Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Rania. · 12-09-09

Ε δεν ειναι μονο το g(0)=g(1) ρε, ειναι και η συνεχεια και η παραγωγισιμοτητα :/ Δεν πρεπει να τα δειξω κι αυτα;
(γραφτη γραφτη :p)

ledzeppelinick · 12-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Ε δεν ειναι μονο το g(0)=g(1) ρε, ειναι και η συνεχεια και η παραγωγισιμοτητα :/ Δεν πρεπει να τα δειξω κι αυτα;
(γραφτη γραφτη :p)

H f απο υποθεση ειναι παραγωγισιμη στο R άρα και συνεχης στο R. Η f(x^2) ειναι παραγωγισιμη ως συνθεση παραγωγισιμων συναρτησεων και συνεχης ως συνθεση συνεχων συναρτησεων. Αρα η g ειναι συνεχης στο (0,1) που ειναι υποσυνολο του R και παραγωγισιμη στο [0,1] που ειναι υποσυνολο του R και g(0)=g(1) αρα ισχυουν οι προυποθεσεις του Θ. Rolle

Rania. · 12-09-09

Ωπ ευχαριστω, λυθηκε.

Bkid · 12-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Εστω η συναρτηση f, η οποια ειναι παραγωγισιμη στο R και ισχυει f(x)=(x-1)f( ${x}^{2}$ ) για καθε x στο R. Να δειξετε οτι:
i)Για τη συναρτηση g(x)=f( ${x}^{2}$ ) ισχυει το θεωρημα Rolle στο [0,1].
ii)Υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ στο (0,1) τετοιο ωστε f'(ξ)=g(ξ).

Μη μου τη λυσετε, πειτε μου ισα ισα το πρωτο βημα και τα υπολοιπα αφηστε τα πανω μου.

1. Η f ειναι παραγωγισιμη αρα και συνεχης στο [0,1] για καθε χ οποτε και η g που ειναι ιση με την f ειναι συνεχης στο [0,1]

Η g ειναι παραγωγισιμη στο (0,1) αφου ειναι ιση με την f η οποια ειναι παραγωγισιμη

Για x=0 g(0)=f(0) για x=0 η δοθεισα σχεση γινεται f(0)=-f(0) αρα f(0)=0 οποτε g(0)=0

Για x=1 g(1)=f(1) για x=1 η αρχικη σχεση γινεται f(1)=0 αρα g(1)=0

Αρα g(0)=g(1)=0 οποτε ισχυει το θrolle

2. αφου ισχυει το θrolle τοτε υπαρχει ξ ε(0,1):g'(ξ)=0

Ομως g'(x)=f'( ${x}^{2}$ )*2*x

Oπου χ θετουμε ξ αρα g'(ξ)=f'( ${\xi }^{2}$ )*2*ξ

ομως g'(ξ)=0 αρα f'( ${\xi }^{2}$ )*2*ξ=0 ή f'( ${\xi }^{2}$ )=0

Παραγωγιζουμε την αρχικη και προκυπτει f'(x)=f( ${x}^{2}$ )+(x-1)*f'( ${x}^{2}$ )*2*x και θετεις οπου χ το ξ και προκυπτει

f'(ξ)=f( ${\xi }^{2}$ ) ή f'(ξ)=g(ξ)

ledzeppelinick · 12-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Bkid:
1. Η f ειναι παραγωγισιμη αρα και συνεχης στο [0,1] για καθε χ οποτε και η g που ειναι ιση με την f ειναι συνεχης στο [0,1]

Η g ειναι παραγωγισιμη στο (0,1) αφου ειναι ιση με την f η οποια ειναι παραγωγισιμη

Για x=0 g(0)=f(0) για x=0 η δοθεισα σχεση γινεται f(0)=-f(0) αρα f(0)=0 οποτε g(0)=0

Για x=1 g(1)=f(1) για x=1 η αρχικη σχεση γινεται f(1)=0 αρα g(1)=0

Αρα g(0)=g(1)=0 οποτε ισχυει το θrolle

2. αφου ισχυει το θrolle τοτε υπαρχει ξ ε(0,1):g'(ξ)=0

Ομως g'(x)=f'( ${x}^{2}$ )*2*x

Oπου χ θετουμε ξ αρα g'(ξ)=f'( ${xi }^{2}$ )*2*ξ

ομως g'(ξ)=0 αρα f'( ${xi }^{2}$ )*2*ξ=0 ή f'( ${xi }^{2}$ )=0

Παραγωγιζουμε την αρχικη και προκυπτει f'(x)=f( ${x}^{2}$ )+(x-1)*f'( ${x}^{2}$ )*2*x και θετεις οπου χ το ξ και προκυπτει

f'(ξ)=f( ${xi }^{2}$ ) ή f'(ξ)=g(ξ)

Μια μικρη παρατηρησουλα...:nono: η g δεν ειναι ιση με την f αλλα με την f(x^2) που ειναι μια συνθετη συναρτηση και διαφορετικη απ την f(x)..

Meddle · 13-09-09

Να λυθεί η εξίσωση:
|z-1+2i|=iz
Γιατί όταν αντικαθιστώ απ'ευθείας με x+yi ή εάν υψώσω στο τετράγωνο και τα δύο μέλη βγάζω λάθος αποτέλεσμα;

Rania. · 13-09-09

Αφου υψωσες στο τετραγωνο θυμηθηκες να κανεις αντικατασταση στο αριστερα (z-1+2i)(z{συζυγης}-1-2i) ?

Meddle · 13-09-09

hale · 13-09-09

Mόνο εγώ δε μπορώ να δω το latex??

Rania. · 13-09-09

Ουτε εγω :/

Bkid · 13-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Meddle:
Να λυθεί η εξίσωση:
$|z-1+2i|=iz$

Γιατί όταν αντικαθιστώ απ'ευθείας με x+yi ή εάν υψώσω στο τετράγωνο και τα δύο μέλη βγάζω λάθος αποτέλεσμα;

Αυτο το ερωτημα κατι μου λεει οτι θα πεσει φετος...Το μυστικο σε αυτη την ασκηση ειναι το οτι το πρωτο μελος ειναι πραγματικος αριθμος αφου ειναι σε μετρο,αρα και το δευτερο μελος θα ειναι πραγματικος

Δηλαδη iz εR εστω z=x+yi με x,yεR τοτε iz=i(x+yi)=xi-y=-y+xi ομως ανηκει στο R αρα το φανταστικο του μερος ειναι μηδεν δηλαδη x=0

αρα ο z τελικα γραφεται z=yi αντικαθιστας τωρα στην αρχικη σου εξισωση οπου z το yi και θα σου βγει υψωνοντας στο τετραγωνο..Πριν δν σου εβγαινε γιατι ειχες δυο αγνωστους..

Rania. · 13-09-09

Αν εχεις ισοτητες μεταξυ μιγαδικων μια χαρα βρισκεις 2 αγνωστους γιατι εχεις 2 εξισωσεις αφου φτασεις στην τελικη μορφη.

Bkid · 13-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Αν εχεις ισοτητες μεταξυ μιγαδικων μια χαρα βρισκεις 2 αγνωστους γιατι εχεις 2 εξισωσεις αφου φτασεις στην τελικη μορφη.

Νταξει ναι ισως βγαινει και ετσι,λαθος μου το οτι ειπα οτι δεν βγαινει..Αλλα παντα πρεπει να σκεφτεσαι την πιο γρηγορη λυση!Οχι να βαζεις κατω το κεφαλι και να γραφεις...:no1:

fdLP. · 13-09-09

εαν δεν κανω λαθος η λυση ειναι y=+-1

Bkid · 13-09-09

Αρχική Δημοσίευση από fdLP.:
εαν δεν κανω λαθος η λυση ειναι y=+-1

Συνεχιζω απο εκει που εμεινα πριν,αλλα δεν θα γραψω με λατεχ γιατι εχει προβ.. z=yi

αρα /yi-1+2i/=-y <-> /-1+(y+2)i/=-y <-> [/-1+(y+2)i/]^2=(-y)^2 <->

(-1)^2+(y+2)^2=(-y)^2 <-> 1+y^2+4y+4=y^2 <-> 4y=-5 <-> y=-5/4

fdLP. · 13-09-09

σωστος , δεν εφτιαξα το yi + 2i σε (y+2)i

cyclops · 13-09-09

Γεια σας. δυο ασκησεις που πρεπει να ειναι αρκετα ευκολες αλλα κατι μου ξεφευγει και απο τις δυο.

Αν ν ανήκει N* και η ευκληδεια διαιρεση του ν με το 4 ειναι τελεια να υπολογισετε τν τιμη της παραστασης: Α=(1+i)^ν-(1-ι)^ν.

και ii) Αν Z ανηκει C και ισχυει z^2+z+1=0
α) να αποδειχθει οτι z^3=1
β) να υπολογισετε τν τιμη της παραστασης Κ=z^2008+1/z^2008

στην ii) λυνω αρχικα την εξισωση με διακρινουσα?? και αν ειναι σωστο πως αξοποιητε παιρετερω.?

manos66 · 13-09-09

Αρχική Δημοσίευση από cyclops:
Γεια σας. δυο ασκησεις που πρεπει να ειναι αρκετα ευκολες αλλα κατι μου ξεφευγει και απο τις δυο.

Αν ν ανήκει N* και η ευκληδεια διαιρεση του ν με το 4 ειναι τελεια να υπολογισετε τν τιμη της παραστασης: Α=(1+i)^ν-(1-ι)^ν.

ν = 4k
(1+i)^v = (1+i)^{4k} = [(1+i)^4]^k = (-4)^k
(1-i)^v = (1-i)^{4k}=[(1-i)^4]^k = (-4)^k
άρα Α = 0

Αρχική Δημοσίευση από cyclops:
ii) Αν Z ανηκει C και ισχυει z^2+z+1=0
α) να αποδειχθει οτι z^3=1
β) να υπολογισετε τν τιμη της παραστασης Κ=z^2008+1/z^2008

στην ii) λυνω αρχικα την εξισωση με διακρινουσα?? και αν ειναι σωστο πως αξοποιητε παιρετερω.?

α) z^2+z+1=0 <=> (z-1)(z^2+z+1)=0 <=> z^3-1 = 0 <=> z^3 = 1
β) z^2008 = (z^3)^669 . z = z
1/z^2008 = 1/z = z^3/z = z^2
K = z + z^2 = -1 από την αρχική σχέση
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Bkid:
Συνεχιζω απο εκει που εμεινα πριν,αλλα δεν θα γραψω με λατεχ γιατι εχει προβ.. z=yi

αρα /yi-1+2i/=-y <-> /-1+(y+2)i/=-y <-> [/-1+(y+2)i/]^2=(-y)^2 <->

(-1)^2+(y+2)^2=(-y)^2 <-> 1+y^2+4y+4=y^2 <-> 4y=-5 <-> y=-5/4

Ακριβώς αυτή είναι η λύση.
Η μόνη παρατήρηση που έχω να κάνω είναι ότι επειδή το α΄ μέλος είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός, άρα και το iz είναι μη αρνητικός αριθμός, άρα z = yi με y<=0 (ο οποίος περιορισμός επαληθεύεται από την τιμή y = -5/4)

cyclops · 13-09-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
β) z^2008 = (z^3)^669 . z = z
1/z^2008 = 1/z = z^3/z = z^2
K = z + z^2 = -1 από την αρχική σχέση

μηπως ειναι ευκολο να εξηγησετε τι κανατε μετα το :

z^2008 = (z^3)^669 . z

Bkid · 13-09-09

Ακριβώς αυτή είναι η λύση.
Η μόνη παρατήρηση που έχω να κάνω είναι ότι επειδή το α΄ μέλος είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός, άρα και το iz είναι μη αρνητικός αριθμός, άρα z = yi με y<=0 (ο οποίος περιορισμός επαληθεύεται από την τιμή y = -5/4)[/quote]

Ναι το ειχα γραψει πιο πανω απο την λυση που εδωσα.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος