Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
Δινονται οι συναρτησεις $f,g(0,+propto )rightarrow R$ τετοιες ωστε $f(x)=(x-1){e}^{x}$ και $g'(x)=frac{x}{{e}^{x}-1}$ για καθε $xsucc 0$
Αν $g(1)=0$ να αποδειξετε οτι:i) $f(x)succ -1$ για καθε $xsucc 0$
ii)η $g$ ειναι κοιλη
iii) $frac{x}{{e}^{x}-1}prec frac{g(x)}{x-1}prec frac{1}{e-1}$ για καθε $xsucc 1$
iv) $lim_{xrightarrow +propto }frac{g(x)}{f(x)}=0$

Λοιπον

ii)(Σου ειπα οτι δεν εχω κανει κοιλοτητα και τετοια ακομα αλλα με τον ορισμο ακομα πιστευω μπορω )
$g''(x)=-\frac{{e}^{x}(1+x)}{({{e}^{x}-1)}^{2}}<0$
Αρα g' γν . φθινουσα , αρα κοιλη
iii) Με ενα ΘΜΤ στο $[1,x]$ εχουμε οτι υπαρχει $j \in [1,x] : g'(j)=g(x)-g(1)/x-1=g(x)/x-1$
Τελικα ειναι : $g'(x)<g'(j)<g'(1)$ ,Αφου g' γν.φθινουσα $x>j>1$ ισχυει αφου $j\in [1,x]$

iv) Επισης δεν εχω κανει de L'hospital αλλα ξερω περι τινος προκειται γιαυτο θα το χρησιμοποιησω
$g'(x)>0$ αρα g γν.αυξουσα αρα $\lim_{x->+oo}g(x)=+oo$ ,και αφου $\lim_{x->+oo}f(x)=+oo$

$\lim_{x->+oo}g(x)/f(x)=DLH=\lim_{x->+oo}g'(x)/f'(x)=..=0$

Περιμενω την επομενη :]

lowbaper92 · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Για δείτε αυτη:

Δίνεται η εξίσωση: $zbar{z}+4Re[(1-2i)z]+4=0$
α) Να παραστήσετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών z που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση.
β) Αν ${z}_{1},{z}_{2}$ είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: $|{z}_{1}-{z}_{2}|leq 8$
γ) Αν ${t}_{1},{t}_{2}$ είναι αντίστοιχα, οι τιμές των μιγαδικών ${z}_{1},{z}_{2}$ (του ερωτήματος β), για τις οποίες η παράσταση $|{z}_{1}-{z}_{2}|$ γίνεται μέγιστη,να δείξετε ότι: ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }={2}^{4nu +1}cdot {5 }^{nu }$

Και μια ευχή για το 2010: Εύχομαι φέτος η συναρτηση της ευτυχιας να είναι γνησίως αύξουσα και το όριο της χαράς να τείνει στο +οο

Βαζω τη λύση για οποιον θέλει :

α)
Εστω z=x+yi. Τότε $(1-2i)(x+yi)=x+2y+(y-2x)i$ Αρα Re[(1-2i)z]=x+2y
Μετα το πεταμε στη σχεση και μετα απο πραξεις βγαινει κυκλος με κεντρο Κ(-2,-4) και ρ=4

β)
${|{z}_{1}-{z}_{2}|}_{max}=2\rho =8$
Άρα $|{z}_{1}-{z}_{2}|\leq 8$
γ)
${|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{\nu }={10}^{\nu }\cdot {|{t}_{1}-{t}_{2}|}^{\nu }={10}^{\nu }\cdot {8}^{\nu }={5}^{\nu }\cdot {2}^{\nu}\cdot {2}^{3\nu }={5}^{\nu }\cdot {2}^{4\nu }$

${t}_{1}+{t}_{2}=\vec{OA}+\vec{OB}=2\vec{OK}$
Άρα
$|{t}_{1}+{t}_{2}|=2|\vec{OK}|=2\sqrt{20}=2\cdot 2\sqrt{5}={2}^{2}\cdot \sqrt{5}$
Άρα ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2\nu }={({2}^{2}\cdot \sqrt{5})}^{2\nu }={2}^{4\nu }\cdot {5}^{\nu }$
Τελικά
${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2\nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{\nu }= {5}^{\nu }\cdot {2}^{4\nu}+{5}^{\nu }\cdot {2}^{4\nu}=2\cdot {5}^{\nu }\cdot {2}^{4\nu}={5}^{\nu }\cdot {2}^{4\nu +1}$

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Λοιπον

i) $x>0 Leftrightarrow x-1>-1 Leftrightarrow (x-1){e}^{x}>-{e}^{x}>-1$ Αρα $f(x)>-1$
ii)(Σου ειπα οτι δεν εχω κανει κοιλοτητα και τετοια ακομα αλλα με τον ορισμο ακομα πιστευω μπορω )
$g''(x)=-frac{{e}^{x}(1+x)}{({{e}^{x}-1)}^{2}}<0$
Αρα g' γν . φθινουσα , αρα κοιλη
iii) Με ενα ΘΜΤ στο $[x,1]$ εχουμε οτι υπαρχει $j in [x,1] : g'(j)=g(x)-g(1)/x-1=g(x)/x-1$
Τελικα ειναι : $g'(x)<g'(j)<g'(1)$ ,Αφου g' γν.φθινουσα $x>j>1$ ισχυει αφου $jin [x,1]$

iv) Επισης δεν εχω κανει de L'hospital αλλα ξερω περι τινος προκειται γιαυτο θα το χρησιμοποιησω
$g'(x)>0$ αρα g γν.αυξουσα αρα $lim_{x->+oo}g(x)=+oo$ ,και αφου $lim_{x->+oo}f(x)=+oo$

$lim_{x->+oo}g(x)/f(x)=DLH=lim_{x->+oo}g'(x)/f'(x)=..=0$

Περιμενω την επομενη :]

Στο ερωτημα (i) γιατι το $-{e}^{x}>-1$ ?
πχ αμα x=2 to $-{e}^{2}<-1$
Εγώ ειπα οτι για καθε x>0 ειναι $f'(x)=x{e}^{x}>0$
Αρα f γνησιως αυξουσα
$x>0\Leftrightarrow f(x)>f(0)\Leftrightarrow f(x)>-1$

Για το ερωτημα (iii) φανταζομαι θες να πεις ΘΜΤ στο [1,x]

coheNakatos · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Βαζω τη λύση για οποιον θέλει :

α)
Εστω z=x+yi. Τότε $(1-2i)(x+yi)=x+2y+(y-2x)i$ Αρα Re[(1-2i)z]=x+2y
Μετα το πεταμε στη σχεση και μετα απο πραξεις βγαινει κυκλος με κεντρο Κ(-2,-4) και ρ=4

β)
${|{z}_{1}-{z}_{2}|}_{max}=2rho =8$
Άρα $|{z}_{1}-{z}_{2}|leq 8$
γ)
${|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }={10}^{nu }cdot {|{t}_{1}-{t}_{2}|}^{nu }={10}^{nu }cdot {8}^{nu }={5}^{nu }cdot {2}^{nu}cdot {2}^{3nu }={5}^{nu }cdot {2}^{4nu }$

${t}_{1}+{t}_{2}=vec{OA}+vec{OB}=2vec{OK}$
Άρα
$|{t}_{1}+{t}_{2}|=2|vec{OK}|=2sqrt{20}=2cdot 2sqrt{5}={2}^{2}cdot sqrt{5}$
Άρα ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }={({2}^{2}cdot sqrt{5})}^{2nu }={2}^{4nu }cdot {5}^{nu }$
Τελικά
${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }= {5}^{nu }cdot {2}^{4nu}+{5}^{nu }cdot {2}^{4nu}=2cdot {5}^{nu }cdot {2}^{4nu}={5}^{nu }cdot {2}^{4nu +1}$

-----------------------------------------

Στο ερωτημα (i) γιατι το $-{e}^{x}>-1$ ?
πχ αμα x=2 to $-{e}^{2}<-1$
Εγώ ειπα οτι για καθε x>0 ειναι $f'(x)=x{e}^{x}>0$
Αρα f γνησιως αυξουσα
$x>0Leftrightarrow f(x)>f(0)Leftrightarrow f(x)>-1$

Για το ερωτημα (iii) φανταζομαι θες να πεις ΘΜΤ στο [1,x]

Ναι και στα 2 βιαστηκα :]

ledzeppelinick · 07-01-10

1)Εστω συναρτηση f:R-->R με $f(R)=R$ και τετοια,ωστε $f(f(x))+f(x)=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$ για καθε $x\in R$ .Nα αποδειξετε οτι:
i)η f ειναι 1-1
ii)η f δεν ειναι γνησιως αυξουσα
iii)αν f(0)=1 τοτε ${f}^{-1}(0)=2$

coheNakatos · 07-01-10

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
1)Εστω συναρτηση f:R-->R με $f(R)=R$ και τετοια,ωστε $f(f(x))+f(x)=-frac{1}{4}x+frac{3}{2}$ για καθε $xin R$ .Nα αποδειξετε οτι:
i)η f ειναι 1-1
ii)η f δεν ειναι γνησιως αυξουσα
iii)αν f(0)=1 τοτε ${f}^{-1}(0)=2$

I)Εστω $f(x1)=f(x2) (1)$ , εχουμε $f(f(x1))=f(f(x2)) (2)$
$(1)+(2) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x1=x2$ αρα $f "1-1"$
II)Εστω οτι ειναι γνησιως αυξουσα :

Εστω $x1>x2 \Leftrightarrow f \gamma \nu .\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha \Leftrightarrow f(x1)>f(x2)$
και $f(f(x1))>f(f(x2))$
Προσθετοντας κατα μελη : $-1/4(x1)+3/2>-1/4(x2)+3/2 \Leftrightarrow x1<x2$ ΑΤΟΠΟ , αρα η f δεν ειναι γνησιως αυξουσα
III) Εχουμε $f(x)+x=-1/4({f}^{-1}(x))+6 \Leftrightarrow {f}^{-1}(x) = -4f(x)-4x+6$
Για x=0 : ${f}^{-1}(0)=-4+6=2$

coheNakatos · 08-01-10

Μια δικια μου

Να εξετασετε αν υπαρχουν πραγματικοι x,y ωστε

με

περιττους

β)Εφοσον υπαρχει ενα ζευγος , Μπορει να υπαρχει δευτερο ζευγος ?

Zorc · 09-01-10

Να μια δικια μου.

Εστω μια συναρτηση f η οποια ειναι δυο φορες παραγωγησιμη στο [1,3] με $\frac{f(1)+f(3)}{2}=f(2)+1$ . Ν.δ.ο. υπαρχει ξ $\epsilon(1,3)$ τετοιο ωστε f''(ξ)=2.

Απολαυστε :bye:

-----------------------------------------
Ακομη:
Δινεται η συναρτηση συνεχης f:[1,e]-->R η οποια ειναι και παραγωγισιμη στο (1,e). Αν f(e)=0, ν.δ.ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ $\epsilon(1,e)$ τετοιο ωστε ξf'(ξ)lnξ=-f(ξ).

Και.....

Δινεται η συναρτηση f για την οποια ισχυουν $f''(x)\neq {e}^{x}$ για καθε x $\varepsilon R$ και f(0)-f(1)=2-e. Ν.δ.ο. οτι οι ${C}_{f'}$ και ${C}_{g'}$ οπου $g(x)={e}^{x}-x$ εχουν ενα μονο κοινο σημειο με τετμημενη ${x}_{0}\varepsilon (0,1)$ .

lowbaper92 · 09-01-10

Μερικές επαναληπτικές μιγαδικών

1) Εστω z1,z2εC τετοιος ωστε ${{z}_{1}}^{\nu }=2+i$ και ${{z}_{2}}^{\nu }=1+2i$ οπου νεΝ,ν>1
α) Να δειξετε οτι ο αριθμός $w=\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ δεν ειναι πραγματικός.
β) Να βρείτε την αποσταση της εικόνας του w απο την αρχή των αξόνων.
γ) Να δειξετε οτι $(\frac{w+1}{w-1})\in I$
δ) Να βρείτε την ελαχιστη τιμή της παραστασης
$f(z)=|z+w|+|z-w|,z\in C$

ΥΓ1. Δεν ξέρω ποιες ειναι οι σωστές απαντήσεις

ΥΓ2. Οι αλλες αργοτερα!

coheNakatos · 09-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Μερικές επαναληπτικές μιγαδικών

1) Εστω z1,z2εC τετοιος ωστε ${{z}_{1}}^{nu }=2+i$ και ${{z}_{2}}^{nu }=1+2i$ οπου νεΝ,ν>1
α) Να δειξετε οτι ο αριθμός $w=frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ δεν ειναι πραγματικός.
β) Να βρείτε την αποσταση της εικόνας του w απο την αρχή των αξόνων.
γ) Να δειξετε οτι $(frac{w+1}{w-1})in I$
δ) Να βρείτε την ελαχιστη τιμή της παραστασης
$f(z)=|z+w|+|z-w|,zin C$

ΥΓ1. Δεν ξέρω ποιες ειναι οι σωστές απαντήσεις
ΥΓ2. Οι αλλες αργοτερα!

1) A'τροπος (δεν ειμαι και σιγουρος για τις δυναμεις και αυτα) Εστω οτι $w\in R$ με $w=k\in R$ , $k= \frac{z1}{z2}\Rightarrow |k|=\frac{|z1|}{|z2|} \Leftrightarrow {k}^{n}={(\frac{|z1|}{|z2|})}^{n} \Leftrightarrow... \Leftrightarrow k=1$
Αλλα για $k=1$ στην αρχικη $z1=z2 \Leftrightarrow {z1}^{n}={z2}^{n} \Leftrightarrow 1+2i = 2+i$ ΑΤΟΠΟ

Β'τροπος : Εστω οτι $w\in R$ , Θα πρεπει o w υψωμενος σε οποιαδιποτε δυναμη να ειναι πραγματικος αρα και ${w}^{n}\in R$
Αρα $\frac{{z1}^{n}}{{z2}^{n}}= \frac{2+i}{1+2i}=..=i$ Ατοπο

2) $|w|=\frac{|z1|}{|z2|} \Leftrightarrow |w|=\frac{{|z1|}^{n}}{{|z2|}}^{n} \Leftrightarrow |w|=1<br />$
3) Με τον κλασσικο τροπο $u=-\overline{u}$
4)Για αυτο εχω το προβλημα ,ειπα οτι την ελαχιστη τιμη την εχουμε οταν το z ταυτιζεται με το w αρα $|z-w|=0$ και $|z+w|=2|w|=2$
Αρα $f(z)min =2$

B'λυση : $|z+w|\succeq ||z|-|w||$
| $z-w| \succeq ||z|-|w||$
Αρα $|z-w| + |z+w| \succeq 2|(|z|-1)|$
Η παρασταση $2|(|z|-1)|$ παρουσιαζει ελαχιστο στο $|z|=0$ ,αρα $z=0$ το $f(0)=2$

lowbaper92 · 10-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
1) A'τροπος (δεν ειμαι και σιγουρος για τις δυναμεις και αυτα) Εστω οτι $win R$ με $w=kin R$ , $k= frac{z1}{z2}Rightarrow |k|=frac{|z1|}{|z2|} Leftrightarrow {k}^{n}={(frac{|z1|}{|z2|})}^{n} Leftrightarrow... Leftrightarrow k=1$
Αλλα για $k=1$ στην αρχικη $z1=z2 Leftrightarrow {z1}^{n}={z2}^{n} Leftrightarrow 1+2i = 2+i$ ΑΤΟΠΟ

Β'τροπος : Εστω οτι $win R$ , Θα πρεπει o w υψωμενος σε οποιαδιποτε δυναμη να ειναι πραγματικος αρα και ${w}^{n}in R$
Αρα $frac{{z1}^{n}}{{z2}^{n}}= frac{2+i}{1+2i}=..=i$ Ατοπο

2) $|w|=frac{|z1|}{|z2|} Leftrightarrow |w|=frac{{|z1|}^{n}}{{|z2|}}^{n} Leftrightarrow |w|=1<br />$
3) Με τον κλασσικο τροπο $u=-overline{u}$
4)Για αυτο εχω το προβλημα ,ειπα οτι την ελαχιστη τιμη την εχουμε οταν το z ταυτιζεται με το w αρα $|z-w|=0$ και $|z+w|=2|w|=2$
Αρα $f(z)min =2$

B'λυση : $|z+w|succeq ||z|-|w||$
| $z-w| succeq ||z|-|w||$
Αρα $|z-w| + |z+w| succeq 2|(|z|-1)|$
Η παρασταση $2|(|z|-1)|$ παρουσιαζει ελαχιστο στο $|z|=0$ ,αρα $z=0$ το $f(0)=2$

Όπως σου ειπα δεν τις εχω λυμένες τις ασκησεις, ουτε ξερω τα αποτελεσματα οποτε δεν μπορω να σου πω αν εισαι σωστός.

Στο (α) ερωτημα ειπα εστω wεR.Τότε:
$w=\bar{w}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow {z}_{1}\bar{{z}_{2}}-\bar{{z}_{1}}{z}_{2}=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow Im({z}_{1}\bar{{z}_{2}})=0$
Όμως $({\bar{{z}_{2}}})^{\nu }=1-2i$
Άρα $({{z}_{1}\bar{{z}_{2}}})^{\nu }=(2+i)(1-2i)=4-3i$ (Άτοπο)

Στο ερωτημα (β) αυτο που ήθελες να γραψεις στο λατεξ δεν το πολυπετυχες

-----------------------------------------
2η άσκηση

Έστω z1,z2 ειναι ρίζες της εξισωσης
${x}^{2}+\alpha x+\beta =0$
Αν z1=1+2i τότε:

α) Να δείξετε ότι α=-2 και β=5

β) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του $\nu \in {N}^{*}$ , ώστε $({{z}_{1}-{z}_{2}})^{\nu }>0$

γ) Αν Α,Β οι εικόνες των z1 και z2 αντίστοιχα, να βρείτε τον μιγαδικό z με εικάνα ένα σημείο Μ,τετοιο ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να ειναι ισόπλευρο.
-----------------------------------------
3η άσκηση

Έστω ${z}_{2},{z}_{2}\in {C}^{*}$ με ${z}_{1}\neq {z}_{2},{z}_{1}\neq -{z}_{2}$ .
Θέτουμε $w=\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}$
Να δείξετε ότι:

α) |w|=1, αν και μονα αν $(\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}})\in I$

β) Αν |z1|=|z2|=1 τότε:

i) νδο $w\in I$

ii) νδο $({\frac{{z}_{2}-{z}_{2}}{{z}_{1}+{z}_{2}}})^{2006}<0$
-----------------------------------------
4η άσκηση

Έστω α=2+3i και zεC με:
$z\bar{z}-\bar{\alpha }z-\alpha \bar{z}=0$

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z.

β) Αν $w=\frac{9}{z},z\neq 0$ :

i) Να δείξετε οτι $\alpha \cdot w+\bar{\alpha }\cdot \bar{w}=9$

ii) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w.

coheNakatos · 11-01-10

2)z1=1+2i , z2=1-2i
a)
$z1+z2=a \Leftrightarrow a=-2$
$z1(z2)=b \Leftrightarrow b=5$
b)Πρεπει ${(z1-z2)}^{n}$ θετικος πραγματικος
$z1-z2=4i$
Για n=4κ : ${4i}^{4k} = {4}^{4k}{i}^{4}={4}^{4k}$
Για κ=0 , n=0 αλλα $n\in {N}^{*}$
Για $k=1$ , $n=4$ : ${(z1-z2)}^{n}= {4}^{4}>0$

Αρα ${n}_{min}=4$
γ) $|z-(1+2i)|=|z-(1-2i)|=4$
Οι μιγαδικοι που ψαχνουμε ειναι οι λυσεις του συστηματος
$|z-(1+2i)|=4 \Leftrightarrow {(x-1)}^{2}+{(y-2)}^{2}=16 (1)$
$|z-(1-2i)|=4 \Leftrightarrow {(x-1)}^{2}+{(y+2)}^{2}=16 (2)$
$|z-(1-2i)|=|z-(1+2i)| \Leftrightarrow y=0(3)$

Λυνω το συστημα $z1=2\sqrt{3}+1 , z2=-2\sqrt{3}+1$

3)a) $|w|=1 \Leftrightarrow |z1-z2|=|z1+z2$ | ...ισχυει
b) i) Με την κλασσικη σχεση ..
ιι) οπως το (β) της 2ης ..
4)α) Απλα μερικες πραξεις ..
β)Αντικαθιστω στην σχεση το $w=9/z : \frac{9a}{z}+\frac{9\overline{a}}{\overline{z}}=1 \Leftrightarrow a \overline{z}+\overline{a}z=z\overline{z} \Leftrightarrow z\overline{z}-a \overline{z}-\overline{a}z$ που ισχυει (δεδομενα)
γ)Εχοντας την δοσμενη σχεση για τα w και z και τν γ.τ του z απλη αντικατασταση

lowbaper92 · 11-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
3)a) $|w|=1 Leftrightarrow |z1-z2|=|z1+z2$ | ...ισχυει
b) i) Με την κλασσικη σχεση ..
ιι) οπως το (β) της 2ης ..

εγώ το έκανα χρησιμοποιώντας w οποτε αν δεν σου κάνει κόπος μπορείς να ανεβάσεις τη λύση για να συγκρίνω.

coheNakatos · 11-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
εγώ το έκανα χρησιμοποιώντας w οποτε αν δεν σου κάνει κόπος μπορείς να ανεβάσεις τη λύση για να συγκρίνω.

Τωρα που το λες και το παρατηρω εχεις γραψει Z2-Z2 εκει πως ειναι τελικα ?

lowbaper92 · 11-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Τωρα που το λες και το παρατηρω εχεις γραψει Z2-Z2 εκει πως ειναι τελικα ?

Όπα sorry..z1-z2 είναι ο αριθμιτής

lowbaper92 · 12-01-10

Μήπως το κοίταξες καθόλου τώρα?

coheNakatos · 12-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Μήπως το κοίταξες καθόλου τώρα?

Ο αριθμος αυτος ειναι το ${(\frac{1}{w})}^{2006}$
$w\in I$ ,αρα $w=ki$
αρα $A={(\frac{1}{ki})}^{2006}={(\frac{-i}{k})}^{2006}={(\frac{i}{k})}^{2006}=\frac{{i}^{2006}}{{k}^{2006}}=-\frac{1}{{k}^{2006}}<0$

lowbaper92 · 12-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Ο αριθμος αυτος ειναι το ${(frac{1}{w})}^{2006}$
$win I$ ,αρα $w=ki$
αρα $A={(frac{1}{ki})}^{2006}={(frac{-i}{k})}^{2006}={(frac{i}{k})}^{2006}=frac{{i}^{2006}}{{k}^{2006}}=-frac{1}{{k}^{2006}}<0$

Ναι κι εγώ αυτό έκανα

lowbaper92 · 14-01-10

Άσκηση με πολυώνυμα

Δίνεται η πολυωνυμική συναρτηση P(x) της οποίας η γραφική παρασταση τεμνει τον x'x στο 2 και τον y'y στο -2. Επιπλέον ισχύει P'(0)=-9 και P'(-1)=-12, ενώ η συνάρτηση $Q(x)={\left[P(x) \right]}^{2}\cdot {\left[P'(x) \right]}^{5}$ είναι πολυωνυμο 16ου βαθμού.

α) Να αποδειξετε οτι το P(x) ειναι 3ου βαθμού.

β) Να βρείτε το πολυώνυμο P(x).

γ) Να λύσετε την ανισωση $P'(x)>0$ .

δ) Να βρείτε το όριο $\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\eta \mu ({x}^{2}-1)}{P''(x)}$ .

coheNakatos · 14-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Άσκηση με πολυώνυμα

Δίνεται η πολυωνυμική συναρτηση P(x) της οποίας η γραφική παρασταση τεμνει τον x'x στο 2 και τον y'y στο -2. Επιπλέον ισχύει P'(0)=-9 και P'(-1)=-12, ενώ η συνάρτηση $Q(x)={left[P(x) right]}^{2}cdot {left[P'(x) right]}^{5}$ είναι πολυωνυμο 16ου βαθμού.

α) Να αποδειξετε οτι το P(x) ειναι 3ου βαθμού.

β) Να βρείτε το πολυώνυμο P(x).

γ) Να λύσετε την ανισωση $P'(x)>0$ .

δ) Να βρείτε το όριο $lim_{xrightarrow -1}frac{eta mu ({x}^{2}-1)}{P''(x)}$ .

α) Εστω ν ο βαθμος του P(x) : 16=2ν +5ν-5 .. ν=3.
β)Με χρηση των τιμων που δινονται $P(x)={x}^{3}+3{x}^{2}-9x+2$
$P'(x)=3{x}^{2}+6x-9$
$P''(x)=6(x+1)$
γ)Ενταξει μην το παρακανουμε ανισωση 3η λυκειου ?

(Χιουμορ , δεν το παιζω υπερανω

)
δ) Πολλαπλασιασα και διαιρεσα με x-1 και τελικα βγαινει -1/3 ? αν δεν εκανα λαθος πραξεις

lowbaper92 · 14-01-10

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:R->R και μιγαδικός αριθμός $z\neq \frac{1}{2}$ για τους οποίους ισχύουν:
${f}^{2}(x)+{\eta \mu }^{2}x=2xf(x)$ για κάθε xεR και:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=\left|\frac{z-2}{2z-1} \right|$

α) Να δείξετε ότι |z|=1

β) Να αποδείξετε οτι ο αριθμός $w=\frac{{(z+i)}^{10}}{{z}^{10}-1}$ είναι πραγματικός.

γ) Να βρέιτε το όριο $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(\eta \mu x)}{{x}^{2}-x}$

δ) Να αποδείξετε οτι η εξίσωση:
$\left(5+|z+3-4i| \right)x={x}^{3}+10$
έχει μία τουλαχιστον ρίζα στο [1,2].

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος