Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Afey · 19-10-08

Ααααααχ, τα βααααααααασανάααααααααααααααα

mostel · 19-10-08

Ωραία άσκηση για λύκειο

$\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin(1+\cos(x))}{(x-\pi)^2}$

$x-\pi =u$

$\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sin(1+\cos(u+\pi))}{u^2}=$
$\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sin(1-\cos u)}{u^2}$

Άρα:

$\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sin(1-\cos u)\cdot (1-\cos u)}{(1-\cos u)\cdot u^2}$

Όμως $\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sin(1-\cos u)}{1-\cos u} = 1$

(Μπορούμε να το δείξουμε εύκολα αν θέσουμε $1-\cos u = y$ , κάνουμε αλλαγή μεταβλητής στο όριο κ.λπ.)

Άρα, μας μένει να υπολογίσουμε το

$\lim_{u\rightarrow 0}\frac{1-\cos u}{u^2}$

Όμως από τριγωνομετρία έχουμε:

$\cos u = 1 - 2\sin^2\frac{u}{2}$

Έτσι:

$\lim_{u\rightarrow 0}\frac{2\sin^2\frac{u}{2} }{u^2}$

$\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\left(\sqrt2\sin\frac{u}{2}\right)^2}{u^2}$

$\lim_{u\rightarrow 0}\left(\frac{\frac{\sqrt2}{2}\sin\frac{u}{2}}{u \cdot 2^{-1}}\right)^2=\ldots =\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$

Άρα το όριο είναι ίσο με $1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ .

Στέλιος

djimmakos · 19-10-08

Nα ρωτήσω κάτι άσχετο; Το cos είναι το ημίτονο, το συνημίτονο ή η εφαπτομένη;:xixi:

Πρώτη φορά σε άσκηση Γ' λυκείου κατάλαβα τις πράξεις:xixi:

Από τα άλλα δεν κατάλαβα τίποτα, όχι ότι θα έπρεπε

mostel · 19-10-08

cos = συνημίτονο

sin = ημίτονο

tan = εφαπτομένη

djimmakos · 19-10-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
cos = συνημίτονο

sin = ημίτονο

tan = εφαπτομένη

:thanks::thanks:

gossipgirl · 19-10-08

μπορει καποιος να με βοηθησει σ αυτη την ασκ.εχω φτασει καπου αλλα απο κει και μετα δεν ξερω τι να κανω...

mostel · 19-10-08

Ο τύπος είναι: $f(x)=\frac{1}{2x}$

Πρέπει δηλαδή $x\neq 0$ .

Για $x=0$ , βλέπουμε πως το όριο δεν ορίζεται, άρα και δεν είναι συνεχής.

m3Lt3D · 19-10-08

γιατι για χ=0 δεν οριζεται το οριο? δεν κανει +απειρο?(+απειρο*1)

mostel · 19-10-08

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
γιατι για χ=0 δεν οριζεται το οριο? δεν κανει +απειρο?(+απειρο*1)

Βασικά παίζει να 'χεις δίκαιο, γιατί τώρα βλέπω ότι ο ν είναι φυσικός. Ε, θέμα πράξεων είναι, δεν κάθισα να τις κάνω αναλυτικά. Με το μάτι το έκανα, αλλά πρέπει να συμπεριέλαβα και την περίπτωση για 1/ν = υ, με το υ να τείνει στο 0 απ' τα αριστερά.

gossipgirl · 19-10-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Ο τύπος είναι: $f(x)=frac{1}{2x}$

Πρέπει δηλαδή $xneq 0$ .

Για $x=0$ , βλέπουμε πως το όριο δεν ορίζεται, άρα και δεν είναι συνεχής.

αυτο εκανα κ γω...τελοςπαντων αν μπορει κανεις να γραψει πιο αναλυτικη απαντηση...αλλιως δεν πειραζει....Thanks παντως!

kvgreco · 20-10-08

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
γιατι για χ=0 δεν οριζεται το οριο? δεν κανει +απειρο?(+απειρο*1)

Όριο ακολουθίας μπορεί να ορίζεται αλλά συνάρτηση όπως απαιτεί η άσκηση, δεν ορίζεται έτσι!
Οπότε ο ..ακαδημαϊκός πολίτης mostel έχει δίκιο αρχικά καί να μην προβληματίζεται αν "παίζει νάναι κι έτσι γιατί δεν παίζει"
Έτσι μόνο τον τελικό τύπο 1/2x πρέπει να μελετήσουμε καί βέβαια δεν υπάρχει όριο στο 0 τότε, αφού τα πλευρικά διαφέρουν.Γιά συνέχεια δε στο 0 ούτε λόγος να γίνεται.

riemann80 · 20-10-08

το πεδιο ορισμου της συναρτησης ειναι το $A=\mathbb{R} -\{-\frac{1}{2n}|n=1,2,3...\}$

δεν εχουμε δικαιωμα να απλοποιησουμε τον τυπο της συναρτησης προτου βρουμε το πεδιο ορισμου της.

π.χ. η συναρτηση $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ δεν εχει πεδιο ορισμου το $\mathbb{R}$ αλλα το $\mathbb{R}-\{1\}$ .

βεβαιως μια συναρτηση μπορει να επεκταθει συνεχως σε ενα συνολο ευρυτερο απο το πεδιο ορισμου της και μαλιστα με μοναδικο τροπο,κατι που επεται απο τη μοναδικοτητα του οριου.

kvgreco · 20-10-08

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
το πεδιο ορισμου της συναρτησης ειναι το $A=mathbb{R} -{-frac{1}{2n}|n=1,2,3...}$

δεν εχουμε δικαιωμα να απλοποιησουμε τον τυπο της συναρτησης προτου βρουμε το πεδιο ορισμου της.

π.χ. η συναρτηση $f(x)=frac{x^2-1}{x-1}$ δεν εχει πεδιο ορισμου το $mathbb{R}$ αλλα το $mathbb{R}-{1}$ .

βεβαιως μια συναρτηση μπορει να επεκταθει συνεχως σε ενα συνολο ευρυτερο απο το πεδιο ορισμου της και μαλιστα με μοναδικο τροπο,κατι που επεται απο τη μοναδικοτητα του οριου.

Ναι αλλά το πεδίο ορισμού δεν πρέπει να περιέχει τον χ=0 όμως εσείς τον συμπεριλαμβάνετε. :hmm:

riemann80 · 20-10-08

$|f(x)|\leq \frac{n^2}{|2nx+1|} \forall x \in A$

συμφωνεις?

m3Lt3D · 20-10-08

η f οριζεται οταν και μονο οταν οριζεται το οριο.Το οριο οριζεται για καθε χ στο R.
οποτε Df=R.

πειτε μου αν κανω λαθος.

kvgreco · 20-10-08

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
η f οριζεται οταν και μονο οταν οριζεται το οριο.Το οριο οριζεται για καθε χ στο R.
οποτε Df=R.

πειτε μου αν κανω λαθος.

Αν βάλεις χ=0 ποιά συνάρτηση ορίζεται? Δεν ορίζεται συνάρτηση γιατί το όριο είναι το +άπειρο.

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
$|f(x)|leq frac{n^2}{|2nx+1|} forall x in A$

συμφωνεις?

Πείτε μας κ. καθηγητά τελικά ποιός είναι ο τύπος της συνάρτησης πού ζητάει η άσκηση καί ποιά η τιμή f(0) αφού μας λέτε ότι ορίζεται καί στο 0.
Την ανισοτική σχέση πού λέτε πιό πάνω την καταλαβαίνω αλλά δεν βλέπω πού μας φαίνεται χρήσιμη.
Λύστε μας πλήρως την άσκηση γιατί έχουμε μπερδευτεί.

Εμένα με απασχολεί η προτεραιότητα των διαδικασιών.Δηλαδή αν το δω σαν ακολουθία(πού είναι το κλάσμα τού οποίου ζητάμε το όριο ώστε να πάρουμε κάποια συνάρτηση) τότε ν διαφορετικό τού -1/2x.
Αν πάρω όμως τον περιορισμό της παραμέτρου x τότε x διαφορετικό τού -1/2ν ! Θα μού πείτε ότι πρόκειται γιά την ίδια σχέση,.Ναί αλλά η σειρά των συλλογισμών μετράει.
Τι θα πρέπει να κάνω πρώτα?

m3Lt3D · 20-10-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Αν βάλεις χ=0 ποιά συνάρτηση ορίζεται? Δεν ορίζεται συνάρτηση γιατί το όριο είναι το +άπειρο.

υπαρχουν πολλες ασκησεις με συνεχεις συναρτησεις που τελικα καταληγουν σε δικλαδες καθως το 0(ή οποιαδηποτε αλλη) δεν βρισκεται στο Π.Ο του πρωτου τυπου της συναρτησης γιαυτο λες: για χ=0, f(x)=κατι(αυτο το κατι το βρισκεις απο τη συνεχεια.)

οποτε ειναι πιθανο η f στην περιπτωση μας να ειναι δικλαδη. ΑΥΤΟ εννοουσα.

Ναυσικά · 20-10-08

παρακολουθω μαθηματικη σκεψη α'λυκειου και μας εβαλε ενα προβλημα για το σπιτι του στυλ"αν θελετε ν βαρατε το κεφαλι σας στον τοιχο υοαρχουν και τετοια προβληματα..."ειναι το εξης:Μπορούμε να παραστήσουμε τον αριθμό 2002 ως αθροισμαενος τριψηφιου αριθμου και του κυβου του αθροισματος των ψηφιων του αριθμου αυτου?σκέφτηκα ότι αυτό είναι:2002=αβγ+(α+β+γ)^3, όπου αβγ οχι γινομενο αλλα ο3ψηφιος αριθμος.επισης σκεφτηκα οτι ισως το αβγ γινεται 100α+10β+γ επειδη α οι 100δες β οι 10αδς γ οι μοναδες...δεν ξερω ομως παρακατω με πραξεις δεν παει μαλλον και αναπτυγμα τριτης δν μου φαινεται πλ σωστο....γιαυτο μηπως θ μπορουσατε να βοηθησετε κ να μ πειτε αν ειμαι σωστη, προτασεις για συνεχεια κτλ?σας ειμαι αυγνωμων γτ θελω να κτλβ τη σκεψη του προβληματος.θα το ξαναπροσπαθησω θα δω κι εδω κι ελπιζω να τ βγαλω....γτ σημερα δν ηθελα ν σηκωσω τ χερι μ φοβομουν κατι και 2 παιδια π ελυσαν κτ ασκησεις ελεγα τελειος και τετοια κ εχω τν εντυπωση οτι με εχει ψιλουποτιμησει επειδη και καλα περσι εκανα παρα πλ λαθη απο απροσεξια του στυλ 1*1=11νταξει παρατραβηγμενο αλλα σκψη εχω εστω λιγη αλλα εχω κ επειδη μαρεσουν τα μαθηματικα γιαυτο οηθειστε παρακαλω εσεις οι μεγαλυτεροι.....

manos66 · 20-10-08

Μάλλον πρέπει
$(\alpha \beta \gamma) + (\alpha + \beta + \gamma)^3 = 2001$

Ο αριθμός (αβγ) είναι μεταξύ 100 και 999.
Άρα
$1002\leq (\alpha + \beta + \gamma)^3 \leq 1901\\...10^3=1000, 11^3=1331,12^3=1728,13^3=2197...$
άρα α+β+γ= 11 ή 12

Αν α+β+γ=11, τότε $2001-11^3=671$
Όμως α+β+γ=6+7+1=14 άτοπο

Αν α+β+γ=12, τότε $2001-12^3=273$
και α+β+γ=2+7+3=12
Άρα α=2, β=7 και γ=3

Ναυσικά · 20-10-08

γιατι ομως ναναι=2001 και οχι 2002?
και η ανισοση απο που προκυπτει ακριβως?(οι αριθμοι της εννος οτι πρεπει ναναι κατι στον κυβο το κτλβ ομως εγω ειχα βαλει 100 αντι για 1000 και το 2ο το 1901 τι κανεις αφαιρεις 100?και αν ναι γιατι?
υ.γ.αμαν αυτη η απαγωγη στο ατοπο στη γεωμετρια ειδικα στις αποδειξεις την εχω ξεσκισει....

ουπς ακυρο το πρωτο ειναι 100*10*1 ετσι?νομιζς δλδ...για το 1901 ισχυει η απορια οπως και για το 2001....

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος