Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Αγγελος Κοκ]

Ναι τα βοηθήματα έχουν δύσκολες ασκήσεις, οι τελευταίες σε κάθε κεφάλαιο που ούτε καν τις κοιτάω...
Ναι έχω λύσει και λύνω ακόμα, όχι όλα σωστά βέβαια, θέματα πανελληνίων και επαναληπτικών(εσπερινών και ομογενών είναι πανεύκολα), αλλά μόνο και μόνο να δεις τα στατιστικά για το πόσο γράφει ο καθένας στο τέλος, θα δεις οτι το 50% και σε μερικές περιπτώσεις και πάνω απο 50% είναι κάτω απο την βάση! Αυτό δεν μας δείχνει κάτι; Μην μου πεις οτι όλα αυτά τα παιδιά, δεν προετοιμάστηκαν καλά...
Αλλά είναι μερικά θέματα που θέλει κάποιες γνώσεις παραπάνω για να τις λύσεις...

Απλα πρεπει να καταλαβεις οτι ειναι εξετασεις και να εισαι ψυχραιμος αλλιως παθαινεις μπλακ αουτ...
Περυσι τα θεματα ηταν σχετικα ευκολα κι ομως πολλοι πατωσαν...

πάστα ντελοπιτάλ

πιασαρικο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nPb]

Βρήκα και άλλη άσκηση η οποία πηγαίνει πάλι με τον ίδιο τρόπο:
f(3-2x)+f(x)=5x^2-12x+9 επίσης παραγωγίσιμη στο 1 με π.ο. και σ.τ. το R και ζητάει το f'(1).... τρως χρόνο αλλά...


Για το πρώτο, δεν ξέρω.... Δεν τα βλέπω καλά τα πράγματα
Για το δεύτερο, έχεις δίκιο... Μπορεί να χάνω ασκήσεις επειδή αρχίζω κατευθείαν να λύνω, έχοντας στο μυαλό μου τα μισά δεδομένα.


Και αν δεν ξέρεις ή δεν είσαι σίγουρος για το ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσεις, καλύτερα να πας απο τον σίγουρο δρόμο, ε;

To πρώτο αφορά μια θεωρία όπου θα αντιμετωπίζεις πολλές μαθηματικές έννοιες με μια ενιαία όψη και απλά θα έχουν διαφορετικό συμβολισμό. Δεν είναι της παρούσης. Επίσης, πρόσεχε στις πανελλήνιες να είσαι κοντά στο φροντιστηριακό στυλ γραφής διότι είναι λίγο παράξενη η διόρθωση. Δεν αποδέχονται το μαθηματικώς ορθό αν δεν είναι φροντιστηριακά διδαγμένο. Έχουμε τέτοια φαινόμενα εκτός λογικής αλλά μέχρι να τελειώσεις το Λύκειο, ο γάιδαρος πετάει. Είναι μέγα έγκλημα να ξεκινάς να λύνεις άσκηση αν δεν έχεις εμπεδώσει τη θεωρία και αν δεν έχεις διαβάσει προσεχτικά τα δεδομένα. Ένας καλός τρόπος να τεστάρεις αν ξέρεις τη θεωρία, είναι να κάνεις διδασκαλία στον εαυτό σου.

Δοκίμασε το εξής παράδειγμα: Δίδαξε στον εαυτό σου τις 2 παραγράφους από το κεφάλαιο των παραγώγων. Γράφε παράλληλα τι καταλαβαίνεις. Αν κάτι δεν καταλάβεις, αυτό σημαίνει ότι απλά δεν κατανόησες το συγκεκριμένο κομμάτι θεωρίας και απλά το προσπέρασες. Τα σημεία στίξης και οι λέξεις σε μια εκφώνηση παίζουν το ρόλο τους. Ποτέ δεν υπάρχουν λέξεις απλά για να υπάρχουν. Οι λέξεις είναι ζυγισμένες και παίζουν το ρόλο τους στη λογική της άσκησης. Οπότε θα τα διαβάζεις όλα λέξη προς λέξη και θα σχεδιάζεις πρόχειρα για σένα, όπου δεν καταλαβαίνεις (να μια πρόχειρη γραφική εικόνα του αποτελέσματος π.χ. τι σημαίνει η f παραγωγίσιμη γραφικά σε σημείο).

Δεν υπάρχει σίγουρος ή λάθος δρόμος στα Μαθηματικά. Υπάρχει σωστό ή λάθος και λόγω πανελληνίων: έχουμε και τρίτη επιλογή, το λάθος για τους διορθωτές. Η κάθε άσκηση θέλει τον τρόπο σκέψη της και φυσικά πάντα κάποια μέθοδος ταιριάζει καλύτερα και σε θέμα χρόνου. Στα Μαθηματικά μας αρέσει να κάνουμε τη δουλειά μας γρήγορα. Κάποιες μέθοδοι μπορεί να λειτουργούν αλλά μπορεί να σπαταλήσεις πολύ χρόνο για το ίδιο αποτέλεσμα και καμιά φορά, να υπάρξουν και κάποιες ενδιάμεσες επιπλοκές π.χ. να χρειάζεται να θυμάσαι άλλα θεωρήματα για να τα χρησιμοποιείς ως αιτιολογήσεις σε κάθε βήμα,..κλπ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ria...]

Απλα πρεπει να καταλαβεις οτι ειναι εξετασεις και να εισαι ψυχραιμος αλλιως παθαινεις μπλακ αουτ...
Περυσι τα θεματα ηταν σχετικα ευκολα κι ομως πολλοι πατωσαν...

Αυτό ισχύει που λες οτι πρέπει να υπάρχει ψυχραιμία..... Ήταν σχετικά εύκολα πέρσι, ίσως επειδή ήταν πρώτη χρονιά με το νέο σύστημα και αν έχω δίκιο, φέτος θα μπουν πιο δύσκολα.

Επίσης, πρόσεχε στις πανελλήνιες να είσαι κοντά στο φροντιστηριακό στυλ γραφής διότι είναι λίγο παράξενη η διόρθωση. Δεν αποδέχονται το μαθηματικώς ορθό αν δεν είναι φροντιστηριακά διδαγμένο.
.......
Δεν υπάρχει σίγουρος ή λάθος δρόμος στα Μαθηματικά. Υπάρχει σωστό ή λάθος και λόγω πανελληνίων: έχουμε και τρίτη επιλογή, το λάθος για τους διορθωτές.

Και όσοι δεν πάμε φροντιστήριο, πως θα ξέρουμε πως είναι το φροντιστηριακά διδαγμένο; Αν τα γράψω όλα σωστά και κατανοητά, μπορεί να μου κόψουν μονάδες επειδή δεν θα τους αρέσει το στυλ μου;;;

Είναι μέγα έγκλημα να ξεκινάς να λύνεις άσκηση αν δεν έχεις εμπεδώσει τη θεωρία και αν δεν έχεις διαβάσει προσεχτικά τα δεδομένα. Ένας καλός τρόπος να τεστάρεις αν ξέρεις τη θεωρία, είναι να κάνεις διδασκαλία στον εαυτό σου.

Σωστό αυτό και βοηθάει...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nPb]

Και όσοι δεν πάμε φροντιστήριο, πως θα ξέρουμε πως είναι το φροντιστηριακά διδαγμένο; Αν τα γράψω όλα σωστά και κατανοητά, μπορεί να μου κόψουν μονάδες επειδή δεν θα τους αρέσει το στυλ μου;;;
.

Ψάξε στο φόρουμ, ή ζήτα βοήθεια από παιδιά εδώ που πάνε φροντιστήριο να σε βοηθήσουν. Υπάρχουν και στο διαδίκτυο κάποιες ασκήσεις, κομμάτι θεωρίας και μπορείς να πάρεις μια ιδέα. Δεν ήξερα ότι δεν πηγαίνεις φροντιστήριο. Δεν αναφέρομαι στο προσωπικό στυλ απλά είναι ο τρόπος της μαθηματικής γραφής. Είναι κάτι σαν τη νομοθεσία. Το για κάθε ή το υπάρχει ή το συνεπάγεται δεν μπαίνουν έτσι, επειδή μας αρέσουν. Θα σου πει και ο Άγγελος. Μιλάω από άλλη θέση και δεν ξέρω αν γίνομαι κατανοητός.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Αυτό ισχύει που λες οτι πρέπει να υπάρχει ψυχραιμία..... Ήταν σχετικά εύκολα πέρσι, ίσως επειδή ήταν πρώτη χρονιά με το νέο σύστημα και αν έχω δίκιο, φέτος θα μπουν πιο δύσκολα.


Και όσοι δεν πάμε φροντιστήριο, πως θα ξέρουμε πως είναι το φροντιστηριακά διδαγμένο; Αν τα γράψω όλα σωστά και κατανοητά, μπορεί να μου κόψουν μονάδες επειδή δεν θα τους αρέσει το στυλ μου;;;


Σωστό αυτό και βοηθάει...

Αυτο που λεει ο npb ισχυει βεβαια απτην αλλη (δεν αναφερομαι μονο στα μαθηματικα) καποιοι καθηγητες δεν θελουν με τιποτα να βλεπουν πραγματα φροντιστηριου.Αποψη μου ειναι να γραφεις οπως τα γραφει και το σχολικο (μερικες ασκησεις δες πως τις λυνει και το λυσαρι) γιατι ετσι δεν υπαρχει περιπτωση να σου κοψει ο αλλος.
Για ισοδυναμιες και συνεπαγωγες ειναι κατι που ισως δεν θα καταλαβουμε ποτε απλα στην εξισωση θα βαζεις παντα ισοδυναμιες (εκτος απο οταν παραγωγιζεις η ολοκληρωνεις) και στις ανισοισοτητες συνεπαγωγες(ναι εχουν κοψει γιαυτο,ειναι αναλογως τον διορθωτη που θα πετυχεις).Βεβαια να λεμε και την αληθεια αν ειναι δυσκολα τα θεματα αυτο ειναι το τελευταιο που θα κοιταξουν και να το κοιταξουν σιγα ποσο θα σου κοψουν 1/100?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PanosGR]

Αυτο που λεει ο npb ισχυει βεβαια απτην αλλη (δεν αναφερομαι μονο στα μαθηματικα) καποιοι καθηγητες δεν θελουν με τιποτα να βλεπουν πραγματα φροντιστηριου.Αποψη μου ειναι να γραφεις οπως τα γραφει και το σχολικο (μερικες ασκησεις δες πως τις λυνει και το λυσαρι) γιατι ετσι δεν υπαρχει περιπτωση να σου κοψει ο αλλος.
Για ισοδυναμιες και συνεπαγωγες ειναι κατι που ισως δεν θα καταλαβουμε ποτε απλα στην εξισωση θα βαζεις παντα ισοδυναμιες (εκτος απο οταν παραγωγιζεις η ολοκληρωνεις) και στις ανισοισοτητες συνεπαγωγες(ναι εχουν κοψει γιαυτο,ειναι αναλογως τον διορθωτη που θα πετυχεις).Βεβαια να λεμε και την αληθεια αν ειναι δυσκολα τα θεματα αυτο ειναι το τελευταιο που θα κοιταξουν και να το κοιταξουν σιγα ποσο θα σου κοψουν 1/100?

Επίσης, δεν βάζουμε ισοδυναμίες σε μια εξίσωση όταν limάρουμε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ria...]

Δεν αναφέρομαι στο προσωπικό στυλ απλά είναι ο τρόπος της μαθηματικής γραφής. Είναι κάτι σαν τη νομοθεσία. Το για κάθε ή το υπάρχει ή το συνεπάγεται δεν μπαίνουν έτσι, επειδή μας αρέσουν. Θα σου πει και ο Άγγελος. Μιλάω από άλλη θέση και δεν ξέρω αν γίνομαι κατανοητός.

Aν αναφέρεσαι μόνο σε αυτά, για το πότε θα πρέπει να βάλουμε συνεπαγωγή ή ισοδυναμία κλπ. πιστεύω οτι τα έχω ξεκαθαρισει στο μυαλό μου.... Επίσης, τα θέματα πανελληνίων που λύνω, οι απαντήσεις είναι απο φροντιστήρια και λίγο-πολύ βλέπω πως απαντούν οι φροντιστές...

Για ισοδυναμιες και συνεπαγωγες ειναι κατι που ισως δεν θα καταλαβουμε ποτε απλα στην εξισωση θα βαζεις παντα ισοδυναμιες (εκτος απο οταν παραγωγιζεις η ολοκληρωνεις) και στις ανισοισοτητες συνεπαγωγες(ναι εχουν κοψει γιαυτο,ειναι αναλογως τον διορθωτη που θα πετυχεις).

Τότε, τα χρόνια που έδινα και εγω, θυμάμαι κάτι που μας είχε πει η μια μαθηματικός: οτι συνεπαγωγή βάζουμε όταν δεν μπορούμε να ''γυρίσουμε'' πίσω, ενώ ισοδυναμία όταν μπορούμε να ''γυρίσουμε''... Δεν ξέρω αν γίνομαι κατανοητή

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Aν αναφέρεσαι μόνο σε αυτά, για το πότε θα πρέπει να βάλουμε συνεπαγωγή ή ισοδυναμία κλπ. πιστεύω οτι τα έχω ξεκαθαρισει στο μυαλό μου.... Επίσης, τα θέματα πανελληνίων που λύνω, οι απαντήσεις είναι απο φροντιστήρια και λίγο-πολύ βλέπω πως απαντούν οι φροντιστές...


Τότε, τα χρόνια που έδινα και εγω, θυμάμαι κάτι που μας είχε πει η μια μαθηματικός: οτι συνεπαγωγή βάζουμε όταν δεν μπορούμε να ''γυρίσουμε'' πίσω, ενώ ισοδυναμία όταν μπορούμε να ''γυρίσουμε''... Δεν ξέρω αν γίνομαι κατανοητή

Μπακαλικα ναι αυτο ειναι.Στην πραγματικοτητα συνεπαγωγη=Μια προταση της μορφης <<Αν (p), τοτε (q)>>, οπου (p) ειναι η υποθεση και (q) το συμπερασμα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giovanni_]

Αν παραγωγισεις μια συναρτηση που σου λεει οτι ειναι παραγωγισιμη σε ενα σημειο Xo και μετα κανεις αντικατασταση το σημειο Xo στην συναρτηση η στην συναρτησιακη σχεση ο διορθωτης δικαιουται να σου κοψει ολο το ερωτημα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Αν παραγωγισεις μια συναρτηση που σου λεει οτι ειναι παραγωγισιμη σε ενα σημειο Xo και μετα κανεις αντικατασταση το σημειο Xo στην συναρτηση η στην συναρτησιακη σχεση ο διορθωτης δικαιουται να σου κοψει ολο το ερωτημα.

Αυτο ειχα ακουσει κι εγω
Θυμαμαι οτι το ειχαν κανει σε ενα θεμα που ζητουσε εξισωση εφαπτομενης (νομιζω επαναληπτικες) και εφτιαχνες μια συναρτηση h(x)=f(x)/g(x) ηξερες οτι η f ηταν παραγωγισιμη ομως για την g δεν θυμαμαι αν ηξερες.Οσοι κανανε ντελοπιταλ για να βρουν πχ το h'(1) τους το κοψανε ολο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Just1n]

Στη συνάρτηση ολοκληρωμα το ( t) που είναι η μεταβλητή του ολοκληρωματος είναι πάντα μικρότερο ή ίσο με το ( χ) που είναι η μεταβλητή της συνάρτησης ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Στη συνάρτηση ολοκληρωμα το ( t) που είναι η μεταβλητή του ολοκληρωματος είναι πάντα μικρότερο ή ίσο με το ( χ) που είναι η μεταβλητή της συνάρτησης ?

Δεν ειμαι σιγουρος αλλα αυτα ουτως η αλλως ψιλο εκτος δεν ειναι;

η συναρτηση f(t)=ριζα(t^2-1) εχει ΠΟ το (-00,1]υ[1,+00) ομως το χε[1,+00).Δηλαδη με λιγα λογια μπορει το t=3 και το x=2 και το αντιστροφο.
Ελπιζω να βοηθησα εστω και λιγο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nPb]

Τότε, τα χρόνια που έδινα και εγω, θυμάμαι κάτι που μας είχε πει η μια μαθηματικός: οτι συνεπαγωγή βάζουμε όταν δεν μπορούμε να ''γυρίσουμε'' πίσω, ενώ ισοδυναμία όταν μπορούμε να ''γυρίσουμε''... Δεν ξέρω αν γίνομαι κατανοητή

Απλό παράδειγμα δισυνεπαγωγής:



Γυρίζουμε ανάποδα; Δοκίμασε από την τιμή x=-1 να επιστρέψεις στην αρχική γραμμική εξίσωση. Σ' αυτό το παράδειγμα, γίνεται μια καλή επανάληψη των ιδιοτήτων που ορίζουν μια μαθηματική δομή (ο δακτύλιος* για το Πανεπιστήμιο) με πράξη την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Η δομή αυτή συγκεντρώνει και τις κινήσεις στο χώρο (από φυσική σκοπιά): ομοθεσία (αυξομείωση - dilation, 2x=-2) και μεταφορά (2x -> 2x+5). Ο νόμος του ουδετέρου και ο προσεταιρισμός απλά υποβοηθούν τις πράξεις.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giovanni_]

Αυτο ειχα ακουσει κι εγω
Θυμαμαι οτι το ειχαν κανει σε ενα θεμα που ζητουσε εξισωση εφαπτομενης (νομιζω επαναληπτικες) και εφτιαχνες μια συναρτηση h(x)=f(x)/g(x) ηξερες οτι η f ηταν παραγωγισιμη ομως για την g δεν θυμαμαι αν ηξερες.Οσοι κανανε ντελοπιταλ για να βρουν πχ το h'(1) τους το κοψανε ολο

Ξερω για ποιο θεμα λες.Ειναι επαναληπτικες 2003 θεμα 4ο τελευταιο ερωτημα βεβαια το προβλημα δεν ειναι οτι η συναρτηση δεν ηταν παραγωγισιμη απλα αμα εκανες ντελοπιταλ και αντικαθιστουσες οπου χ το χο του οριου τοτε ειχες κανεις λαθος γιατι δεν σου λεει πουθενα οτι η παραγωγος ειναι συνεχης στο 1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ria...]

Απλό παράδειγμα δισυνεπαγωγής:



Γυρίζουμε ανάποδα; Δοκίμασε από την τιμή x=-1 να επιστρέψεις στην αρχική γραμμική εξίσωση. Σ' αυτό το παράδειγμα, γίνεται μια καλή επανάληψη των ιδιοτήτων που ορίζουν μια μαθηματική δομή (ο δακτύλιος* για το Πανεπιστήμιο) με πράξη την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Η δομή αυτή συγκεντρώνει και τις κινήσεις στο χώρο (από φυσική σκοπιά): ομοθεσία (αυξομείωση - dilation, 2x=-2) και μεταφορά (2x -> 2x+5). Ο νόμος του ουδετέρου και ο προσεταιρισμός απλά υποβοηθούν τις πράξεις.

Όχι δεν μπορείς απο το χ=-1 και με τις κατάλληλες πράξεις να βρεις την αρχική συνάρτηση.. Γιατί το θυμόμουν έτσι;;
Και πότε χρησιμοποιείς ισοδυναμία και πότε συνεπαγωγή, τελικά;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Ξερω για ποιο θεμα λες.Ειναι επαναληπτικες 2003 θεμα 4ο τελευταιο ερωτημα βεβαια το προβλημα δεν ειναι οτι η συναρτηση δεν ηταν παραγωγισιμη απλα αμα εκανες ντελοπιταλ και αντικαθιστουσες οπου χ το χο του οριου τοτε ειχες κανεις λαθος γιατι δεν σου λεει πουθενα οτι η παραγωγος ειναι συνεχης στο 1

Δεν θυμαμαι αλλα λογικα αυτο θα ειναι

Όχι δεν μπορείς απο το χ=-1 και με τις κατάλληλες πράξεις να βρεις την αρχική συνάρτηση.. Γιατί το θυμόμουν έτσι;;
Και πότε χρησιμοποιείς ισοδυναμία και πότε συνεπαγωγή, τελικά;

Βασικα μπορεις πολλαπλασιαζεις με 2 και προσθετεις το 5.Οποτε με λιγα λογια κανεις την αντιστροφη διαδικασια

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giovanni_]

Δεν χρησιμοποιεις ισοδυναμια οταν πηγαινεις απο ισοτητα συναρτησεων σε ισοτητα με τα ορια με τις παραγωγους η με τα ολοκληρωματα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ria...]

Δεν χρησιμοποιεις ισοδυναμια οταν πηγαινεις απο ισοτητα συναρτησεων σε ισοτητα με τα ορια με τις παραγωγους η με τα ολοκληρωματα.

Αν βάζουμε παντού συνεπαγωγή, για σιγουριά, είναι λάθος;;;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Αν βάζουμε παντού συνεπαγωγή, για σιγουριά, είναι λάθος;;;

Λαθος δεν ειναι...Το πολυ πολυ να σου κοψει ο 1ας απτους 2 βαθμολογητες αν ειναι πολυ κολλημενος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ria...]

Λαθος δεν ειναι...Το πολυ πολυ να σου κοψει ο 1ας απτους 2 βαθμολογητες αν ειναι πολυ κολλημενος

Αχ γλέντια στα μαθηματικά

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.