Γρίφοι Μαθηματικών

[Eruyomo]

Είσαι σίγουρος Μάνο ότι είναι καλώς ορισμένο το πρόβλημα;

Το πρόβλημα δεν το σκέφτηκα εγώ, μου το είπανε εκείνη τη στιγμή και πράγματι δεν είναι καλά ορισμένο, αλλα ούτε και αυτό είναι το πραγματικό πρόβλημα. Ξεχάστε το.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikosextra]

Μήπως αν βάλουμε και τα δύο ζητούμενα σε οριζόντιο άξονα; Τότε βλέπουμε ότι ατο (0,1) οι πραγματικοί καλύπτουν ενα ευθύγραμμο τμήμα, ενώ οι ακέραιοι αποτελούνται απο άπειρα διαφορετικά σημεία, τα οποία όμως αν τοποθετήσουμε το ένα δίπλα στο άλο δεν είναι ευθ. τμήμα, αλλά ευθεία. Όμως δεν υπάρχει ευθ. τμήμα μεγαλύτερο από ευθεία (προφανώς). Άρα οι ακέραιοι είνα περισσότεροι από τους πραγματικούς στο (0,1).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Λάθος είναι αυτό που λες, αλλά δε μπορώ να στο εξηγήσω με λυκειακά μαθηματικά


Οι πραγματικοί που βρίσκονται μεταξύ του (0,1) είναι υπεραριθμήσιμοι, άρα δε μπορούν να ορίζουν "ευθύγραμμο τμήμα", όπως το εννοείς..


Γενικά, οι πραγματικοί στο (0,1) είναι περισσότεροι από όλους τους ακεραίους λόγω του ότι οι ακέραιοι είναι απ' τη μία αριθμήσιμο σύνολο, ενώ οι πραγματικοί όχι... ( Το (0,1) θεωρείται ισοδύναμο του R...)



Στέλιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[eliza04]

Νομιζω οι πραγματικοι μεταξυ του 0 και του 1 γιατι ειναι απειροι, ενω οι ακεραιοι ειναι πεπερασμενοι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Anarki]

Αφού είναι πεπερασμένοι οι ακέραιοι, για πες μου ποιός είναι ο μεγαλύτερος .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Krou]

απειροι ειναι και οι ακεραιοι φυσικα! απλως ειναι και υποσυνολο των πραγματικων, αρα οι πραγματικοι ειναι περισσοτεροι απειροι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Γιώργος]

Να φωνάξω τον ipios?

(Κατά κόσμον Λ. Μαγκλάρα )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Κατά κόσμον σου ... Εγώ δε τον γνωρίζω...


Anyway... Το πρόβλημα δεν νομίζω πως είναι τόσο big deal, αφήστε που έγκειται στα θεμέλια της συνολοθεωρίας, η οποία είναι ένα από τα στολίδια των μαθηματικών!




PS: Για να σας δώσω να καταλάβετε τι συνολοθεωρία κάνουν στο ΕΜΠ, την τελευταία φορά που πήγα, ήταν ένας τύπος που έλεγε... "Έχουμε ένα καλάθι... γεμάτο μήλα, και είναι συνόλο. Έχουμε αχλάδια μετά..." Και γενικά ό,τι μλκ... κάναμε στο δημοτικό την έκανε σε φοιτητές. Έλεος!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[demerlad]

Εκανα μια σκεψη πολυ προχειρη για το ποιοι αριθμοι ειναι περισσοτεροι...Η αληθεια ειναι πωε εκαψα το μυαλο μου αλλα κατεληξα σε ενα συμπερασμα το οποιο παλυ αποριες μου αφηνει...

Λοιπον το συνολο των ακεραιων Ζ οπως ολοι γνωριζουμε ειναι γνησιο υποσυνολο του R ...

To R ειναι απειροσυνολο αλλα και οι αριθμοι μεταξυ του (0,1) ειναι και αυτοι απειροι... Ομως και το (0,1) ειναι γνησιο υποσυνολο του R ...

Aρα αφου τα αλλα δυο συνολα ειναι γνησια υποσυνολα του R(πραγματικοι αριθμοι) τοτε αυτοι δε θα ειναι οι περισσοτεροι ???

Δε ξερω... μπερδευτηκα :s

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Afey]

Ερώτηση (την είχε κάνει και καθηγητής σε διάλεξη πολυτεχνείου) :

Ποιοι είναι πιο πολλοί,
Οι ακέραιοι αριθμοί, ή οι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ 0 και 1; (αιτιολόγηση παρακαλώ)

Κανείς δεν μπορεί να ισχυριστεί ότι οι μεν είναι πιο πολλοί από τους δε. Απλά οι δεκαδικοί είναι πιο πυκνοί. Το πλήθος και των δύο είναι άπειρο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[bobiras11]

Θα βάλει κανείς την απάντηση τελικά?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Anarki]

Οι ακέραιοι είναι αριθμήσιμα άπειροι, οι πραγματικοί στο [0,1] (και σε οποιοδήποτε άλλο διάστημα) είναι μη αριθμήσιμα άπειροι. Δεν μπορείς να αντιστοιχήσεις κάθε πραγματικό στο διάστημα [0,1] με έναν ακέραιο, δεν μπορείς να τους απαριθμήσεις δηλαδή.
Γι'αυτό οι πραγματικοί λέμε οτι είναι "περισσότεροι".

Η απάντηση του καθηγητή είναι αυτή (ελαφρώς απλοποιημένη προφανώς).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

σωστο.το ερωτημα βεβαια εχει να κανει με τις διαφορες κλασεις απειρου που μπορει να διακριθουν.η ελαχιστη τετοια κλαση ειναι το διακριτο απειρο των φυσικων αριθμων.σε αυτην περιλαμβανονται οι ακεραιοι και οι ρητοι αριθμοι καθως και πολλα αλλα συνολα.η αμεσως επομενη κλαση ειναι αυτη των πραγματικων αριθμων που περιλαμβανει και τους αρρητους.

ενα προβλημα που ειχε παραμεινει αλυτο για πολλα χρονια ηταν αν υπαρχει κλαση απειρου μεγαλυτερη απο αυτη των φυσικων και μικροτερη απο αυτη των πραγματικων (υποθεση του συνεχους).τελικα αποδειχτηκε οτι στα πλαισια της συνηθους αριθμητικης το προβλημα ειναι μη αποφασισιμο (goedel 1930)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Γιώργος]

Το θέμα έφυγε από την Γ' Λυκείου για να συζητάμε ελεύθερα για μαθηματικούς γρίφους. :thanks:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ηλίας]

Μα τα μαθηματικά νομίζω ότι αυτό είναι. Εγώ κάπου-κάπου διαβάζω και για το σχολείο αλλά πιο πολύ μου αρέσει να ψάχνομαι σε κατεβατούς από βιβλία και να μαθαίνω άλλα πράγματα. Πιστεύω ΄ποτι αν κάποιος μέινει στη γνώση που προσφέρει το σχολείο έχει αποτύχει σαν άνθρωπος. Βγήκα εκτός θέματος αλλά έπρεπε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

κυκλοφορει απο τις εκδοσεις τροχαλια ενα βιβλιαρακι του Hilbert που εχει τιτλο "ΓΙΑ ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ".Αν το βρειτε παρτε το ειναι καταπληκτικο. Αντιγραφω το οπισθοφυλλο για να παρετε μια ιδεα:

" Σε αυτο το κειμενο ο Hilbert ασχολειται με το κερας της αμαλθειας των μαθηματικων,το απειρο.μετα απο μια συντομη ιστορικη εισαγωγη το προσσεγιζει μεσα απο το περατοκρατικο του προγραμμα για τα μαθηματικα εισαγοντας τον αναγνωστη σ αυτο που λεμε θεωρια αποδειξεων ή μεταμαθηματικα.αποπειραται να αποδειξει την εικασια του συνεχους αν και η αποδειξη του δεχθηκε το ισχυρο πληγμα απο τα θεωρηματα του goedel..."

α,ναι ειναι και πολυ φτηνο,5ε μονο!στη θεσσαλονικη θα το βρειτε σιγουρα στον ανικουλα (ναυαρινου) και στην αθηνα στον παπασωτηριου της οδου στουρναρα,στα εξαρχεια.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[halvas]

Ένας παρόμοιος "γρίφος" λέει: Ποιοι αριθμοί είναι περισσότεροι, οι φυσικοί ή οι (θετικοί) ζυγοί;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

τα δύο συνολα ειναι ισοπληθικα διοτι η απεικόνιαη είναι 1-1 και επι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ηλίας]

Να βάλω και εγώ ένα που θα το ξέρουν σίγουρα κάποιοι.

Είναι γωνία, όχι οξεία,
ημίοτνο έχει τον αριθμό λ+1/λ+2 και συνημίτονο έχει τον αριθμό λ/λ+2
Ποια γωνία είναι?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Kristal]

εύκολο ειναι αυτο...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.