Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mostel · 03-05-08

Εσύ ποια συνάρτηση είχες υπόψη σα βοηθητική ;

riemann80 · 03-05-08

ειχα σκεφτει μια παρομοια με την P(x) που την ειχα γραψει ως οριζουσα 4x4 αν θυμαμαι καλα και ειχε βγει σχετικα απλα,γιατι η παραγωγιση εβγαινε γρηγορα.αν τη θυμηθω θα τη γραψω σιγουρα.αλλα και η δικια σου μια χαρα δουλευει και ειναι και πιο λογικη απο την οριζουσα.

riemann80 · 03-05-08

να δειξετε οτι αν το ολοκληρωμα μιας συνεχους,μη αρνητικης συναρτησης πανω σε ενα κλειστο διαστημα ειναι μηδεν τοτε η συνάρτηση ειναι ταυτοτικα μηδεν στο διαστημα αυτο.

Vorbulon · 03-05-08

Γεια σας! Γράφω ξανά μετά από μεγάλο διάστημα απουσίας (παρόλο που συνέχιζα να διαβάζω το forum)
Έστω το διάστημα να είναι [α,β]. Αφού η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο [α,β] ισχύει f(x)>=0 για κάθε χε[α,β]. Έστω ότι δεν ισχύει f(x)=0 για κάθε χε[α,β]. Τότε f(x)>=0 χωρίς η f να είναι παντού μηδενική στο διάστημα, άρα το ολοκλήρωμα από το α στο β είναι θετικό. άτοπο, αφού το ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Συνεπώς f(x)=0 για κάθε χε[α,β].

mostel · 03-05-08

Αν $A,B,C$ γωνίες τριγώνου, να δείξετε ότι :

$e^A + e^B + e^C > 6$ .

Στέλιος

riemann80 · 03-05-08

το θεωρημα λέει $f(x)\geq0\rightarrow\int^b_af(x)dx\geq0$ .οι αυστηρες ανισοτητες δεν συνεπαγονται η μια την αλλη κατ αναγκην.οποτε ξανασκεψου το οταν μπορεσεις.

Vorbulon · 03-05-08

Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα σελ. 332;

Vorbulon · 03-05-08

Βρήκα και άλλη λύση:

Έστω ότι υπάρχει γ $\in$ (α,β) ώστε f(γ)>0
Έστω g(x)= $\int_$ $\alpha^ x f(t) dt$ , που είναι παρ/σιμη στο [α,β], αφού η f είναι συνεχής στο [α,β] με F'(x)=f(x) για κάθε x $\in$ [α,β]

F(γ)= $\int_ \alpha^\gamma f(t) dt$ >=0 αφού f(x)>=0 για κάθε x $\in$ [α,γ]
F(β)= $\int_ \alpha^\beta f(t) dt$ =0 από υπόθεση

Άρα σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει ξ $\in$ (γ,β) τέτοιο ώστε F'(ξ)= $\frac{F( \gamma) - F(\beta)}{\gamma- \beta}$ = $\frac{\int_\alpha^\gamma f(t) dt}{ \gamma- \beta}$ <0 αφού $\int_\alpha^\gamma f(t) dt$ >=0 και $\gamma< \beta$ , δηλ. f(ξ)<0 άτοπο, αφού f μη αρνητική. Συνεπώς f(x)=0 για κάθε x $\in$ [α,γ]

riemann80 · 03-05-08

δεν εχω ευκαιρο το βιβλιο αυτη τη στιγμη,αν θες αντεγραψε το εδω για να σου πω.αυτο που εγραψες μετα ειναι σωστο στην περιπτωση που το γ ειναι εσωτερικο σημειο του διαστηματος.αν β=γ δε μπορεις να κανεις ΘΜΤ στο [β,γ],ετσι δεν ειναι?

Vorbulon · 03-05-08

Αχ, δεν μου βγαίνουν τα Latex!!!! Το βιβλίο λέει: Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν f(x)>=0 για κάθε xε[α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε (το ολοκλήρωμα από το α στο β f(x)dx)>0

riemann80 · 03-05-08

α οκ,τοτε μαλλον ζητησα την αποδειξη αυτου!

Vorbulon · 03-05-08

Ξαναγράφω το από πάνω με κανονικά γράμματα για να καταλαβαίνεται:

Έστω ότι υπάρχει γε(α,β) ώστε f(γ)>0
Έστω g(x)=(ολοκλήρωμα από το α στο χ f(t)dt), που είναι παρ/σιμη στο [α,β], αφού η f είναι συνεχής στο [α,β] με F'(x)=f(x) για κάθε xε[α,β]

F(γ)=(ολοκλήρωμα από το α στο γ f(t)dt)>=0 αφού f(x)>=0 για κάθε xε[α,γ]
F(β)=(ολοκλήρωμα από το α στο β f(t)dt)=0 από υπόθεση

Άρα σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει ξε(γ,β) τέτοιο ώστε F'(ξ)= (F(γ)-F(β))/(γ-β) = ((ολοκλήρωμα από το α στο γ f(t)dt))/(γ-β)<0 αφού (ολοκλήρωμα από το α στο γ f(t)dt) >=0 και γ<β , δηλ. f(ξ)<0 άτοπο, αφού f μη αρνητική. Συνεπώς f(x)=0 για κάθε xε[α,γ]

Και η απόδειξη του βιβλίου βγαίνει ως εξής: Έστω ότι (ολοκλήρωμα από το α στο β f(t)dt)=0 τότε αφού f μη αρνητική σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύει f(x)=0 για κάθε xε[α,β]. άτοπο, αφού η f δεν είναι παντού 0. Άρα (ολοκλήρωμα από το α στο β f(t)dt)>0

Anarki · 03-05-08

Αρχική Δημοσίευση από Vaggelis100:
Αχ, δεν μου βγαίνουν τα Latex!!!!

Είχες γεμίσει τον τόπο με [COLOR] tags τα οποία δεν δουλεύουν σε latex περιβάλλον. Το διόρθωσα. Εξακολουθεί βέβαια να είναι λίγο μπάχαλο μιας και έχεις γράψει τα μισά σε latex και τα άλλα μισά με κανονικά γράμματα, και έχεις μπερδέψει επίσης το $\in$ με το $\exists$ (το οποίο είναι το \in σε latex)

.

riemann80 · 03-05-08

ωραια,τωρα μπορεις να μου δειξεις το ιδιο πραγμα μονο που η συναρτηση ειναι συνεχης μονο στο γ?δηλαδη:

αν f μη αρνητικη στο [α,β] και 1)f(γ)>0,γ στο (α,β) 2)f συνεχης στο γ τοτε το ολοκληρωμα της f πανω στο [α,β ]ειναι αυστηρα θετικο.

Vorbulon · 03-05-08

Ορίζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα όταν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα με άκρα τα όρια ολοκλήρωσης;

Άσχετο: Τα Colour tags τα έβαλε μάλλον όταν τα αντέγραψα από τη βοήθεια και τα έκανα μετά μαύρα, αλλά δεν μου τα εμφάνιζε στο κείμενο. Τώρα δεν μπορώ να το διορθώσω.

riemann80 · 03-05-08

σαφως οριζεται,απλως η συναρτηση ολοκλ.(απο α ως χ) που θεωρησες πριν δεν ειναι κατ αναγκην παραγωγισιμη.

Vorbulon · 03-05-08

Γενικά το βιβλίο σε αυτό το θέμα τα έχει κάνει μπάχαλο. Στο αόριστο δεν λέει πως πρέπει να είναι συνεχής, αλλά στο ορισμένο λέει πως έτσι είναι ορισμένο το ορισμένο ολοκλήρωμα (δηλ. το εμβαδόν).

riemann80 · 03-05-08

μπραβο αυτο ειναι το θεμα.το ολοκληρωμα οριζεται οταν οριζεται το εμβαδον.και το εμβαδον οριζεται ακομα και οταν υπαρχει ενα σημειο ασυνεχειας.παρε π.χ τη συναρτηση

f(x)=1 για χ στο [0,1) και f(1)=0.τοτε $\int^1_0 f(x)dx=1$

διοτι το ολοκληρωμα συμβολιζει απλως το εμβαδον του ορθογωνιου.αρα δε χρειαζεται η f να ναι συνεχης!

Vorbulon · 03-05-08

Αν η f είναι συνεχής στο γ, η F είναι παρ/σιμη στο γ; Η F είναι συνεχής; Ή πρέπει να βρω άλλον τρόπο;

riemann80 · 03-05-08

η παραγωγισιμοτητα της F στο γ δεν αρκει για να κανεις ΘΜΤ στο (γ,β) οπως πριν διοτι για αυτο χρειαζεται η συνεχεια της f στο (γ,β).επομενως χρειαζεται να σκεφτεις αλλιως.η παραγωγος ειναι λοιπον πολυ χρησιμη,αρκει να υπαρχει!!

πρεπει να χρησιμοποιησεις οτι η συναρτηση διατηρει προσημο σε μια περιοχη του γ λογω συνεχειας.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος