Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 20-05-09

Μπράβο m3Lt3D. Πολύ ωραία η άσκηση. Ανέβασε κι άλλες τέτοιες.

Civilara · 20-05-09

ΘΕΜΑ 1ο

Α Θεωρώ ${x}_{1}, {x}_{2}\in \Delta$ με ${x}_{1}<{x}_{2}$

Η f είναι συνεχής στο $[{x}_{1}, {x}_{2}]$ και παραγωγίσιμη στο $({x}_{1}, {x}_{2})$ . Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού, υπάρχει $\xi \in ({x}_{1}, {x}_{2})$ , τέτοιο ώστε

$f΄(\xi)=\frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$

$f΄(\xi)=0\Rightarrow \frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}=0\Rightarrow f({x}_{2})-f({x}_{1})=0\Rightarrow f({x}_{2})=f({x}_{1})$

Ομοίως αν ${x}_{1}>{x}_{2}$ .

Αν ${x}_{1}={x}_{2}$ τότε προφανώς $f({x}_{1})=f({x}_{2})$

Άρα για κάθε ${x}_{1}, {x}_{2}\in \Delta$ ισχύει

$f({x}_{1})=f({x}_{2})$ που σημαίνει ότι η f είναι σταθερή σε όλο το Δ.

B. Μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ${x}_{0}$ του πεδίου ορισμού της, εφόσον υπάρχει το όριο

$\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$

και είναι πραγματικός αριθμός. Τότε η τιμή αυτού του ορίου λέγεται παράγωγος της f στο ${x}_{0}$ και συμβολίζεται με:

$\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=f΄({x}_{0})$

Γ. α) Σωστό, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Λάθος, ε) Λάθος

ΘΕΜΑ 2ο

Α. α) z=x+iy όπου $x=2\lambda +1$ και $y=2\lambda -1$
Έχουμε $\lambda =\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}\Rightarrow x-1=y+1\Rightarrow y=x-2$

β) $\left|z \right|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+{(x-2)}^{2}}=\sqrt{2{x}^{2}-4x+4}$
${\left|z \right|}^{2}=2{x}^{2}-4x+4$

Όταν το μέτρο του z γίνεται ελάχιστο, ελαχιστοποιείται και το τετράγωνό του.

Θέτω $f(x)=2{x}^{2}-4x+4$ . Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο

$f΄(x)=4x-4=4(x-1)$
$f΄(x)=0\Rightarrow x=1$

f συνεχής στο $(-\propto,1]$ , f παραγωγίσιμη στο $(-\propto,1)$ και $f΄(x)<0$ για κάθε x στο $(-\propto,1)$ . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\propto,1]$ .

f συνεχής στο $[1,+\propto )$ , f παραγωγίσιμη στο $(1,+\propto )$ και $f΄(x)>0$ για κάθε x στο $(1,+\propto )$ . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\propto,1]$ .

Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ${x}_{0}=1$ το οποίο έχει τιμή $f({x}_{0})=f(1)=2$

${y}_{0}={x}_{0}-2=1-2=-1$

Άρα ο μιγαδικός ${z}_{0}={x}_{0}+{y}_{0}i=1-i$ έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο από τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος και έχει μέτρο $\left| {z}_{0}\right|=\sqrt{2}\leq \left| z\right|$

Ο ${z}_{0}$ αντιστοιχεί σε τιμή του λ, ${\lambda }_{0}=0$

Β. $w=\alpha +\beta i\Rightarrow \varpi =\alpha -\beta i, \left{|w \right|}^{2}={\alpha }^{2}+{\beta }^{2}$

${\left|w \right|}^{2}+\varpi -12={z}_{0}\Rightarrow ({\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+\alpha -13)+(\beta -12)i=0$

Πρέπει ${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+\alpha -13=0$ και $\beta -1=0$

$\beta -1=0\Rightarrow \beta =1$

${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+\alpha -13=0\Rightarrow {\alpha }^{2}+\alpha -12=0$

$\Rightarrow {\alpha }_{1}=3, {\alpha }_{2}=-4$

Άρα ${w}_{1}=3+i, {w}_{2}=-4+i$
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
ΘΕΜΑ 1ο

Α Θεωρώ ${x}_{1}, {x}_{2}in Delta$ με ${x}_{1}<{x}_{2}$

Η f είναι συνεχής στο $[{x}_{1}, {x}_{2}]$ και παραγωγίσιμη στο $[{x}_{1}, {x}_{2}]$ . Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού, υπάρχει $xi in ({x}_{1}, {x}_{2})$ , τέτοιο ώστε

$f΄(xi)=frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$

$f΄(xi)=0Rightarrow frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}=0Rightarrow f({x}_{2})-f({x}_{1})=0Rightarrow f({x}_{2})=f({x}_{1})$

Ομοίως αν ${x}_{1}>{x}_{2}$ . Άρα για κάθε {x}_{1}, {x}_{2}in Delta ισχύει

$f({x}_{1})=f({x}_{2})$ που σημαίνει ότι η f είναι σταθερή σε όλο το Δ.

B. Μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ${x}_{0}$ του πεδίου ορισμού της, εφόσον υπάρχει το όριο

$lim_{xrightarrow {x}_{0}}frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$

και είναι πραγματικός αριθμός. Τότε η τιμή αυτού του ορίου λέγεται παράγωγος της f στο ${x}_{0}$ και συμβολίζεται με:

$lim_{xrightarrow {x}_{0}}frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=f΄({x}_{0})$

Γ. α) Σωστό, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Λάθος, ε) Λάθος

ΘΕΜΑ 2ο

Α. α) z=x+iy όπου $x=2lambda +1$ και $y=2lambda -1$
Έχουμε $lambda =frac{x-1}{2}=frac{y+1}{2}Rightarrow x-1=y+1Rightarrow y=x-2$

β) $left|z right|=sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=sqrt{{x}^{2}+{(x-2)}^{2}}=sqrt{2{x}^{2}-4x+4}$
${left|z right|}^{2}=2{x}^{2}-4x+4$

Όταν το μέτρο του z γίνεται ελάχιστο, ελαχιστοποιείται και το τετράγωνό του.

Θέτω $f(x)=2{x}^{2}-4x+4$ . Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο

$f΄(x)=4x-4=4(x-1)$
$f΄(x)=0Rightarrow x=1$

f συνεχής στο $(-propto,1]$ , f παραγωγίσιμη στο $(-propto,1)$ και $f΄(x)<0$ για κάθε x στο $(-propto,1)$ . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-propto,1]$ .

f συνεχής στο $[1,+propto )$ , f παραγωγίσιμη στο $(1,+propto )$ και $f΄(x)>0$ για κάθε x στο $(1,+propto )$ . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο $(-propto,1]$ .

Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ${x}_{0}=1$ το οποίο έχει τιμή $f({x}_{0})=f(1)=2$

${y}_{0}={x}_{0}-2=1-2=-1$

Άρα ο μιγαδικός ${z}_{0}={x}_{0}+{y}_{0}i=1-i$ έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο από τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος και έχει μέτρο $left| {z}_{0}right|=sqrt{2}leq left| zright|$

Ο ${z}_{0}$ αντιστοιχεί σε τιμή του λ, ${lambda }_{0}=0$

Β. $w=alpha +beta iRightarrow varpi =alpha -beta i, left{|w right|}^{2}={alpha }^{2}+{beta }^{2}$

${left|w right|}^{2}+varpi -12={z}_{0}Rightarrow ({alpha }^{2}+{beta }^{2}+alpha -13)+(beta -12)i=0$

Πρέπει ${alpha }^{2}+{beta }^{2}+alpha -13=0$ και $beta -1=0$

$beta -1=0Rightarrow beta =1$

${alpha }^{2}+{beta }^{2}+alpha -13=0Rightarrow {alpha }^{2}+alpha -12=0$

$Rightarrow {alpha }_{1}=3, {alpha }_{2}=-4$

Άρα ${w}_{1}=3+i, {w}_{2}=-4+i$

ΘΕΜΑ 3ο

A. $f(0)={\alpha }^{0}-ln(0+1)=1$

Άρα $f(x)\geq f(0)$ , οπότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ${x}_{0}=0$ .

Το πεδίο ορισμού της f είναι το $A=(-1,+\propto )$ . Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο A με παράγωγο

$f΄(x)={\alpha }^{x}ln\alpha-\frac{1}{x+1}$

Η f είναι ορισμένη στο Α, παραγωγίσιμη στο ${x}_{0}=0$ και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ${x}_{0}=0$ . Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat είναι f΄(0)=0

$f΄(0)={\alpha }^{0}ln\alpha-\frac{1}{0+1}=ln\alpha -1$

Άρα $f΄(0)=0\Rightarrow ln\alpha -1=0\Rightarrow ln\alpha =1=lne\Rightarrow \alpha =e$

B. α) $f(x)={e}^{x}-ln(x+1)$

f συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α με $f΄(x)={e}^{x}-\frac{1}{x+1}$

Η f΄ είναι παραγωγίσιμη στο Α. Άρα η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο Α με δεύτερη παράγωγο:

$f''(x)=(f΄(x))΄={e}^{x}+\left( {\frac{1}{x+1}}\right)^{2}$

Το εσωετρικό του Α ταυτίζεται με το Α καθώς το Α είναι ανοικτό διάστημα.

Η f είναι συνεχής στο Α και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Α και ισχύει $f''(x)>0$ για κάθε x στο Α. Άρα η f είναι κυρτή στο Α.

β) f κυρτή στο Α => f΄ γνησίως αύξουσα στο Α
f΄(0)=0

$-1<x<0\Rightarrow f΄(x)<f΄(0)\Rightarrow f΄(x)<0$

Η f είναι συνεχής στο (-1,0], παραγωγίσιμη στο (-1,0) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (-1,0). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-1,0]

$x>0\Rightarrow f΄(x)>f΄(0)\Rightarrow f΄(x)>0$

H f είναι συνεχής στο $[0,+\propto )$ , παραγωγίσιμη στο $(0,+\propto )$ και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο $(0,+\propto )$ . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\propto )$

γ) f(0)=1

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-1,0], οπότε
$-1<x<0\Rightarrow f(x)>f(0)\Rightarrow f(x)>1$

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\propto )$ , οπότε
$x>0\Rightarrow f(x)>f(0)\Rightarrow f(x)>1$

Επομένως για κάθε $x\epsilon (-1,0)\bigcup (0,+\propto )$ , ισχύει
$f(x)>1$

Θεωρώ την συνάρτηση $g(x)=\left(f(\beta )-1 \right)(x-2)+\left(f(\gamma )-1 \right)(x-1)$

Η g είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική.

$g(1)=1-f(\beta )<0$
$g(2)=f(\gamma )-1>0$

Η g είναι συνεχής στο [1, 2] και ισχύει g(1)g(2)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (1,2) τέτοιο ώστε g(ξ)=0

$g(\xi )=0\Rightarrow \left(f(\beta )-1 \right)(\xi -2)+\left(f(\gamma )-1 \right)(\xi -1)=0\Rightarrow \frac{f(\beta )-1}{\xi -1}+\frac{f(\gamma )-1}{\xi -2}=0$

Άρα η εξίσωση

$\frac{f(\beta )-1}{x-1}+\frac{f(\gamma )-1}{x-2}=0$

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (1,2).

ΘΕΜΑ 4ο

α. Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,2], τότε η συνάρτηση $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ είναι παραγωγίσιμη στο [0,2] και ισχύει $F'(x)=f(x)$ για κάθε x στο [0,2]. Επειδή η F είναι παραγωγίσιμη στο [0,2] τότε είναι και συνεχής στο [0,2]

Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,2], τότε η συνάρτηση h(x)=xf(x) είναι συνεχής στο [0,2]. Επειδή η h είναι συνεχής στο [0,2] τότε η συνάρτηση
$H(x)=\int_{0}^{x}h(t)dt=\int_{0}^{x}tf(t)dt$
είναι παραγωγίσιμη στο [0,2] και ισχύει $H'(x)=h(x)=xf(x)$
για κάθε x στο [0,2].

Ως συνεχείς συναρτήσεις στο [0,2], οι f,F,h,H είναι συνεχείς στο (0,2].

Συνεπώς η G στο (0,2] γράφεται
$G(x)=\frac{H(x)}{x}-F(x)+3$

Άρα η G είναι συνεχής στο (0,2], αφού προκύπτει από πράξεις μεταξύ συνεχών συνατήσεων στο (0,2]

Θα υπολογιστεί το όριο $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt{1-{t}^{2}}}{{t}^{2}}$

Επειδή $\lim_{t\rightarrow 0}\left( 1-\sqrt{1-{t}^{2}\right)=\lim_{t\rightarrow 0}{t}^{2}=0$

το όριο οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0/0. Έχουμε

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt{1-{t}^{2}}}{{t}^{2}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\left( 1-\sqrt{1-{t}^{2}}\right)\left( 1+\sqrt{1-{t}^{2}}\right)}{{t}^{2}\left( 1+\sqrt{1-{t}^{2}}\right)}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{{t}^{2}}{{t}^{2}\left( 1+\sqrt{1-{t}^{2}}\right)}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\left( 1+\sqrt{1-{t}^{2}}\right)}=\frac{1}{2}$

Επομένως $G(0)=6\frac{1}{2}=3$ .

Η συνάρτηση H είναι παραγωγίσιμη στο [0,2], οπότε είναι παραγωγίσιμη (από δεξιά-από μεγαλύτερες τιμές) στο 0.

$H(0)=\int_{0}^{0}tf(t)dt=0$
$H'(0)=0f(0)=0$

Άρα από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε:

$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{H(x)-H(0)}{x-0}=H'(0)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{H(x)}{x}=0$

F συνεχής στο [0,2] => F συνεχής (από δεξιά) στο 0 =>
$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}F(x)=F(0)=\int_{0}^{0}f(t)dt=0$

Έχουμε

$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}G(x)=\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{H(x)}{x}-\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}F(x)+3=0+0+3=3<br />$

Άρα $\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}G(x)=G(0)$
που σημαίνει ότι η G είναι συνεχής (από δεξιά) στο 0.

Η G είναι συνεχής στο (0,2] και ισχύει $\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}G(x)=G(0)$

Επομένως η G είναι συνεχής στο [0,2].

β. Για x στο (0,2) είναι
$G(x)=\frac{H(x)}{x}-F(x)+3$
Οι H και F είναι παραγωγίσιμες στο [0,2], οπότε και στο (0,2).

Η συνάρτηση $\Phi (x)=\frac{H(x)}{x}$ είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) αφού η H είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) και έχει παράγωγο:

$\Phi' (x)=\frac{xH'(x)-H(x)}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}f(x)-\int_{0}^{x}tf(t)dt}{{x}^{2}}$

Επομένως η $G(x)=\Phi (x)-F(x)+3$
είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) και έχει παράγωγο:

$G'(x)=\Phi' (x)-F'(x)=\frac{{x}^{2}f(x)-\int_{0}^{x}tf(t)dt}{{x}^{2}}}-f(x)=-\frac{\int_{0}^{x}tf(t)dt}{{x}^{2}}}=-\frac{H(x)}{{x}^{2}}$

Άρα $G'(x)=-\frac{H(x)}{{x}^{2}}$
για κάθε x στο (0,2)

γ. $\int_{0}^{2}(t-2)f(t)dt=0\Rightarrow \int_{0}^{2}tf(t)dt-2\int_{0}^{2}f(t)dt=0\Rightarrow \int_{0}^{2}tf(t)dt=2\int_{0}^{2}f(t)dt\Rightarrow H(2)=2F(2)$

$G(2)=\frac{H(2)}{2}-F(2)+3=\frac{2F(2)}{2}-F(2)+3=F(2)-F(2)+3=3=G(0)$

G συνεχής στο [0,2], G παραγωγίσιμη στο (0,2) και G(0)=G(2). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει τουλάχιστον ένα α στο (0,2) τέτοιο ώστε

$G'(\alpha )=0\Rightarrow -\frac{H(\alpha) }{{\alpha }^{2}}=0\Rightarrow H(\alpha )=0$

δ.
$G(\alpha)=\frac{H(\alpha )}{\alpha }-F(\alpha )+3=\frac{0}{\alpha }-F(\alpha )+3=3-F(\alpha )$

G συνεχής στο [0,α] και G παραγωγίσιμη στο (0,α). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (0,α) τέτοιο ώστε

$G'(\xi )=\frac{G(\alpha)-G(0)}{\alpha -0}=\frac{3-F(\alpha)-3}{\alpha}=-\frac{F(\alpha)}{\alpha}$

$G'(\xi )=-\frac{F(\alpha)}{\alpha}\Rightarrow -\frac{H(\xi )}{{\xi }^{2}}=-\frac{F(\alpha)}{\alpha}\Rightarrow \frac{H(\xi )}{{\xi }^{2}}=\frac{F(\alpha)}{\alpha}\Rightarrow \alpha H(\xi )={\xi }^{2}F(\alpha )\Rightarrow \alpha \int_{0}^{\xi }tf(t)dt={\xi }^{2}\int_{0}^{\alpha }f(t)dt$

m3Lt3D · 20-05-09

Στην αποδειξη δεν εγραψες την περιπτωση αν χ1=χ2=>f(x1)=f(x2).

Ουτε εγω την εγραψα γιατι ειναι πληρως τεκμηριωμενη χωρις να γραψεις αυτο το χαζο σχολιο που γραφει το σχολικο που πιστευω πως ειναι περισσοτερο για διδακτικο σκοπο.
Πιστευω ομως πως θα χασω για αυτο λιγα μορια.

Civilara · 20-05-09

Έλα τώρα ρε Γιάννη. Είπαμε να είμαστε αναλυτικοί, όχι κι έτσι. Γι αυτήν την χαζομάρα δεν θα χάσεις ούτε μισό μόριο. Αυτό είναι ταυτότητα και ισχύειο για ΟΛΕΣ τις συναρτήσεις, όχι μόνο για την σταθερή. Αφού ισχύει για όλες θα ισχύει και για την σταθερή. Μην ασχολούμαστε με μ******ς τώρα.

Παρεπιπτόντως, εκείνη η ασκησούλα στο topic "καλή άσκηση" ήταν super.

Stefi17 · 20-05-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Έλα τώρα ρε Γιάννη. Είπαμε να είμαστε αναλυτικοί, όχι κι έτσι. Γι αυτήν την χαζομάρα δεν θα χάσεις ούτε μισό μόριο. Αυτό είναι ταυτότητα και ισχύειο για ΟΛΕΣ τις συναρτήσεις, όχι μόνο για την σταθερή. Αφού ισχύει για όλες θα ισχύει και για την σταθερή. Μην ασχολούμαστε με μ******ς τώρα.

Παρεπιπτόντως, εκείνη η ασκησούλα στο topic "καλή άσκηση" ήταν super.

Αχχ,χάλιααααααααα τα πήγα..10 με το ζόρι,είχα πολύ άγχος και δεν μπορούσα να συγκεντρωθώ,βέβαια γενικά δυσκολεύομαι στα μαθηματικά,τώρα ό,τι έγινε,εγινε.. :'(

m3Lt3D · 20-05-09

Το ξερω οτι δεν χρειαζεται στην αποδειξη.Αλλα ποτε δεν ξερεις με τι διορθωτη θα μπλεξεις

.
Ευχαριστω εννοειται πως δεν ειναι δικια μου.

Τα Σ/Λ απο που τα αντλουσες; Ηταν παρα πολυ καλα, αν και πολλα απο αυτα ξεφευγαν απο τα πλαισια του μαθηματος. (πχ αυτο που για να το καταριψεις επρεπε να ξερεις την συναρτηση weierstrass.)

Civilara · 20-05-09

Αν σου πω ότι τα κατέβαζα από το κεφάλι μου εκείνη την στιγμή και δεν τα έχω δει πουθενά θα με πιστέψεις;

Όχι, ε; Κι όμως, είναι αλήθεια. Είναι δικιάς μου έμπνευσης.

Είμαι ένας πολιτικός μηχανικός κολλημένος με τα μαθηματικά και κάθε χρονιά λύνω τα θέματα των πανελληνίων(εγώ έδωσα πανελλήνιες στην Γ Λυκείου το 2002-άσχετο αλλά το πετάω). Μέχρι στιγμής δεν έχει περάσει χρονιά που να μην τα λύσω.

m3Lt3D · 20-05-09

Μπραβο. μερικα απο αυτα ειναι "εξυπνα" και κρυβουν παγιδουλες που σπανια βρισκεις σε Σ/Λ.:no1:

Civilara · 20-05-09

thanks

billdef · 20-05-09

καλησπερα,τα εγραψα ολα τελεια....αλλα στο θεμα 3,β ερωτημα μαλλον εκανα πατατα....ειπα το εξης...f'(x)>o<=>e^x(x+1)>1 και επειδη e^x<=>0 τοτε χ>0
κ.ο.κ.
ειναι σωστη αυτη η λογικη???

Civilara · 20-05-09

Αρχική Δημοσίευση από billdef:
καλησπερα,τα εγραψα ολα τελεια....αλλα στο θεμα 3,β ερωτημα μαλλον εκανα πατατα....ειπα το εξης...f'(x)>o<=>e^x(x+1)>1 και επειδη e^x<=>0 τοτε χ>0
κ.ο.κ.
ειναι σωστη αυτη η λογικη???

Από ότι κατάλαβα έκανες το εξής. Λες πολύ σωστά ότι (e^x)*(x+1)>1 για x>-1. Μέχρι εδώ καλά. Μετά λες ότι επειδή e^x>0 τότε για να ισχύει η ανισότητα πρέπει x+1>1<=>x>0? Αυτό είναι λάθος γιατί αν πολλαπλασιάσεις με το (e^(-x))>0 για κάθε x τότε προκύπτει x+1>e^(-x) για κάθε x>-1 και όχι x+1>1. Όμως δεν ισχύει e^(-x)>1 για κάθε x>-1, έτσι δεν είναι; e^(-x)>1 για -1<x<0. Άρα η λογική σου είναι λανθασμένη.
-----------------------------------------
Σε γενικές γραμμές τα θέματα ήταν μέτριας δυσκολίας με σταδιακή κλιμάκωση του επιπέδου δυσκολίας όπως έπρεπε να είναι. Απευθύνονται σε καλά προετοιμασμένους υποψηφίους, αλλά δεν ξεχωρίζει ο καλός από τον πολύ καλό και ο πολύ καλός από τον άριστο.

Τα ερωτήματα 3Βγ,4γ και 4δ που ήταν αυξημένης δυσκολίας πιάνουν συνολικά 20/100 μονάδες, δηλαδή 4/20. Κατά συνέπεια ένας καλα διαβασμένος μπορεί να πιάσει το 16/20. Από εκεί και πέρα η δυσκολία αυξανόταν όμως δεν απαιτούσε συνθετική κρίση καθώς ήταν καθαρή εφαρμογή των θεωρημάτων.

billdef · 20-05-09

σωστα...οσο για τα θεματα ηταν μουφες....θεωρησα εκεινο το ερωτημα τοσο ευκολοπου ουτε καν το ξανακοιταξα....απο εκει τιν βρισκεις ομως....ευχαριστω πολλυ παντως

variax · 20-05-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Έλα τώρα ρε Γιάννη. Είπαμε να είμαστε αναλυτικοί, όχι κι έτσι. Γι αυτήν την χαζομάρα δεν θα χάσεις ούτε μισό μόριο. Αυτό είναι ταυτότητα και ισχύειο για ΟΛΕΣ τις συναρτήσεις, όχι μόνο για την σταθερή. Αφού ισχύει για όλες θα ισχύει και για την σταθερή. Μην ασχολούμαστε με μ******ς τώρα.

Παρεπιπτόντως, εκείνη η ασκησούλα στο topic "καλή άσκηση" ήταν super.

Δυστυχώς στο βαθμολογικό κέντρο που εξετάζω φυσικώς αδυνάτους η οδηγία σήμερα ήταν να κοπούν 2 μόρια στην περίπτωση που δεν εξεταστεί το x1=x2.

m3Lt3D · 20-05-09

Καλα μωρε δεν πειραζει.Εγω να περασω μαθηματικο θελω.Απο τη στιγμη που το πετυχω αυτο μεσα απο το αθλιο εξεταστικο συστημα, θα εχω απειρες ευκαιριες να εξεταστω αντικειμενικα και αξιοκρατικα. Οπως και ολοι μας.

smallv17 · 20-05-09

Γεια σε ολους, θα ηθελα να κανω μια ερωτηση για το δευτερο θεμα που με απασχολει τωρα που κοιταξα τισ λυσεις στο διαδικτυο.

Στην ερωτηση για το ποια ειναι η ευθεια στην οποια ανηκουν οι εικονες των μιγαδικων επειδη ελεγε οτι ισχυει για οποιοδηποτε λεR εβαλα 2 τυχαιες τιμε στο λ εστω 0 και 1 βρηκα 2 σημεια, μετα το συντελεστη διευθυνσης της ευθεια που τα ενωνει και υστερα βρηκα την ευθεια. ειναι λαθος?

markou · 20-05-09

στο τρίτο θέμα όταν εξετάζουμε την μονοτονια της f πήρα: f'(x)>0 <=> f'(x)>f'(0) <=> x>0(αφού όπως αποδείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα η f είναι κυρτή άρα η f'(x) είναι γνησίως αύξουσα) ομοιώς για f'(x)<0

DK1991 · 20-05-09

Variax, αν στο πρώτο αντί για αυτο, γράψω για τα πλευρικά τι γίνεται????? Πόσο χάνω?

miv · 20-05-09

Αρχική Δημοσίευση από smallv17:
Γεια σε ολους, θα ηθελα να κανω μια ερωτηση για το δευτερο θεμα που με απασχολει τωρα που κοιταξα τισ λυσεις στο διαδικτυο.

Στην ερωτηση για το ποια ειναι η ευθεια στην οποια ανηκουν οι εικονες των μιγαδικων επειδη ελεγε οτι ισχυει για οποιοδηποτε λεR εβαλα 2 τυχαιες τιμε στο λ εστω 0 και 1 βρηκα 2 σημεια, μετα το συντελεστη διευθυνσης της ευθεια που τα ενωνει και υστερα βρηκα την ευθεια. ειναι λαθος?

Δεδομένου ότι η εκφώνηση ζητάει ευθεία και όχι γενικά γεωμετρικό τόπο, νομίζω ότι δεν θα θεωρηθεί εντελώς λάθος.

Civilara · 20-05-09

Αρχική Δημοσίευση από smallv17:
Γεια σε ολους, θα ηθελα να κανω μια ερωτηση για το δευτερο θεμα που με απασχολει τωρα που κοιταξα τισ λυσεις στο διαδικτυο.

Στην ερωτηση για το ποια ειναι η ευθεια στην οποια ανηκουν οι εικονες των μιγαδικων επειδη ελεγε οτι ισχυει για οποιοδηποτε λεR εβαλα 2 τυχαιες τιμε στο λ εστω 0 και 1 βρηκα 2 σημεια, μετα το συντελεστη διευθυνσης της ευθεια που τα ενωνει και υστερα βρηκα την ευθεια. ειναι λαθος?

Αν έκανες μόνο αυτό δεν είναι λάθος άλλα είναι ελλιπές. Βάζεις 2 τυχαίες τιμές στο λ, βρίσκεις 2 σημεία και στη συνέχεια την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα δύο σημεία. Έχεις αποδείξει ότι η ευθεία αυτή διέρχεται για 2 συγκεκριμένες τιμές του λ και όχι για κάθε λ στο R. Μετά αντικαθιστάς στην εξίσωση που βρήκες x=2λ+1 και y=2λ-1 και πρέπει η εξίσωση να επαληθευτεί για οποιοδήποτε λ στο R. Τότε θα ήταν ολόσωστο. Αν μετά στην εξίσωση που βρήκες από τα 2 σημεία δεν την επαλήθευσες για κάθε λ τότε η απάντησή σου είναι ελλιπής.

smallv17 · 20-05-09

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Δεδομένου ότι η εκφώνηση ζητάει ευθεία και όχι γενικά γεωμετρικό τόπο, νομίζω ότι δεν θα θεωρηθεί εντελώς λάθος.

Λες ε?

Aπλα επειδη ζηταει ''να βρειτε την εξισωση της ευθειας'' σκεφτηκα οτι αφου ισχυει για ολα τα λ τοτε οποια τιμη του λ κι αν βαλω θα την επαληθευει. Αλλα διαφερει απο τισ λυσεις που παρουσιαστηκαν στο διαδικτυο δεν σκεφτηκα κι εγω να το παω με τον κλασσικο τροπο.

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Αν έκανες μόνο αυτό δεν είναι λάθος άλλα είναι ελλιπές. Βάζεις 2 τυχαίες τιμές στο λ, βρίσκεις 2 σημεία και στη συνέχεια την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα δύο σημεία. Έχεις αποδείξει ότι η ευθεία αυτή διέρχεται για 2 συγκεκριμένες τιμές του λ και όχι για κάθε λ στο R. Μετά αντικαθιστάς στην εξίσωση που βρήκες x=2λ+1 και y=2λ-1 και πρέπει η εξίσωση να επαληθευτεί για οποιοδήποτε λ στο R. Τότε θα ήταν ολόσωστο. Αν μετά στην εξίσωση που βρήκες από τα 2 σημεία δεν την επαλήθευσες για κάθε λ τότε η απάντησή σου είναι ελλιπής.

Thanks ευχαριστω πολυ καταλαβα τι λες. Ποσο να χασω απο αυτο? Τα μισα?κριμα επιανε και 9..

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος