Πανελλήνιες 2014

[infinity_kn]

τι θα γινει τελικα με τις ειδικες κατηγοριες? εχει βγει καποια επισημη ανακοινωση?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Νομάρχης]

Β2:

Θεωρείς τυχαίο σημείο Μ(Xo, - (Xo^2)/2) της παραβολής.
Εφαρμόζεις τον τύπο απόστασης σημείου από ευθεία για το σημείο Μ και την ευθεία του ερωτήματος Α.
Στον αριθμητή προκύπτει τριώνυμο του οποίου βρίσκεις ελάχιστη τιμή.
Αντικαθιστάς την τιμή στον τύπο και βγαίνει το ζητούμενο.

Εγώ κάθισα και το έλυσα ως εξής: η ελάχιστη απόσταση της ευθείας ε: x-y+4=0 από την παραβολή x²+2y=0(έστω g(x)=-x²/2) ισούται με την απόσταση της ε από την ευθεία ε1, η οποία είναι παράλληλη στην ε και αποτελεί εφαπτομένη σε ένα σημείο της παραβολής. Δηλαδή, βρίσκω την τετμημένη α για την οποία ισχύει g'(a)=1, οπότε η ε1 έχει μορφή y-g(a)=g'(a)(x-a). Παίρνω τυχαίο σημείο Α της ε1 και υπολογίζω την απόσταση του Α από την ε. Νομίζω πως και αυτός ο τρόπος είναι αποδεκτός...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ahab]

Εσεις που πηγατε σχολειο σημερα σας εδωσαν καρτελακια η οχι ακομα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[SonnY]

Θες Μαθηματικό και λες οτι στα Μαθηματικά θα παραδώσεις κόλλα πριν πας στο τέταρτο;

Κυκλοθυμικός

Δε μιλούσα σοβαρά πριν. Χιουμορ εκανα.
Εννοειται πως θα το προσπαθησω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Νομάρχης]

Εχεις τεσσερα ακρα διαστηματος 1,χ,χ^3,1+χ-χ^3 κανεις ΘΜΤ στα δυο διαστηματα που σχηματιζονται απο αυτους τους τεσσερις αριθμους αλλα πρεπει να παρεις περιπτωσεις για να τους διαταξεις.Οταν βρω χρονο θα το προσπαθησω προς το παρον παω να διαβασω ΑΟΔΕ.

Οι περιπτώσεις είναι χ>1 και 0<χ<1. Και στις δύο εύκολα αποδεικνύεις ότι τα άκρα των δύο διαστημάτων δεν συμπίπτουν για κανένα χ. Επομένως, μιλάμε για ξένα διαστήματα, οπότε η εξίσωση για x διάφορο του 1 είναι αδύνατη(η g' είναι "1-1").

Λύση στο Δ1.
Λύση στο Δ2.
Λύση στο Δ3.
Λύση στο Δ4. Συνοδευτικό σχήμα.

Διευκρινήσεις και σχόλια δεκτά.
Ευχαριστούμε νίκο για τα θέματα!

edit: Διόρθωση στο Δ1 και στο Δ3.
edit: Διόρθωση στο Δ4. Προσθήκη γραφήματος.

Στο Δ1 μπορούσες να πάρεις απευθείας συνάρτηση f, πηγαίνοντας όλα στο πρώτο μέρος της ανίσωσης. Στο Δ2 πρέπει να κάνεις και μια μικρή και εύκολη απόδειξη ότι οι εξισώσεις f(ρ)=0 και g(ρ)=-2 είναι ισοδύναμες(λες έστω g μεγαλύτερη του -2 και ύστερα έστω μικρότερη του -2, και στις δύο περιπτώσεις η f βγαίνει μεγαλύτερη και μικρότερη του 0 αντίστοιχα). Το Δ3 εγώ κάθισα και το έλυσα χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της g στο 2(έχω από προηγούμενο ερώτημα ότι g'(2)>0) και το ότι, αφού η g' είναι γνησίως αύξουσα, η g είναι κυρτή, άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο 2 εκτός από το σημείο επαφής τους(χρειάζεται όμως να κάνεις και μια μικρή απόδειξη, χρησιμοποιώντας το Κριτήριο Παρεμβολής, για να βρεις ότι το όριο της g στο άπειρο είναι και αυτό συν άπειρο).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[KeepDreaming!]

Εσεις που πηγατε σχολειο σημερα σας εδωσαν καρτελακια η οχι ακομα;

Ούτε καν..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[notis_19]

Καρτελάκια?? Φωτογραφίες?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chili_pepper]

Εσεις που πηγατε σχολειο σημερα σας εδωσαν καρτελακια η οχι ακομα;

Νομίζω θα μας τα δώσουν 2-3 μέρες πριν κλείσουμε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Emilouko]

Εγώ θα πάω τις φωτο αυτή ή την άλλη εβδομάδα.Τότε θα τα δώσουν σε εμάς.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Νομάρχης]

Ο ΟΕΦΕ σήμερα μας τρόλλαρε στα Μαθηματικά.Το τέταρτο ήταν από άλλο πλανήτη.Εν τω μεταξύ πήγα με μια ψυχολογία σήμερα ότι θα γράψω εικοσάρι και μόλις τα είδα κουφάθηκα.Τελικά κατάφερα να φτάσω με πολύ κόπο στο 16.

Το Δ είχε απλώς μια ελάχιστα διαφορετική μορφή από αυτά που ζητούνται συνήθως, αλλά ως προς το επίπεδο δυσκολίας δε βλέπω να διαφέρει σημαντικά. <<Στανταρισμένα>> ερωτήματα, δηλαδή... Τη φράση <<από άλλον πλανήτη>> τη θεωρώ τουλάχιστον υπερβολική...

Στο Δ1 σε εξετάζει στο "1-1", απλώς αντί να σε ρωτήσει ευθέως <<βρες μου το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου>>, σε ρωτάει να βρείς τη μονοτονία της πρώτης παραγώγου. Στο Δ2 σου δίνει σχεδόν έτοιμη τη λύση, απλά πρέπει να αποδείξεις ότι οι εξισώσεις f(ρ)=0 και g(ρ)=-2 είναι ισοδύναμες. Και η ανισότητα έβγαινε σχετικά άνετα με Rolle και μονοτονία. Το Δ3 ήταν λίιιιγο πιο τσιμπημένο από τις συνηθισμένες ασκήσεις τέτοιου είδους με όρια, αλλά δεν είχε κάτι το πονηρό. Απλά έβρισκες ότι το όριο της παράστασης μέσα στην παρένθεση κάνει συν άπειρο(βρίσκεις πρώτα το πρόσημο της g αριστερά του 2, πιστεύω με σχετική άνεση) και στη συνέχεια χρησιμοποιείς κυρτότητα(γνησίως αύξουσα η παράγωγος, άρα κυρτή) και εφαπτομένη στο 2(παράγωγος στο 2 θετική, η g μεγαλύτερη ή ίση της εφαπτομένης στο 2) για να αποδείξεις, με κριτήριο παρεμβολής, ότι και το όριο της g στο συν άπειρο κάνει συν άπειρο. Στο Δ4 κάνεις συνηθισμένες κινήσεις με ΘΜΤ, απλά πρέπει και να κάνεις μια μικρή και σχετικά απλή απόδειξη ότι τα διαστήματα δεν έχουν κοινό σημείο.

Αν ξεφυλλίσεις ένα απαιτητικό βοήθημα(π.χ. Στεργίου-Νάκη, εγώ αυτό δούλευα) θα δεις πολύ πιο δύσκολα θέματα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Emilouko]

Καρτελάκια?? Φωτογραφίες?

Δε σας έχουν πει τίποτα;Πρέπει να πάμε φωτογραφίες για το απολυτήριο και για το καρτελάκι των Πανελληνίων.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[notis_19]

Δε σας έχουν πει τίποτα;Πρέπει να πάμε φωτογραφίες για το απολυτήριο και για το καρτελάκι των Πανελληνίων.

Πρώτη φορά το ακούω αυτό..δεν μας έχουν πει τίποτα..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Emilouko]

Πρώτη φορά το ακούω αυτό..δεν μας έχουν πει τίποτα..

Πήγες καθόλου σχολείο;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[notis_19]

Πήγες καθόλου σχολείο;

Σήμερα πήγα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Βασω[ij]]

Μαθηματικό Αθηνών και τα μυαλά στα κάγκελα!

και εγω σκεφτομαι για μαθηματικο αλλα και για οικονομικα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Emilouko]

Σήμερα πήγα.

Μπορεί να σας τα φτιάξουν πιο μετά..Τι να πω Πάντως,ρώτα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Filippos14]

Οι περιπτώσεις είναι χ>1 και 0<χ<1. Και στις δύο εύκολα αποδεικνύεις ότι τα άκρα των δύο διαστημάτων δεν συμπίπτουν για κανένα χ. Επομένως, μιλάμε για ξένα διαστήματα, οπότε η εξίσωση για x διάφορο του 1 είναι αδύνατη(η g' είναι "1-1").



Στο Δ1 μπορούσες να πάρεις απευθείας συνάρτηση f, πηγαίνοντας όλα στο πρώτο μέρος της ανίσωσης. Στο Δ2 πρέπει να κάνεις και μια μικρή και εύκολη απόδειξη ότι οι εξισώσεις f(ρ)=0 και g(ρ)=-2 είναι ισοδύναμες(λες έστω g μεγαλύτερη του -2 και ύστερα έστω μικρότερη του -2, και στις δύο περιπτώσεις η f βγαίνει μεγαλύτερη και μικρότερη του 0 αντίστοιχα). Το Δ3 εγώ κάθισα και το έλυσα χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της g στο 2(έχω από προηγούμενο ερώτημα ότι g'(2)>0) και το ότι, αφού η g' είναι γνησίως αύξουσα, η g είναι κυρτή, άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο 2 εκτός από το σημείο επαφής τους(χρειάζεται όμως να κάνεις και μια μικρή απόδειξη, χρησιμοποιώντας το Κριτήριο Παρεμβολής, για να βρεις ότι το όριο της g στο άπειρο είναι και αυτό συν άπειρο).

Μιλας για το κριτ.συγκρισης φανταζομαι.Πολυ καλη αυτη η λυση μπραβο σου φιλε!πραγματικα εξυπνη!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Στο Δ1 μπορούσες να πάρεις απευθείας συνάρτηση f, πηγαίνοντας όλα στο πρώτο μέρος της ανίσωσης. Στο Δ2 πρέπει να κάνεις και μια μικρή και εύκολη απόδειξη ότι οι εξισώσεις f(ρ)=0 και g(ρ)=-2 είναι ισοδύναμες(λες έστω g μεγαλύτερη του -2 και ύστερα έστω μικρότερη του -2, και στις δύο περιπτώσεις η f βγαίνει μεγαλύτερη και μικρότερη του 0 αντίστοιχα). Το Δ3 εγώ κάθισα και το έλυσα χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της g στο 2(έχω από προηγούμενο ερώτημα ότι g'(2)>0) και το ότι, αφού η g' είναι γνησίως αύξουσα, η g είναι κυρτή, άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο 2 εκτός από το σημείο επαφής τους(χρειάζεται όμως να κάνεις και μια μικρή απόδειξη, χρησιμοποιώντας το Κριτήριο Παρεμβολής, για να βρεις ότι το όριο της g στο άπειρο είναι και αυτό συν άπειρο).

Περισσότερο με ενδιαφέρει αν έχεις εναλλακτική μέθοδο στο Δ4.
Το όλο θέμα, έτσι όπως το έλυσα, βασίζεται στο να πάρεις σωστά διαστήματα για το ΘΜΤ. Οκ, εγώ έβαλα τις συναρτήσεις στο geogebra και βγήκε τσακ-μπαμ. Αλλά να κάνεις μελέτη συνάρτησης, να τις ζωγραφίσεις όλες σε κοινό σύστημα, για να δεις ποια διαστήματα δεν συμπίμπτουν... Είναι ένα ολόκληρο υποερώτημα από μόνο του.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tweetyslvstr]

Δε σας έχουν πει τίποτα;Πρέπει να πάμε φωτογραφίες για το απολυτήριο και για το καρτελάκι των Πανελληνίων.

να σε ρωτήσω κάτι τι είναι τα καρτελάκια και τι απαιτείται να πάμε γιατί πήγα σήμερα στο σχολείο και ο διευθυντής δεν μου είπε τίποτα
απάντησε σε μου σε παρακαλώ γιατί έχω αγχωθεί

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Νομάρχης]

Περισσότερο με ενδιαφέρει αν έχεις εναλλακτική μέθοδο στο Δ4.
Το όλο θέμα, έτσι όπως το έλυσα, βασίζεται στο να πάρεις σωστά διαστήματα για το ΘΜΤ. Οκ, εγώ έβαλα τις συναρτήσεις στο geogebra και βγήκε τσακ-μπαμ. Αλλά να κάνεις μελέτη συνάρτησης, να τις ζωγραφίσεις όλες σε κοινό σύστημα, για να δεις ποια διαστήματα δεν συμπίμπτουν... Είναι ένα ολόκληρο υποερώτημα από μόνο του.

Δεν πιστεύω πως χρειάζεται να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις... Στην πρώτη περίπτωση είναι 0<χ<1, οπότε το 1+χ-χ³ είναι μεγαλύτερο του 1 και το χ μεγαλύτερο του χ³, άρα παίρνω ΘΜΤ στα διαστήματα [1,1+x-x³] και [x³,x]. Είναι χ<1 και χ³<1, άρα το δεύτερο διάστημα δεν έχει κοινό σημείο με το πρώτο. Όμοια και στην περίπτωση χ>1: διαστήματα [1+x-x³,1] και [x,x³]. Είναι χ>1 και χ³>1, οπότε τα διαστήματα πάλι δεν έχουν κοινό σημείο. Στην πρώτη περίπτωση, δηλαδή, το δεύτερο διάστημα βρίσκεται αριστερά του πρώτου, ενώ στη δεύτερη περίπτωση δεξιά του, αλλά και στις δύο περιπτώσεις είναι ξένα μεταξύ τους. Κάπως έτσι θα το έγραφα εγώ, αν ήμουν υποψήφιος...

Μιλας για το κριτ.συγκρισης φανταζομαι.Πολυ καλη αυτη η λυση μπραβο σου φιλε!πραγματικα εξυπνη!

Βασικά αν σου ζητάει στο <<ξεκάρφωτο>> να βρεις όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο συνήθως πάει το μυαλό σε αυτό το κριτήριο, αν έχεις λύσει πολλές τέτοιες ασκήσεις. Αλλά στις πανελλαδικές, αν βάλουν τέτοιο ερώτημα, κατά πάσα πιθανότητα θα έχεις βρει από προηγούμενο <<βοηθητικό>> ερώτημα την ανισοτική σχέση συνάρτησης-εφαπτομένης. Έχουν δικαίωμα να το ρωτήσουν και χωρίς, απλά μετά είναι πολύ δύσκολο να το σκεφτείς αν δεν έχεις λύσει αρκετά παρόμοια θέματα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.