία $B, \Gamma$ και την $(\epsilon)$ στο $\Delta$ (το $\Gamma$ βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία $B, \Delta$ ). Έστω $E$ το σημείο που η ακτίνα $O\Gamma$ τέμνει τον κύκλο. Φέρνουμε την $EA$ που τέμνει την $B\Delta$ στο $Z$ .
α) Να εξετάσετε αν το τρίγωνο $\Gamma EZ$ είναι ισοσκελές.
β) Να αποδείξετε ότι $2AB = EB$ .
γ) Να αποδείξετε ότι $AB = KO$ όπου $K$ το μέσον της $\GammaZ$ .
δ) Αν η ακτίνα του κύκλου είναι $2,5$ και $A\Delta = 1,5$ να υπολογίσετε το εμβαδόν του $EBZ$ .

Eukleidis · 9 Ιουνίου 2009 στις 16:49

Ευκλείδης Β Γυμνασίου 2000-2001 Θέμα 3ο

Αν $\nu \in {\mathbb{N}^*}$ , να αποδείξετε ότι δεν είναι ακέραιος ο αριθμός:

$A = 1 - \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{\nu }}}}}$

Ναυσικά · 9 Ιουνίου 2009 στις 20:16

Aντε, επειδή είμαι καλός άνθρωπος...

Ευκλείδης 2008-2009 Θέμα 3ο Α Λυκέιου

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς 3α. Πάνω στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ λαμβάνουμε σημεία Ε και Ζ τέτοια ώστε ΕΓ=ΓΖ=α. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο Κ. Αν η ευθεία ΑΚ τέμνει την ευθεία ΕΖ στο σημείο Λ, τότε
α) να αποδείξετε ότι ΑΛ κάθετη στην ΕΖ
Β)Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΛ συναρτήσει του α.

Eukleidis · 10 Ιουνίου 2009 στις 13:58

Ευκλείδης Γ Γυμνασίου Θέμα 3ο 2002-2003

Αν για τους πραγματικούς x,y,z,w ισχύει η ισότητα:

${x^2} + 10{y^2} + 10{z^2} + 9{w^2} = 6\left( {xy + yz + zw} \right)$

να βρεθεί η σχέση μεταξύ των x,y,z,w.

ΥΓ.α)Ναυσικά διόρθωσε την άσκση που έβαλες. Τα δεδομένα είναι λάθος
β)Μην γράφετε οφφ τοπικ. Για οποια λάθη εντοπίζονται στείλτε πμ σε εμένα ή σε αυτόν που έκανε λάθος
γ)Κάποιος mod να σβήσει τα οφφ.(τα 2 πάνω μηνύματα)

Eukleidis · 10 Ιουνίου 2009 στις 20:21

Θαλής Γ Γυμνασίου Θέμα 1ο 2002-2003

Αν x+y=2003 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$A = 2003 - \frac{{6 - 10x + 2\left( {4x - y - 3} \right)}}{{3\left( {x - z} \right) + 3\left( {y + z} \right)}} - 2\left( {x + \frac{1}{3}} \right) - 2y$

Ναυσικά · 10 Ιουνίου 2009 στις 20:34

Αρχική Δημοσίευση από Ναυσικά:
Aντε, επειδή είμαι καλός άνθρωπος...

Ευκλείδης 2008-2009 Θέμα 3ο Α Λυκέιου

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς 3α. Πάνω στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ λαμβάνουμε σημεία Ε και Ζ τέτοια ώστε ΕΓ=ΓΖ=α. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο Κ. Αν η ευθεία ΑΚ τέμνει την ευθεία ΕΖ στο σημείο Λ, τότε
α) να αποδείξετε ότι ΑΛ κάθετη στην ΕΖ
Β)Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΛ συναρτήσει του α.

Διόρθωση* 1)Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ
2)...λαμβάνουμε σημεία Ε και Ζ τέτοια ώστε ΕΓ=ΖΔ=α.Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και ΔΕ...

Σορρυ για τα λάθη πριν.
:bye:

ξαροπ · 10 Ιουνίου 2009 στις 21:24

Here we go again :bye:

Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου Θέμα 2ο 2003-2004

Να εξεταστεί αν υπάρχουν ακέραιοι $x, y$ που να ικανοποιούν τη σχέση:

$x^2+y^2 = 2003$ .

Eukleidis · 11 Ιουνίου 2009 στις 20:56

Ας Επαναφέρουμε το τοπικ με μια καλή αλγεβρα επώνυμης ταυτότητας:

Προκριματικός Νεων 2002-2003 Θέμα 1ο

α)Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση

$A = {x^4} + {y^4} + {z^4} - 2{x^2}{y^2} - 2{y^2}{z^2} - 2{z^2}{x^2}$

β)ΝΔΟ δεν υπάρχουν ακέραιοι x,y,z που να ικανοποιούν την εξίσωση:

${x^4} + {y^4} + {z^4} - 2{x^2}{y^2} - 2{y^2}{z^2} - 2{z^2}{x^2} = 2000$

Σχολιο: Παραλλαγή ταυτότητας De Moivre

georg13pao · 12 Ιουνίου 2009 στις 14:29

Αρχιμήδης Μεγάλων 2004 Θέμα 1ο

Να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του θετικού πραγματικού αριθμού $M$ για την οποία αληθεύει η ανισότητα:
${x}^{4}+{y}^{4}+{z}^{4}+xyz(x+y+z)\geq M{(xy+yz+zx)}^{2}$

ΥΓ: Προτείνω να βάζουμε και τις λύσεις σε κάποιο άλλο θέμα.

Eukleidis · 12 Ιουνίου 2009 στις 17:15

Ευκλείδης 2003-2004 Θέμα 1ο Γ Γυμνασίου

Αν x=1,y=-1 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων και να βρείτε ποιος απο τους αριθμούς Α και Β είναι μεγαλύτερος.

$A = {x^3} + {y^3} + 100x - 7y\sqrt 6$
$B = 100\left( {2x + y} \right) - \left( {8{x^3} - 2} \right)y\sqrt 7$

Eukleidis · 15 Ιουνίου 2009 στις 13:07

Ευκλείδης 2006-2007 Θέμα 3ο Β Γυμνασίου

Αν για τους πραγματικούς a,b,c,d ισχύει ότι:

$\left( {c - d} \right)\left( {c + d} \right) \ne 0$

και $\frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{a - b}}{{c - d}} = \frac{{a + b}}{{c - d}} + \frac{{a - b}}{{c + d}}$

νδο ένας από τους a,b,c,d είναι ίσος με 0

ξαροπ · 20 Ιουνίου 2009 στις 12:52

Αρχιμήδης Μικρών 2007-2008 Θέμα 4o: (ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΕΓΚΥΡΑ)

Έστω $ABCD$ τραπέζιο με $AD = a, AB = 2a, BC = 3a$ και $\triangleleft A = \triangleleft B = 90^{\circ}$ . Αν $E,Z$ τα μέσα των $AB, CD$ αντίστοιχα και $I$ το ίχνος της καθέτου από το $Z$ στην $BC$ , να αποδείξετε ότι:

$i.$ Το τρίγωνο $BDZ$ είναι ισοσκελές.

$ii.$ Το μέσο $O$ της $EZ$ είναι το βαρύκεντρο του $\bigtriangleup BDZ$ .

$iii.$ Οι ευθείες $AZ, DI$ τέμνονται στην $BO$ .

ΥΓ: Από ότι φαίνεται οι περισσότεροι θέλουν και λύσεις. Πάντως προτείνω, αν φτιαχτεί τόπικ με τις λύσεις, να προτείνουν όποιοι θέλουν τις δικές τους πριν μπει η official- σωστή λύση. :bye:

ΥΓ2: Μάλλον υπάρχει κάποιο λάθος στα δεδομένα μου, αφού μπορώ εύκολα να αποδείξω ότι δεν είναι το BDC ισοσκελές, αλλά το BDI. Θα το δω και με βαρύκεντρο, αλλά τέλος πάντων αν κάποιος έχει δώσει / έχει / ξέρει αυτό το θέμα ας μας πει το σωστό. :what:

ΥΓ3: OK, φτιάχτηκε και επαληθεύτηκε, σωστά είναι τα δεδομένα. Thx, georg13pao

.

Παλιά Θέματα ΕΜΕ Γυμνασίου-Λυκείου

Θα θέλατε να δημιουργηθεί τοπικ με λύσεις? Η ψήφος σας θα προβάλεται δημόσια.

Ναι

Οχι

Δεν ξέρω/δεν απαντώ

Δεν έχω πρόβλημα

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Θα θέλατε να δημιουργηθεί τοπικ με λύσεις?
Η ψήφος σας θα προβάλεται δημόσια.