[2/6/2014] Μαθηματικά Κατεύθυνσης

[davidg]

Η f' είναι παραγωγίσιμη αφού είναι γνωστή συνάρτηση βέβαια πρέπει να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη και στο 0 με το όριο.Είναι νομίζω f''(0)=1/3

οριο της f'' στο 0..και ποτέ ειχε πραγματικα μεγαλη παραγωγο αν θυμαμαι καλα

"Αν f''>0, τότε η f είναι κυρτή" αυτό συνεπάγεται ότι "Αν η f είναι κοίλη, η f'' [δεν είναι]>0, άρα f'' <=0"
Επίσης, το σχόλιο του βιβλίου λέει: "Αν η f είναι κυρτή, τότε η f'' δεν είναι απαραίτητα >0." Και δίνει ένα παράδειγμα όπου η f κυρτή και η f''(xo)=0. Πλαγίως, σου λέει ότι: f κυρτή => f''>=0

Κάπου στο mathematica είχα διαβάσει, πριν καιρό, ότι δεν μπορείς να πας από το f(x1)<f(x2) στο x1<x2, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η f είναι αύξουσα. Από την ανισοτική των χ πας στην ανισοτική των f, αλλά το αντίστροφο θέλει απόδειξη.
Αν θεωρήσουμε αυστηρά ότι "οτιδήποτε δεν υπάρχει στο σχολικό απαιτεί απόδειξη". Κακά τα ψέματα, κανένας μαθητής δεν το αποδεικνύει και κανένας βαθμολογητής δεν θα ψάξει για την απόδειξη. Κυρίως, γιατί όλοι το θεωρούμε αυτονόητο, αλλά, σύμφωνα με τις οδηγίες του Υπουργείου, θα έπρεπε να κόβονται 1-2 μόρια...

οπως αποδειξη χρειαζεται και το οτι τα κοινα σημεια της f και της αντιστροφης ειναι στην y=x οταν ειναι αυξουσες,οτι εχουν το ιδιο ειδος μονοτονιας και ολες οι λοιπες λεπτομερειες..συνηθως δεν κοβουν απο κατι τετοια,διοτι για να μπηκε τετοιο ερωτημα,σημαινει οτι ηταν γενικοτερα ζορικο θεμα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dream Theater]

Η f' είναι παραγωγίσιμη αφού είναι γνωστή συνάρτηση βέβαια πρέπει να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη και στο 0 με το όριο.Είναι νομίζω f''(0)=1/3

δεν χρειαζεται. Οριζεις την f'' στο R* (καλη ωρα εγω ) και εισαι κομπλε. εφοσον η συναρτηση ολοκληρωμα ειναι συνεχης στο R και η παραγωγος της μεγαλυτερη/ιση του 0 για καθε x στο R*, Η συναρτηση ειναι γν.αυξουσα. Α, επειδη ξεχασα να αναφερω το ισο(εβαλα η h''>0 μονο -_- απο τα εφτα ποσα να μου κοπουν? οι αιτιολογησεις για τις παραγωγισιμωτητες του ολοηκληρωματος και των υπολοιπων ειναι υπεραναλυτικες.)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[BigBang0000]

Η f' είναι παραγωγίσιμη αφού είναι γνωστή συνάρτηση βέβαια πρέπει να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη και στο 0 με το όριο.Είναι νομίζω f''(0)=1/3

δεν το σκεφτηκα εκεινη την ωρα...αλλα ποσο να κοψει τωρα απτην λεπτομερεια της λεπτομερειας whatever μονο σε αυτο το ερωτημα εχω πιθανη απωλεια μοναδων ετσι κ αλλιως...το οποιο να ειναι max 2-3%(αν το προσεξουν κιολας αυτο )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Eliminated]

Επιστροφή στις βάσεις προ-2011

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[transient]

"Αν f''>0, τότε η f είναι κυρτή" αυτό συνεπάγεται ότι "Αν η f είναι κοίλη, η f'' [δεν είναι]>0, άρα f'' <=0"
Επίσης, το σχόλιο του βιβλίου λέει: "Αν η f είναι κυρτή, τότε η f'' δεν είναι απαραίτητα >0." Και δίνει ένα παράδειγμα όπου η f κυρτή και η f''(xo)=0. Πλαγίως, σου λέει ότι: f κυρτή => f''>=0

Ε ωραία, όλα αυτά δεν απορρέουν ξεκάθαρα ως πρότασεις σε μπλε πλαίσιο του σχολικού βιβλίου.
Χρειάζεται μία mini δική σου απόδειξη(ο θεός να τη κάνει δλδ) του στυλ f κοίλη => f'' [δεν είναι]>0 => f'' <=0. Χωρίς αυτή έχεις ξεκάθαρο λογικό άλμα.

Πλαγίως, σου λέει ότι: f κυρτή => f''>=0

Ναι, το ότι αυτό ισχύει για ένα παράδειγμα δε σημαίνει ότι είναι και γενικός κανόνας.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[davidg]

Ε ωραία, όλα αυτά δεν απορρέουν ξεκάθαρα ως πρότασεις σε μπλε πλαίσιο του σχολικού βιβλίου.
Χρειάζεται μία mini δική σου απόδειξη(ο θεός να τη κάνει δλδ) του στυλ f κοίλη => f'' [δεν είναι]>0 => f'' <=0. Χωρίς αυτή έχεις ξεκάθαρο λογικό άλμα. Ναι, το ότι αυτό ισχύει για ένα παράδειγμα δε σημαίνει ότι είναι και γενικός κανόνας.

ουσιαστικα ειναι.αν ηταν f''(x)<0,τοτε θα ηταν κοιλη συμφωνα με το θεωρημα που εχει.Επομενως f''(x)>=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[transient]

ουσιαστικα ειναι.αν ηταν f''(x)<0,τοτε θα ηταν κοιλη συμφωνα με το θεωρημα που εχει.Επομενως f''(x)>=0

Ναι δε διαφωνώ, άλλα πρέπει να γραφτεί αυτό.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[IasonasM]

Η άρνηση του "f κυρτή" δεν είναι "f κοίλη" (μπορεί να μην είναι και τίποτα από τα δύο)
Επίσης η άρνηση του " f''(x) >0 για κάθε x e R" δεν είναι " f''(x) =< 0 για κάθε x e R"
Mία απόδειξη του f/R κυρτή και διπλοπαραγωγίσμη => f''(x) >= 0 είναι :
f κυρτή άρα f' αύξουσα άρα για τυχαίο x0 e R και x =! x0 θα είναι
(f'(x)-f'(x0))/(x-x0) > 0 => lim(x->x0) (f'(x)-f'(x0))/(x-x0) >= 0 => f''(x0) >=0 , για κάθε x0 e R

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[davidg]

Η άρνηση του "f κυρτή" δεν είναι "f κοίλη" (μπορεί να μην είναι και τίποτα από τα δύο)
Επίσης η άρνηση του " f''(x) >0 για κάθε x e R" δεν είναι " f''(x) =< 0 για κάθε x e R"
Mία απόδειξη του f/R κυρτή και διπλοπαραγωγίσμη => f''(x) >= 0 είναι :
f κυρτή άρα f' αύξουσα άρα για τυχαίο x0 e R και x =! x0 θα είναι
(f'(x)-f'(x0))/(x-x0) > 0 => lim(x->x0) (f'(x)-f'(x0))/(x-x0) >= 0 => f''(x0) >=0 , για κάθε x0 e R

προφανως και δεν ειναι.οταν πας να κανεις ατοπο για καθε x στο R,υποθετεις οτι υπαρχει ενα x0.αλλα εδω αλλο ειναι το θεμα,το αν μπορεις να πεις οτι f''(x)>=0 αφου f κυρτη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[BigBang0000]

Ο,τι γραψαμε,γραψαμε δεν εχει νοημα για 2-3 μοναδες να χανουμε τον χρονο μας καλα αποτελεσματα(αν και δεν με συμφερει με το $%^&συστημα )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dream Theater]

στο βαρυτητας εχει. Αν μπορει καποιος να μου πει ΠΟΣΟ κοβουν απο το εξης: ''επειδη η h κοιλη, h''(x)>0(δηλαδη δεν εβαλα ισο..) τα αλλα ολα δικαιολογημενα αναλυτικοτατα. Προσωπικη εκτιμηση 4/7 στ Δ2α αλλα θα ηθελα και τη γνωμη σας.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[billakos44]

τι 18-20 λετε? :Ο

Είναι αυτο που λέει ένα παιδί πιο πάνω.. οκ οσοι γράψανε 17+ είναι οι εξαιρετικά διαβασμένοι μαθητές... ενώ η μόνη διαφορά που είχε με τα άλλα χρόνια είναι οτι ενας μέτριος μαθητής σαν και μένα και γνωρίζοντας τα βασικά ας πουμε... αντί για ένα 9-11 που περίμενε τόσα χρόνια περιμένει απλά 13-15..
Τα θέματα ήταν:
Α εύκολο για κάποιον που εχει διαβάσει θεωρεία (δεν είχε κάτι πονηρό ουτε στα Σ,Λ)
Β αρκετά εύκολο (Β2 άμα ήξερε δυνάμεις του i λυνόταν όλο το θέμα γιατι τα άλλα ήταν απλαα πανεύκολα τ είχαμε κάνει ολη την χρονιά)
Γ μέτριο προς δύσκολο... λετε οτι το γ ήταν μετριο απλα? δεν νομίζω σκευτίτε μία το Γ2 (ΑΝΙΣΩΤΗΤΑ) ΤΟ Γ3(οριζόντια) Γ4 ΕΜΒΑΔΟ! μεγάλο ποσοστό δεν εγραψε τίποτα εκεί ή εγραψε λίγα πράγματα
Δ ΔΥΣΚΟΛΟ! Δ1 αρκετά εύκολο Δ2α) έπρεπε απλά να σ κόψει.. μέτριο! Δ2β) ΕΕ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ.. ποιος δεν το περίμενε? κ όμως πανω απο το 60% δεν το έγραψε και Δ3) μέτριο προς δύσκολο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Karhas]

θελω την γνωμη σας για την βαθμολογηση του λαθους μου
εγω στο δ3 βρηκα (μεσα στο αγχος) ριζα του παραγοντα (e^x-e) την x=e οποτε μετα αναγκαστικα να βρω την ριζα του τριτου παραγοντα με συνολο τιμων γιατι δεν πηρα χαμπαρι το Bolzano. τελικα για να δειξω τα ακροτατα πηρα τρεις περιπτωσεις
ξ<2<e
2<ξ<e και
2<e<ξ ξ η ριζα το (e^x*x - e^x -e)
λοιπον, ποσο λετε να χασω;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[davidg]

στο βαρυτητας εχει. Αν μπορει καποιος να μου πει ΠΟΣΟ κοβουν απο το εξης: ''επειδη η h κοιλη, h''(x)>0(δηλαδη δεν εβαλα ισο..) τα αλλα ολα δικαιολογημενα αναλυτικοτατα. Προσωπικη εκτιμηση 4/7 στ Δ2α αλλα θα ηθελα και τη γνωμη σας.

μια απ τα ιδια κι εγω,οποιος ξερει ας πει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[IasonasM]

προφανως και δεν ειναι.οταν πας να κανεις ατοπο για καθε x στο R,υποθετεις οτι υπαρχει ενα x0.αλλα εδω αλλο ειναι το θεμα,το αν μπορεις να πεις οτι f''(x)>=0 αφου f κυρτη

"αν ηταν f''(x)<0,τοτε θα ηταν κοιλη συμφωνα με το θεωρημα που εχει.Επομενως f''(x)>=0"
Μα, αν εννοείς για μεμονωμένο σημείο f''(x0) < 0 τότε δεν προκύπτει (άμεσα) άτοπο ώστε να πω πως ισχύει η άρνηση της άρα f''(x) >= 0, για κάθε x e R
Τεσπα, εγώ το αναφέρω απλά για να υπάρχει μία απόδειξη της πρότασης , μήπως την χρειαστεί κάποιος.
(Καλή συνέχεια στα επόμενα, ελπίζω βιο/χημ να είναι εύκολα )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Επίσης η άρνηση του " f''(x) >0 για κάθε x e R" δεν είναι " f''(x) =< 0 για κάθε x e R"

Για την ακρίβεια, το παραπάνω ισχύει.

Θεωρούμε μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν καταφέρεις και αποδείξεις ότι η ανίσωση f''>0 δεν έχει λύσεις, μπορείς να συμπαιράνεις ότι f''<=0.
Αν, για παράδειγμα, η εκφώνηση σου ζητάει να αποδείξεις ότι f''<=0, αλλά εσύ δεν μπορείς, θεωρείς (απαγωγή σε άτοπο) ότι η f''>0 και αποδεικνύεις ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Αφού η f'' δεν είναι >0, υποχρεωτικά θα είναι f''<=0. Μπόρει να είναι παντού μηδέν ή παντού αρνητική, και ένα μέρος του ανισοϊσοτικού συμβόλου να περιττεύει, αλλά αυτό δεν μας απασχολεί, αφού αποδείξαμε το ζητούμενο.

Επομένως, αν κάτι δεν είναι >, είναι σίγουρο <=, δεν υπάρχει εναλλακτική...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dream Theater]

τι 18-20 λετε? :Ο

Είναι αυτο που λέει ένα παιδί πιο πάνω.. οκ οσοι γράψανε 17+ είναι οι εξαιρετικά διαβασμένοι μαθητές... ενώ η μόνη διαφορά που είχε με τα άλλα χρόνια είναι οτι ενας μέτριος μαθητής σαν και μένα και γνωρίζοντας τα βασικά ας πουμε... αντί για ένα 9-11 που περίμενε τόσα χρόνια περιμένει απλά 13-15..
Τα θέματα ήταν:
Α εύκολο για κάποιον που εχει διαβάσει θεωρεία (δεν είχε κάτι πονηρό ουτε στα Σ,Λ)
Β αρκετά εύκολο (Β2 άμα ήξερε δυνάμεις του i λυνόταν όλο το θέμα γιατι τα άλλα ήταν απλαα πανεύκολα τ είχαμε κάνει ολη την χρονιά)
Γ μέτριο προς δύσκολο... λετε οτι το γ ήταν μετριο απλα? δεν νομίζω σκευτίτε μία το Γ2 (ΑΝΙΣΩΤΗΤΑ) ΤΟ Γ3(οριζόντια) Γ4 ΕΜΒΑΔΟ! μεγάλο ποσοστό δεν εγραψε τίποτα εκεί ή εγραψε λίγα πράγματα
Δ ΔΥΣΚΟΛΟ! Δ1 αρκετά εύκολο Δ2α) έπρεπε απλά να σ κόψει.. μέτριο! Δ2β) ΕΕ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ.. ποιος δεν το περίμενε? κ όμως πανω απο το 60% δεν το έγραψε και Δ3) μέτριο προς δύσκολο

Θα συμφωνησω. Μπορει να τα πηγα περιφημα, αλλα κακα τα ψεμματα το Δ3 αν δε το χα κοιταξει το προγηουμενο βραδυ(ασκηση του σχολικου), δυσκολα θα το γραφα. Επισης το Γ3 την γαμημενη την οριζοντια που μου φαγε ενα μισαωρο την εβγαλα κυριολεκτικα στο τελος, ενω απο τη πιεση ξεχασα στο τελος στις πραξεις του εμβαδου να γραψω το e (ενω τις εκανα ολοσωστα απλα δε το μετεφερα στο τελικο αποτελεσμα, δηλαδη εγραψα μονο το (e+1)ln(2/e+1) ) και εψαχνα να βρω ΠΟΥ εχω κανει λαθος(γιατι μονο του ειναι αρνητικο :p). κατα τα αλλα ρυθμος μεταβολης μετριο προς δυσκολο γιατι ουσιαστικα ουδεμια σχεση δεν ειχε με τις νορμαλ ασκησεις τετοιου τυπου,(παιζει να χω παρει 3/4 λογω κακης δικαιολογησης της μοναδικοτητας), ενω το Δ2 εχει την παγιδα που πεσαμε τοσο εγω, οσο και οι αλλοι στο αισκουλ και οχι μονο, γραφοντας οτι η h αφου ειναι κυρτη, η δευτερη παραγωγος της ειναι ΜΟΝΟ θετικη( το χε και σε Σ-Λ και το απαντησα Λ ειρωνια χαχαχαχ) Γενικα Γ3α, Γ4 ,Δ2,Δ3 ηταν μεγαλοι ''σκοπελοι'' στην κατακταση του πολυποθητου 100. Οποτε μην ακουτε τους παπαρες του 'στυλ ''γελοια ειναι σε σχεση με περσι'. Οτιδηποτε πανω απο 85 ειναι εξαιρετος βαθμος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[IasonasM]

Για την ακρίβεια, το παραπάνω ισχύει.

Θεωρούμε μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν καταφέρεις και αποδείξεις ότι η ανίσωση f''>0 δεν έχει λύσεις, μπορείς να συμπαιράνεις ότι f''<=0.
Αν, για παράδειγμα, η εκφώνηση σου ζητάει να αποδείξεις ότι f''<=0, αλλά εσύ δεν μπορείς, θεωρείς (απαγωγή σε άτοπο) ότι η f''>0 και αποδεικνύεις ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Αφού η f'' δεν είναι >0, υποχρεωτικά θα είναι f''<=0. Μπόρει να είναι παντού μηδέν ή παντού αρνητική, και ένα μέρος του ανισοϊσοτικού συμβόλου να περιττεύει, αλλά αυτό δεν μας απασχολεί, αφού αποδείξαμε το ζητούμενο.

Επομένως, αν κάτι δεν είναι >, είναι σίγουρο <=, δεν υπάρχει εναλλακτική...

Μα λέγοντας πως δεν ισχύει το " f''(x)>0, για κάθε x e R" δεν καταλήγουμε απαραίτητα πως " f''(x)<0 για κάθε x e R" αλλά πως υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 με f''(x0)<0 (μπορεί για τα υπόλοιπα να ισχύει f''(x)>0)
Γενικά αν και η άρνηση του " > " είναι το " =< ' , όταν βάζεις ποσοδείκτες (για κάθε, υπάρχει) μπερδεύεται το πράγμα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlos13]

Πιστευω πως εχω γραψει γυρω στο 85-90, αδυνατο να το πιστεψω.. Μονο οριζοντια ασυμπτωτη δν μ βγηκε κι στο Δ3 ειχα πιστει οτι εβγαινε με ρολ στην παραγουσα κι δυστυχως δεν κοιτουσα να κανω μπολτζανο, ωστοσο δεν προκειται μα τ χασω ολο, βλεπω να παιρνω 3 ή 4 απο τα 7.. Γενικα νμζ οτι θα γραψω χαλια κι εχω σοκαριστει!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Greysanatomy]

Ε ρε και να ζούσατε την φάση που ζήσαμε το μπαρουτοκαπνισμένο 2013...
Καλή επιτυχία στα υπόλοιπα.

Γιατί έπρεπε να μου το θυμίσεις?? ΓΙΑΤΙ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.