Άκυρο την έλεγξα ξανά. Είχα λάθος έναν πολλαπλασιασμό και χάλαγε τα νούμερα

.
Ερώτημα Α :
Απο την αρχή διατήρησης της στροφορμής θα έχεις :
Lαρχ = Lτελ
RmUo = I'ω
RmUo = (0.5MR² +mR²)u/R
RmUo = R(0.5M + m)u
mUo = (0.5M + m)u
0.5Kg*Uo = (0.5*4Kg + 0.5Kg)u
Uo = 5u (1)
Όπου u είναι η ταχύτητα που έχει η σφαίρα την χρονική στιγμή που καρφώνεται στο κατώτατο μέρος του κυλίνδρου.
Η προϋπόθεση για να έχουμε ανακύκλωση περιστροφής είναι το βλήμα να φέρει αρκετή ενέργεια ώστε να είναι σε θέση να περιστρέψει κατά 180°τον κύλινδρο. Όταν η σφαίρα σφηνωθεί στον κύλινδρο λοιπόν θα τον εξαναγκάσει να περιστραφεί γύρω απο τον άξονα στο κέντρο του, με γωνιακή ταχύτητα ω, κοινή και για το βλήμα αλλά και για τον κύλινδρο(σημαντικό αυτό), μα όχι και σταθερή συναρτήσει του χρόνου.
Τι ασκεί ροπή στον κύλινδρο κατά την περιστροφή του λοιπόν που μεταβάλλει την γωνιακή του ταχύτητα ; Η απάντηση είναι απλή. Το σώμα της σφαίρας, εξαιτίας του βάρους της, και της θέσης που έχει στο σώμα του κυλίνδρου. Καθώς ο κύλινδρος ξεκινάει να περιστρέφεται, το βάρος της σφαίρας ασκεί μια ροπή που τείνει να περιστρέψει τον κύλινδρο προς την αντίθετη φορά απο αυτή της αρχικής περιστροφικής κίνησης.
Αυτό μετατρέπει την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου και της σφαίρας, σε δυναμική ενέργεια της σφαίρας, και τείνει να διακόψει την περιστροφή του στερεού. Εαν ο κύλινδρος καταφέρει να περιστραφεί 180°, δηλαδή η σφαίρα να φτάσει απο το κατώτατο σημείο της κυκλικής τροχιάς της στο ανώτατο, με τουλάχιστον μηδενική ταχύτητα...τότε θα καταφέρει να ξεπεράσει τις 180°.
Οπότε όταν η σφαίρα επιστρέψει στο αρχικό σημείο της τροχιά της(όπου ξεκίνησε), θα έχει πάλι την ίδια κινητική ενέργεια που είχε αρχικά. Ότι έχασε στην "ανηφόρα", θα το κερδίσει στην "κατηφόρα" φαντάσου διαισθητικά. Δηλαδή πέρα απο τις 180° περιστροφής της σφαίρας, το βάρος της πλέον δεν θα καταναλώνει έργο αλλά θα παράγει. Που θα την βρει την ενέργεια όμως ; Απο την αποθηκευμένη δυναμική ενέργεια της σφαίρας φυσικά. Θα αρχίσει να την μετατρέπει σε κινητική ενέργεια σφαίρας και κυλίνδρου. Το φαινόμενο θα επαναληφθεί δεδομένου της απουσίας τριβών επ'άπειρον. Και έτσι θα είναι ένα περιοδικό φαινόμενο, που σημαίνει και ανακύκλωση. Ελπίζω η φυσική διαίσθηση να είναι ξεκάθαρη.
Έτσι λοιπόν έχουμε για τις ενέργειες του συστήματος κυλίνδρου- σφαίρας :
Kκυλίνδρου = 0.5Ιω²
Κσφαίρας = 0.5mu²
Uσφαίρας = mgh
Θυμίζουμε εδώ οτι η γωνιακή ταχύτητα συνδέεται με την γραμμική ταχύτητα ως εξής : u = ωR.
Απο την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την κατώτατη και ανώτατη θέση της τροχιάς της σφαίρας :
Kαρχ + Uαρχ = Kτελ + Uτελ =>
0.5Ιω² + 0.5mu² + 0 = 0 + mg2R =>
Iω² + mu² = mg4R =>
Iω² + mω²R² = mg4R =>
ω²(I+mR²) = mg4R =>
ω² = 4mgR/(I+mR²) =>
ω² = 4*(1/2)*10*(1/2)/(5/8) =>
ω² = 10*8/5 = 16
ω = 4 rad/s (2)
ωR = 4*0.5 = 2 m/s =>
u = 2 m/s (3)
Οπότε απο την εξίσωση 1,και λόγω της (3) :
Uo = 5*u = 10 m/s
Ερώτημα Β :
Απλά αφαιρούμε την τελική κινητική ενέργεια του βλήματος απο την αρχική του(προσοχή μόνο τις κινητικές ενέργειες του βλήματος) :
Kσφ(αρχ) - Κσφ(τελ) =
0.5mUo² - 0.5mu² =
(1/2)(1/2)[(10m/s)² - (2m/s)²] =
(96m/s²)/4 =
24J
Ερώτημα Γ :
Εφόσον η σφαίρα πριν σφηνωθεί στον κύλινδρο, έχει αρχική ταχύτητα Uo/2 = 5m/s < 10m/s ...είναι σίγουρο οτι ο κύλινδρος δεν θα κάνει ανακύκλωση. Σε αυτό το σημείο η σφαίρα θα έχει φτάσει σε σημείο h πάνω απο το κατώτερο σημείο του κυλίνδρου. Απο την αρχή διατήρησης της στροφορμής(εξίσωση 1), θα βρούμε την ταχύτητα της σφαίρας αμέσως μετά την στιγμή που σφηνώθηκε :
u = Uαρχ/5 =>
u = Uo/2*5 =>
u = Uo/10 =>
u = (10m/s)/10 =>
u = 1 m/s
Εν συνεχεία κάνουμε ΑΔΜΕ ανάμεσα στην θέση που σφηνώνεται αρχικά η σφαίρα, και στην θέση που σταματά η σφαίρα να κινείται. Θα είναι προφανώς το σημείο που όλη η αρχική κινητική ενέργεια τόσο κυλίνδρου όσο και σφαίρας, έχουν μετατραπεί πλήρως σε δυναμική ενέργεια της σφαίρας.
Καρχ + Uαρχ = Kτελ + Uτελ
0.5Iω² + 0.5mu² = mgh =>
h = (0.5/mg)(Iω²+mu²) =>
h = (0.5/mg)(Iu²/R²+u²) =>
h = ( 0.5/0.5*10 )[ 0.5*(1m/s)²/0.5² + 0.5(1m/s)² ] =>
h = 1/4
Απο εδώ και με λίγη τριγωνομετρία(κάνε το σχήμα), προκύπτει οτι :
cosθ = (R-h)/R =>
cosθ = (0.5 - 0.25)/0.5 =>
cosθ = 0.5 =>
θ = 60°
Αν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο πες μου να το συζητήσουμε.