Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

antwwwnis · 16-05-12

Γραψε την γιατί την έψαχνα χθες!

Johnny15 · 16-05-12

Βρίσκεις την αντίστροφη, και μετά? :hmm:

Mr.Blonde · 16-05-12

Εστω τυχαιο χο που ανηκει στο R.
Εχουμε
$f'(xo)=\lim_{x\rightarrow xo}\frac{f(x)-f(xo)}{x-xo}$
Θετω f(x)=y αρα οταν το χ τεινει στο χο το φ(χ) τεινει στο φ(χο) αφου η φ ειναι 1-1.Επομενως το y τεινει στο yo.
$\lim_{y\rightarrow yo}\frac{y-yo}{{f}^{-1}(y)-{f}^{-1}(yo)}$ .Το οριο αυτο υπαρχει αφου η αντιστροφη ειναι παρ/μη.Αρα η φ ειναι παρ/μη στο τυχαιο χο οποτε και στο R.

drosos · 17-05-12

Με αυτον τον τροπο ειχα βρει ενα οριο της f γνωριζοντας την αντιστροφη! Αλλα απο οτι βλεπω και εχει και και αλλη χρησιμοτητα! Ωραιος!

qwerty111 · 17-05-12

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Εστω τυχαιο χο που ανηκει στο R.
Εχουμε
$f'(xo)=\lim_{x\rightarrow xo}\frac{f(x)-f(xo)}{x-xo}$
Θετω f(x)=y αρα οταν το χ τεινει στο χο το φ(χ) τεινει στο φ(χο) αφου η φ ειναι 1-1.Επομενως το y τεινει στο yo.
$\lim_{y\rightarrow yo}\frac{y-yo}{{f}^{-1}(y)-{f}^{-1}(yo)}$ .Το οριο αυτο υπαρχει αφου η αντιστροφη ειναι παρ/μη.Αρα η φ ειναι παρ/μη στο τυχαιο χο οποτε και στο R.

Χρήση της συνέχειας δεν έκανες εδώ;

antwwwnis · 17-05-12

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Εστω τυχαιο χο που ανηκει στο R.
Εχουμε
$f'(xo)=\lim_{x\rightarrow xo}\frac{f(x)-f(xo)}{x-xo}$
Θετω f(x)=y αρα οταν το χ τεινει στο χο το φ(χ) τεινει στο φ(χο) αφου η φ ειναι 1-1.Επομενως το y τεινει στο yo.
$\lim_{y\rightarrow yo}\frac{y-yo}{{f}^{-1}(y)-{f}^{-1}(yo)}$ .Το οριο αυτο υπαρχει αφου η αντιστροφη ειναι παρ/μη.Αρα η φ ειναι παρ/μη στο τυχαιο χο οποτε και στο R.

Mια σημαντική παρατήρηση!!
Δεν μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο Α έχει αντίστροφη παραγωγίσιμη επίσης στο Α.
Για παράδειγμα, η x² είναι παραγωγίσιμη στο [0,+οο) ενώ η αντίστροφή της ρίζα(χ) είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο).
Καταλαβαίνουμε λοιπόν πως δεν αρκεί η συνάρτησή μας να είναι παραγωγίσιμη στο Α, αλλά και να μην μηδενίζεται η παράγωγος της στο Α(ή ισοδύναμα να μην ισχύουν οι προυποθέσεις του ρολ για την συνάρτηση ή του bolzano για την παράγωγό της).

Προκύπτει άμεσα και από το όριο που καταλήξαμε, αν διαιρέσουμε άνω και κάτω μέλος με y-y0 και μηδενίζεται ο παρονομαστής, η φ' τείνει στο άπειρο, άρα δεν είναι παραγωγισιμη σε αυτό το σημείο.
Για τη συνάρτηση που δόθηκε πιο πάνω, νομίζω είναι γνησίως μονότονη οπότε δεν υπάρχει πρόβλημα.

Mr.Blonde · 17-05-12

Χρήση της συνέχειας δεν έκανες εδώ;

Eννοειται οτι πρεπει να ειναι συνεχης,αλλιως δεν ειναι παραγωγισιμη.Μερικα πραγματα τα παρελειψα.
Ωραια παρατηρηση αντωνη!

AntGuRu · 17-05-12

Παιδιά μιλώντας για συνέχεια, να ρωτήσω κάτι;
Στο σχολείο μας τόνισαν και μας ξανατόνησαν, ότι για να δικαιολογήσουμε αν ένα ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμο, θα πρέπει να πούμε πως η συνάρτηση f(x) που υπάρχει μέσα της, θα πρέπει να είναι συνεχής στο διάστημα ολοκλήρωσης. Στο φροντιστήριο, ωστόσο, μας είπαν ότι κάτι τέτοιο δεν είναι αναγκαίο, γιατί αν ΔΕΝ ήταν συνεχής, δεν θα οριζόταν καν το ολοκλήρωμα. Δηλαδή δεν υπάρχει περίπτωση να ΜΗΝ ειναι η f συνεχής στο διάστημα ολοκλήρωσης.
Πρέπει να το γράφουμε, έστω για τυπικούς λόγους;

Signor Positivo · 17-05-12

Αρχική Δημοσίευση από AntGuRu:
Παιδιά μιλώντας για συνέχεια, να ρωτήσω κάτι;
Στο σχολείο μας τόνισαν και μας ξανατόνησαν, ότι για να δικαιολογήσουμε αν ένα ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμο, θα πρέπει να πούμε πως η συνάρτηση f(x) που υπάρχει μέσα της, θα πρέπει να είναι συνεχής στο διάστημα ολοκλήρωσης. Στο φροντιστήριο, ωστόσο, μας είπαν ότι κάτι τέτοιο δεν είναι αναγκαίο, γιατί αν ΔΕΝ ήταν συνεχής, δεν θα οριζόταν καν το ολοκλήρωμα. Δηλαδή δεν υπάρχει περίπτωση να ΜΗΝ ειναι η f συνεχής στο διάστημα ολοκλήρωσης.
Πρέπει να το γράφουμε, έστω για τυπικούς λόγους;

Δεν υπάρχει περίπτωση να ΜΗΝ είναι η f συνεχής στο διάστημα ολοκλήρωσης, αλλιώς πράγματι δε θα οριζόταν ολοκλήρωμα. Οπότε εν μέρει είχε δίκιο ο καθηγητής που σού το είπε αυτό στο φροντιστήριο, αυτή όμως είναι η αιτιολόγηση της παραγωγισιμότητας του ολοκληρώματος. Οπότε ναι, όταν θέλεις να πεις ότι ένα ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμο, λες ότι είναι επειδή η f συνεχής.

AntGuRu · 17-05-12

Αρχική Δημοσίευση από Signor Positivo:
Δεν υπάρχει περίπτωση να ΜΗΝ είναι η f συνεχής στο διάστημα ολοκλήρωσης, αλλιώς πράγματι δε θα οριζόταν ολοκλήρωμα. Οπότε εν μέρει είχε δίκιο ο καθηγητής που σού το είπε αυτό στο φροντιστήριο, αυτή όμως είναι η αιτιολόγηση της παραγωγισιμότητας του ολοκληρώματος. Οπότε ναι, όταν θέλεις να πεις ότι ένα ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμο, λες ότι είναι επειδή η f συνεχής.

Οπότε στο παρακάτω ολοκλήρωμα θα λέγαμε:
$\int_{c}^{x}(\int_{c}^{t}f(u)du)dt$

Είναι η f συνεχής στο ${A}_{f}$ οπότε το $\int_{c}^{t}f(u)du$ είναι παραγωγίσιμο στο ${A}_{f}$
Είναι η $\int_{c}^{t}f(u)du$ συνεχής στο ${A}_{f}$ ως παραγωγίσιμη, άρα το $\int_{c}^{x}(\int_{c}^{t}f(u)du)dt$ είναι παραγωγίσιμο στο ${A}_{f}$

Και μάλιστα, το συγκεκριμένο είναι και δύο φορές παραγωγίσιμο, έτσι;

stelios1994-4 · 17-05-12

Αρχική Δημοσίευση από AntGuRu:
Πρέπει να το γράφουμε, έστω για τυπικούς λόγους;

Μπορεί πλέον με το που βλέπω f(a)=f(b) να γράφω Rolle --> ok αλλά αν θες την γνώμη μου, στο διαγώνισμα για το οποίο παλεύω ένα χρόνο και θέλω να γράψω καλά, ναι, θα είμαι όσο πιο τυπικός γίνεται

Και ναι η συνάρτησή σου είναι δυο φορές παραγωγίσιμη γιατί όπως είπες σε κάθε περίπτωση το "μέσα" του ολοκληρώματος είναι συνεχές.

AntGuRu · 17-05-12

Σωστός. Απλά φοβάμαι μην είναι υπερβολή, αλλά θα το γράψω και εγώ για να είμαι σίγουρος.

Χαρουλιτα · 18-05-12

Να ρωτησω κατι???
Εστω οτι θελω να βρω μια αρχικη συναρτηση της f=xlnx.
Μπορω να πω πως ειναι το ολοκληρωμα απο 1 εως χ της tlnt dt ???

drosos · 18-05-12

Εγω θα το γραφα ετσι στις πανελληνιες $\int xlnxdx=\int (\frac{x^2}{2})'lnxdx=\left< \frac{x^2}{2}lnx \right>-\int \frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{2}lnx \right>-\frac{x^2}{4}+c$
Δεν με νοιαζει που βγαλανε το αοριστο απ'εξω, ειναι επιστημονικα τεκμηριωμενο!
Και το c τον βρισκεις ευκολα αναλογα τι σου χε δωσει

Παντως και με το δικο σου τροπο βγαινει αλλα δεν θα βαλεις απαραιτητα 1 αναλογα ποιο f(..) σου χει δωσει.

SiMoS43710 · 18-05-12

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Να ρωτησω κατι???
Εστω οτι θελω να βρω μια αρχικη συναρτηση της f=xlnx.
Μπορω να πω πως ειναι το ολοκληρωμα απο 1 εως χ της tlnt dt ???

Εννοείται οτι μπορείς! Βέβαια, δεν έχει μπει ποτέ κάποια τέτοια ερώτηση απ'ότι θυμάμαι, αλλά μπορεί να χρειαστεί να βρεις την παράγουσα της για να εφαρμόσεις κάποιο θεώρημα...

Χαρουλιτα · 18-05-12

Nαι, Βασιλη εχεις δικιο! Μετα σκεφτηκα την παραγοντικη!

antwwwnis · 18-05-12

Σύμφωνα με τη θεωρία του βιβλίου μας, η συνάρτηση ολοκλήρωμα της f από α έως χ είναι μια παράγουσα της f.
Δηλαδή μπορείς να το κάνεις αυτό που λες!
(Κανονικά θα δουλεύαμε με αόριστο, που είναι εκτός)
(Εγώ δουλεύω ως εξής: παίζω με α συνήθως και μου βγαίνει τελικά μια συναρτηση G(x)=F(x)+p(a),
και λέω αφού p(α) σταθερός όρος, κάθε συνάρτηση G(x)=F(x)+c είναι παράγουσα της συνάρτησης f. Χρησιμοποίησα το πρώτο θεώρημα που έχει στον ολοκληρωτικό λογισμό)

drosos · 18-05-12

Κοιτα αν σου λεει να αποδειξετε οτι η εξισωση xlnx-.....=0 εχει ριζα και δεν βγει με bolzano, και πας για rolle στην αρχικη δεν χρειαζεται να αιτολογησεις γιατι θετεις την συναρτηση f(x)=αρχικη της παραπανω, βρες την στο προχειρο την αρχικη(κανε αοριστα οτι θες δεν το βλεπει κανεις) και απλως πετα στο καλο εστω f(x)=...

Γιατι μονο εκει παιζει κτ τετοιο.

Χαρουλιτα · 18-05-12

Απλα ζητουσε την αρχικη, μαζι με οοολα τα αλλα! Ευχαριστω παντως!

kos_maverik · 18-05-12

Γεια! Ετοιμάζομαι κι εγώ για τις πανελλήνιες και κοιτάω θέματα από άλλες χρονιές.. Όμως δε μπορώ να καταλάβω με τίποτα τη λύση από το θέμα 4ο, υποερώτημα β. Οι εκφωνήσεις είναι:

και η καλύτερη απάντηση που έχω βρει είναι:

Λοιπόν, δεν καταλαβαίνω γιατί παίρνουμε για tE[0,x], ενώ είναι tE[0,1].. Όποιος μπορεί, ας μου εξηγήσει γιατί δε μπορώ να το καταλάβω με τίποτα

Ευχαριστώ

!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος