Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Γιώργος · 16-01-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Καταρχήν η πρώτη είναι ελλειπής. Δε λέει κάν ότι η g παραγωγίζεται σε διάστημα.

Συγγνώμη που θα απογοητεύσω τον HearTEyeD, αλλά η λύση δεν παίρνει πολλά. Έχει σχέση μ' αυτό που 'πε ο Στέλιος πιο πάνω.... αλλά η άσκηση δεν είναι ελλειπής, βγαίνει!

Όποιος το βρει παίρνει καραμελίτσα.

Giannis17 · 16-01-08

:no1:Ετσι βγαινει.Την ασκηση σου δεν εχω καταφερει να την λυσω ακομα

.Μεχρι που χρειαζεται να εχεις κανει για να την λυσεις?Γιατι ειμαι στις συνεπειες του Θ.Μ.Τ τωρα.
Να και αλλη μια
Να αποδειξετε οτι $ln(xy) = lnx + lny$ για καθε $x,y\in(0,+oo)$

Γιώργος · 17-01-08

Αρχική Δημοσίευση από Giannis17:
:no1:Ετσι βγαινει.Την ασκηση σου δεν εχω καταφερει να την λυσω ακομα.Μεχρι που χρειαζεται να εχεις κανει για να την λυσεις?Γιατι ειμαι στις συνεπειες του Θ.Μ.Τ τωρα.
Να και αλλη μια
Να αποδειξετε οτι $ln(xy) = lnx + lny$ για καθε $x,yin(0,+oo)$

$ln(xy) = lnx + lny \\ e^{ln(xy)} = e^{(lnx + lny)} \\ e^{ln(xy)} = e^{lnx} \cdot e^{lny} \\ xy = x \cdot y$

νιανιανιανια

nick_source · 17-01-08

Παιδες , η G ειναι παραγωγισιμη ως συνθεση παραγωγισιμων!!! απο την εκφωνιση αφηνεται να εννοηθει οτι ι f ειναι παραγωγισιμη..οτι υπαρχει ο συντελεστης διευθυνσης δλδ!

mostel · 17-01-08

Πρόσεχε μπορεί να 'ναι παρ/σιμη σε σημείο μόνο

Γιώργος · 18-01-08

Όπως ειπώθηκε, η g είναι παραγωγίσιμη στο 0. Το θεώρημα λέει, αν θυμάμαι, ότι:

Η $h(x) = e^x - x^2$ είναι παραγωγίσιμη στο 0 ως απόγονος του μαρκησίου της Γαλλίας.
$h(0) = 1$
$f$ παραγωγίσιμη στο 1.

Άρα η $g(x) = (foh)(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Ξαναδιαβάστε το θεώρημα!!!!!

$ g(x) = f(e^x - x^2) \\ \frac{dg(x)}{dx}|_{x=0} = \frac{df(e^x - x^2) }{dx}|_{x=0}\\ g'(0) = \frac{d(e^x - x^2) }{dx}|_{x=0}f'(e^x - x^2)|_{x=0} \\ g'(0) = (e^x - 2x)|_{x=0}f'(1) \\ g'(0) = (1 - 0) f'(1) $

Και λοιπά.

Cosdel · 20-01-08

Σε οτι αφορα τη μονοτονια σε διπλου τυπου συναρτηση ισχυει αυτο που λεει ο Γιωργος.

Εξεταζουμε την παραγωγο στα ανοιχτα διαστηματα χωρις να περνουμε και το 0, αφου:

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σʼένα διάστημα Δ , τότε:
Αν f ΄(x)> 0 για κάθε x εσωτερικό του Δ , η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ(σε ολο το Δ).
Αν f ΄(x)< 0 για κάθε x εσωτερικό του Δ , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ(σε ολο το Δ).

Αρα προκυπτει στο παραδειγμα μας:

f γν. αυξουσα στο (-οο,0]
f γν. αυξουσα στο [0,+οο)

μετα επειδη οντως η f ειναι συνεχης στο 0 μπορουμε να πουμε f γν.αυξουσα στο R:no1:.
------------------------------------------------------------------------
Κατι τετοιο μπορει να ειναι πολυ σημαντικο σε θεματα συνολου τιμων και ακριβη αριθμο ριζων

.

Cosdel · 20-01-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Δείτε και μία ακόμη

Αφιερωμένη στον Γιώργο

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ στο διάστημα $D$ με $a,binmathbf{R}$ και $a<b$ και $f'(a)neq f'(b)$

Αν $f'(a)<k<f'(b)$ , να αποδειχθεί ότι υπάρχει $xiin(a,b)$ , τέτοιο ώστε $f'(xi)=k$ .

Μηπως τα a,b ανηκουν στο D, και επισης η f' ειναι συνεχης ή η f ειναι 2 φορες παραγωγισιμη στο D;;;;;

arisdim · 26-01-08

Γιατί όταν θέλουμε να δείξουμε πως η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ δύο ρίζες δείχνουμε ότι η παράγωγός της είναι γνησίως μονότονη;

vamou90 · 26-01-08

Αν έχω καταλάβει και γω καλά η μονοτονία της f' βοηθάει στο να πούμε ότι είναι ''1-1'' άρα έχει μία μόνο ρίζα και μετά στην άτοπο απαγωγή για να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο να υπάρχουν 3 ρίζες της f . Αφού αποκλείσουμε το ενδεχόμενο η f να έχει πάνω από 2 ρίζες εύκολα συμπεραίνουμε ότι αν f' έχει μία μόνο ρίζα τότε η f έχει δύο.

mostel · 26-01-08

Ακριβώς έτσι είναι

Αλλά προσοχή : το ότι είναι γνησίως μονότονη δεν μας εξασφαλίζει ότι θα 'χει σίγουρα ρίζα (για την παράγωγο μιλάω) , γι' αυτό και η παράγουσα δεν έχει σίγουρα 2 ρίζες, αλλά το πολύ.

Στέλιος

Γιώργος · 26-01-08

Παράδειγμα η $e^x$ . Γνησίως αύξουσα (αυτό είναι de facto γνωστό) αλλά δεν έχει ρίζες.

Το να δείξεις ότι μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη είναι ικανή συνθήκη για να έχει όχι παραπάνω από μία ρίζες.

Τι εννοώ. Μία συνάρτηση μπορεί να έχει μοναδική ρίζα χωρίς να είναι γνησίως μονότονη. Παράδειγμα η $f(x) = |x|$ . Μπορεί με άλλους τρόπους να δείξεις ότι δεν έχει άλλες ρίζες.

Επίσης μία συνάρτηση μπορεί να είναι γνησίως μονότονη και να μην έχει ρίζες (όπως έδειξα απάνω).

vamou90 · 27-01-08

-Να λυθει η εξισωση

Η άσκηση είναι πάρα πολύ δύσκολη και αμα δεν έχεις ξαναδεί παρόμοια είναι πολύ δύσκολο να την λύσεις γι'αυτο οποιος την εχει δει ας μην πει την λυση για να προσπαθισουν να την λυσουν μονοι τους οι υπόλοιποι

Με το μάτι βλέπω δύο προφανείς ρίζες το 0 και το 1

... απο κει και πέρα νομίζω φερνεις 7^χ απ τα αριστερα και το 3^χ απ τα δεξιά και διαιρεις με 9-7 και 5-3 αντοίστιχα τα δύο μέλη που έχουν προκύψει....Έτσι δημιουργείς ΘΜΤ θέτεις μετά συνάρτηση f(t)= t^x και βγαίνει εύκολα μετά.... Πάντως είναι πολύ δύσκολη για όποιον δεν την έχει ξαναδεί..

mostel · 27-01-08

Αρχική Δημοσίευση από Cosdel:
Μηπως τα a,b ανηκουν στο D, και επισης η f' ειναι συνεχης ή η f ειναι 2 φορες παραγωγισιμη στο D;;;;;

Τα a,b ανήκουν στο D, όντως. Απροσεξία μου !

Κατά τα άλλα όχι... Δε μπορείς να εφαρμόσεις Bolzano, άρα πρέπει να τη βγάλεις αλλιώς

M.d · 31-01-08

μπορεί κανείς να με βοηθησει λύνοντας τις ασκησεις??? :'(

Marw90 · 31-01-08

Σας παρακαλω βοηθηστε με με τις ασκησεις..... :'(

vamou90 · 31-01-08

Στην πρώτη άσκηση βάλε όπου χ το 1.....μετά με κριτήριο παρεμβολής βρες το πρώτο όριο...έιναι συνεχής άρα υπάρχει στο R το δεύτερο όριο...και προσπάθησε να το μετασχηματίσεις στη σχέση μέσα....
Στη δεύτερη θέσε μία συνάρτηση g(x)=f(x)/x και προσπάθησε να διαιρέσεις κατάλληλα την σχέση που σου δίνει
Η τελευταία με δυσκολεύει και μένα λίγο αλλά δεν έχω και πολύ χρόνο για να την δω,.....σίγουρα θα σε βοηθήσει κάποιος στα επόμενα...

vera_mak · 31-01-08

ΑΣΚΗΣΗ 5
το λοιπον το limg(x)/x οταν το χ τεινει στο μηδεν θα ναι: ξερουμε πως το οριο της f υπαρχει.το ημχ/χ θα φυγει μιας και κανει 1 (βασικη τριγωνομετρικη εφαρμογη). αρα θα μας μεινει το limfof(x) x->0 να υπολογισουμε. (μπορουμε να χωρισουμε το κλασμα γιατι τα ορια υπαρχουν). (δεν ξέρω ομως κατα ποσο στεκουν αυτα που λεω)

mostel · 31-01-08

Είσαι λάθος σε αυτά που λες. Έχεις σύνθεση συναρτήσεων , οπότε πρώτα πρέπει να βρεις τη σύνθετη συνάρτηση.

vera_mak · 31-01-08

το οριο της fof(x) υπαρχει? αν υπαρχει δεν μπορουμε να εφαρμοσουμε ιδιότητες οριων?(τωρα με μπερδρψες.. :'(

)

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος