παιδια sos!!! θελω τη λυση αυτης της ασκησης
αρμονικο κυμα πλατους Α=0,3m διαδιδεται σε γραμμικο ελαστικο μεσο την t=0 η πηγη ξεκινα να ταλαντωνεται απο τη ΘΙ με θετικη ταχυτητα. την t2=0,8sec η πηγη διερχεται απο τη ΘΙ με θετικη ταχυτητα εχοντας εκτελεσει δυο πληρεις ταλαντωσεις εχω το σημειο Ζ με χz=1m φτανει για δευτερη φορα σε ακραια θεση της ταλαντωσης του
α)να βρεθει η χρονικη εξισωση t1 που ξεκινα να ταλαντωνεται το σημειο Ζ
β)να βρεθει η εξισωση του αρμονικου κυμματος
γ)να γραφει η χρονοκη εξισωση της απομακρυνσης του σημειου Κ απο ΘΙ του,για το οποιο την t2 η φαση της ταλαντωσης ειναι ιση με το 50%της φασης ταλαντωσης της πηγης
δ)να βρεθει η ταχυτητα ταλαντωσης του Κ μια χρονικη στιγμη t που εχει ηδη ξεκινησει η ταλαντωση του και η ταχυτητα ταλαντωσης της πηγης ειναι μεγιστη αρνητικη
Έστω Ο η πηγή παραγωγής του κύματος και x΄x ο άξονας του γραμμικού ελαστικού μέσου κατά μήκος του οποίου διαδίδεται το κύμα. Το κύμα διαδίδεται ταυτόχρονα τόσο ως προς τον θετικό ημιάξονα Ox όσο και ως προς τον αρνητικό ημιάξονα Ox΄ λόγω της ταλάντωσης της πηγής. Η πηγή Ο ξεκινά να ταλαντώνεται την χρονική στιγμή t0=0 από την θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Επομένως οι εξισώσεις των παραγόμενων αρμονικών κυμάτων είναι οι εξής:
Κύμα διαδιδόμενο κατά μήκος του ημιάξονα Ox με θςετική φορά: y=y(x,t)=Aημ{2π[(t/T)-(x/λ)], x>=0
Κύμα διαδιδόμενο κατά μήκος του ημιάξονα Ox΄ με αρνητική φορά: y΄=y΄(x,t)=Aημ{2π[(t/T)+(x/λ)], x<=0
Για κάθε x<=0 και για κάθε t>=0 παρατηρούμε ότι ισχύει y΄(x,t)=y(-x,t)
Επομένως δεν έχει νόημα να μελετηθούν και τα δύο κύματα τα οποία σε κάθε χρονική στιγμή t είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y΄y ο οποίος είναι κάθετος στον x΄x και διέρχεται από το 0. Γι αυτό το λόγο θα μελετηθεί μόνο το κύμα που διαδίδεται προς τον ημιάξονα Ox με θετική φορά διάδοσης. Συνεπώς η εξίσωση του εξεταζόμενου κύματος έχει τη μορφή y=y(x,t)=Aημ{2π[(t/T)-(x/λ)], x>=0
(α) Το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να διανύσει ένα σημείο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, την απόσταση από τη θέση ισορροπίας του μέχρι την ακραία θέσης ταλάντωσης (απόσταση ίση με Δx0=Α) είναι ίσο με Δt0=T/4. Το αντίστοιχο χρονικό διάστημα για μία πλήρη ταλάντωση είναι ίσο με Δt0΄=T.
Το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να εκτελέσει το Ο Ν=2 πλήρεις ταλαντώσεις είναι Δt0΄=ΝT. Γνωρίζουμε ότι Δt0=t2, οπότε
NT=t2 <=> T=t2/N <=> T=0,8/2 <=> T=0,40 s
f=1/T <=> f=1/0,40 <=> f=2,50 Hz
ω=2π/T <=> ω=2π/0,40 <=> ω=5π rad/s
Το σημείο Z απέχει απόσταση xz=1 m από την πηγή Ο. Το Ζ θα ξεκινήσει να ταλαντώνεται την χρονική στιγμή t1, κατά την οποία το κύμα μόλις έχει φτάσει στο Ζ. Για t>=t1 το Ζ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να βρεθεί το Ζ για 2η φορά σε ακραία θέση ταλάντωσής του είναι Δt=3Δt0=(3/4)T και η απόσταση που διανύει είναι Δx=3Δx0=3A. Επομένως έχουμε
t2=t1+Δt <=> t2=t1+(3/4)T <=> t1=t2-(3/4)T <=> t1=0,8-(3/4)*0,40 <=> t1=0,50 s
(β) Υπολογίζουμε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μήκος κύματος
υ=xz/t1 <=> υ=1/0,50 <=> υ=2 m/s
υ=λf <=> λ=υ/f <=> λ=υΤ <=> λ=2*0,40 <=> λ=0,80 m
Αντικαθιστώντας τις τιμές των μεγεθών προκύπτει
y=0,30ημ{2π[(t/0,40)-(x/0,80)]} <=> y=0,30ημ[π(5t-2,5x)]=0,30ημ(5πt-2,5πx), x>=0, t>=0 όπου x,y->m και t->s
γ) Η φάση την χρονική στιγμή t ενός σημείου που απέχει απόσταση x από την αρχή Ο είναι η γωνία φ=2π[(t/T)-(x/λ)] (εκφρασμένη σε rad)
Για x=xo=0 βρίσκουμε την φάση της πηγής Ο: φο=2π(t/T)=ωt, t>=0
Για x=xk βρίσκουμε την φάση του σημείου Κ: φk=2π[(t/T)-(xk/λ)], t>=t3 όπου t3 είναι η στιγμή κατά την οποία ξεκινά το Κ να ταλαντώνεται
Για t=t2 έχουμε φο2=2π(t2/T) και φk2=2π[(t2/T)-(xk/λ)]. Πρέπει να ισχύει t2>=t3. Γνωρίζουμε ότι φk2=0,5φο2. Επομένως
φk2=0,5φο2 <=> 2π[(t2/T)-(xk/λ)]=0,5*2π(t2/T) <=> (t2/T)-(xk/λ)=(1/2)*(t2/Τ) <=> 2(t2/T)-2(xk/λ)=(t2/Τ) <=> t2/T=2(xk/λ) <=>
<=> xk=[t2/(2T)]λ <=> xk=[0,8/(2*0,40)]*0,80 <=> xk=0,80 m=λ
Η στιγμή t3 υπολογίζεται ως εξής:
υ=xk/t3 <=> t3=xk/υ <=> t3=0,80/2 <=> t3=0,40 m=T. Παρατηρούμε ότι όντως ισχύει t2>t3.
Η εξίσωση απομάκρυνσης του Κ προκύπτει από την εξίσωση του κύματος για x=xk=0,80m. Έχουμε:
yk=0,30ημ(5πt-2,5π*0,80) <=> yk=0,30ημ(5πt-2π) <=> yk=0,30ημ(5πt), t>=0,40 s, όπου T σε s.
(δ) Για x=xo=0 στην εξίσωση του κύματος, βρίσκουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης της πηγής Π. Έχουμε
yo=Αημ[2π(t/T)] <=> yo=Αημ(ωt), t>=0
Επομένως η εξίσωση της ταχύτητας της πηγής Ο είναι
Vo=Vmaxσυν(ωt), t>=0
όπου Vmax=ωΑ <=> Vmax= 5π*0,30 <=> Vmax=1,5π m/s
Για να βρούμε τις χρονικές στιγμές t για τις οποίες η ταχύτητα της πηγής Ο γίνεται ίση με τη μέγιστη αρνητική λύνουμε την εξίσωση:
V=-Vmax <=> Vmaxσυν(ωt)=-Vmax <=> συν(ωt)=-1 <=> συν(ωt)=συνπ <=> ωt=(2κ+1)π <=> t=[(2κ+1)π]/ω <=> t=(2κ+1)π* (Τ/(2π)) <=>
<=> t=[(2κ+1)/2]Τ όπου κ φυσικός αριθμός.
Επομένως για t=[(2κ+1)/2]Τ, κ ανήκει N έχουμε συν(ωt)=συν(2κπ+π)=συνπ=-1 και ημ(ωt)=ημ(2κπ+π)=ημπ=0
Η εξίσωση της απομάκρυνσης του Κ προκύπτει από την εξίσωση του κύματος για x=xk=λ. Έχουμε
yk=Αημ{2π[(t/T)-1]} <=> yk=Αημ(ωt-2π) <=> yk=Αημ(ωt), t>=t3
Για t>=t3 παρατηρούμε ότι ισχύει yk=yo.
Επομένως η εξίσωση της ταχύτητας του Κ είναι:
Vk=Vmaxσυν(ωt), t>=t3
Για να έχει διαδοθεί το κύμα στο Κ, τότε για τις χρονικές στιγμές για τις οποίες Vo=-Vmax πρέπει να ισχύει
t>=t3 <=> [(2κ+1)/2]Τ>=t3 <=> 2κ+1>= 2(t3/T) <=> 2κ>=2(t3/T)-1 <=> κ>=(t3/T)-(1/2) <=> κ>=κmin όπου κmin=(t3/T)-(1/2)
Επειδή t3=T έχουμε κmin=1-(1/2)=1/2. Άρα κ>=1/2 και επειδή κ ακέραιος τότε κ>=1
Αντικαθιστώντας t=[(2κ+1)/2]Τ=[(2κ+1)π]/ω, όπου κ θετικός ακέραιος έχουμε:
Vk=-Vmax <=> Vk=-1,5π=-(3π)/2 m/s