Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Korina 71 · 13-05-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
ε ενταξει το team δε μασαει!!λυνει τα παντα

Έτσι ακριβώς!!!Ή είμαστε team ή δεν είμαστε!!

:xixi:

John_Megadeth · 13-05-09

Να μια! Δινεται η συναρτηση $f(0,+\propto )\rightarrow R$ για την οποια ισχυουν τα παρακατω: ειναι συνεχης στο $(0,+\propto )$ και $lnx\leq f(x)\leq x-1, x\succ 0$ .
Να δειξετε οτι: α) η f ειναι παραγωγισιμη στο 1 και $f'(1)=1$
β) η εφαπτομενη της ${C}_{f}$ στο σημειο της $M(1,f(1))$ σχηματιζει με τους αξονες τριγωνο εμβαδου $E=\frac{1}{2}$
γ) $\lim_{x\rightarrow 1}\int_{1}^{x}\frac{f(t)}{{x-1}^{2}}dt=\frac{1}{2}$
δ) η εξισωση $\int_{1}^{x}f(t)dt=\frac{{x}^{2}}{2}+lnx-1$ εχει μοναδικη ριζα στο $(1,e)$

ledzeppelinick · 13-05-09

οσο για την ασκηση του geoste εκανα κατι αλλα δεν νομιζω οτι ειναι και πολυ βασιμο... :hmm:

εκανες εσυ τπτ??

Korina 71 · 13-05-09

Δεν την έχω κοιτάξει γιατί έκανα λιγάκι Φυσική!Αλλά θα τις δω και τις δυο αύριο..!!

:no1:

John_Megadeth · 13-05-09

Εγω την κοιταξα λιγο αλλα δεν μου εβγαινε κατι, οποτε αυριο παλι!

Korina 71 · 13-05-09

Χαχα ναι αύριο αύριο!!:iagree::xixi:

ledzeppelinick · 10 Απριλίου 2011

οκ ανεβαζω του γιαννη σιγα σιγα:no1:

Αρχική Δημοσίευση από John_Megadeth:
Να μια! Δινεται η συναρτηση $f(0,+propto )rightarrow R$ για την οποια ισχυουν τα παρακατω: ειναι συνεχης στο $(0,+propto )$ και $lnxleq f(x)leq x-1, xsucc 0$ .
Να δειξετε οτι: α) η f ειναι παραγωγισιμη στο 1 και $f'(1)=1$
β) η εφαπτομενη της ${C}_{f}$ στο σημειο της $M(1,f(1))$ σχηματιζει με τους αξονες τριγωνο εμβαδου $E=frac{1}{2}$
γ) $lim_{xrightarrow 1}int_{1}^{x}frac{f(t)}{{x-1}^{2}}dt=frac{1}{2}$
δ) η εξισωση $int_{1}^{x}f(t)dt=frac{{x}^{2}}{2}+lnx-1$ εχει μοναδικη ριζα στο $(1,e)$

απλα μια διορθωση λιγο στο γ ειναι χ-1 και ολο στο τετραγωνο!!:no1:

Civilara · 13-05-09

Σωστό ή Λάθος

Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο R τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο R τέτοιο ώστε f(x0)<0
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο Α(x0,f(x0)). Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο +άπειρο, τότε

lim(x->+άπειρο)[g(x)-xf΄(x0)]=f(x0)-x0f΄(x0)

-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

i) Αν f παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f΄(x)>0 για κάθε x στο Δ.

ii) Αν f παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f΄(x)<0 για κάθε x στο Δ.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)+f(β)=0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Αν g,h παραγωγίσιμες συνερτήσεις σε ένα διάστημα Δ και f συνεχής στο f(Δ)Ug(Δ) τότε η F(x)=S(g(x),h(x))f(t)dt είναι παραγωγίσιμη στο Δ με

F΄(x)=f(g(x))g΄(x)-f(h(x))h΄(x) για κάθε x στο Δ

-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και f΄΄(x) διάφορο 0 για κάθε x στο Δ τότε δεν υπάρχουν σημεία στο Δ στα οποία οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλες.

manos66 · 13-05-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
μονο προσεγγιστικα αλλα λογικα δεν γινεται ετσι.. οποτε θα ηθελα να δω την λυση! Ευχαριστω!!:thanks:

Για x > 1
θέτουμε όπου x το x^2

$x<\frac{x^2-1}{lnx^2} \Leftrightarrow x<\frac{x^2-1}{2lnx} \Leftrightarrow 2x<\frac{x^2-1}{lnx} \Leftrightarrow 2x < f(x)$

$\int_{\frac{3}{2}}^{2}2xdx < \int_{\frac{3}{2}}^{2}f(x)dx \Leftrightarrow \left[x^2 \right]_\frac{3}{2}^2 < E \Leftrightarrow 4-\frac{9}{4}< E \Leftrightarrow \frac{7}{4}< E$

Civilara · 13-05-09

Αν f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] και g(x)>0 για κάθε x στο [α,β], να αποδειχτεί ότι υπάρχει ξ στο [α,β] τέτοιο ώστε:

S(α,β)f(x)g(x)dx=f(ξ)S(α,β)g(x)dx

m3Lt3D · 13-05-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Σωστό ή Λάθος

Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο R τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο R τέτοιο ώστε f(x0)<0
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Σωστο.(μην πω γιατι. το εβαλα χθες ασκηση

)

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο Α(x0,f(x0)). Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο +άπειρο, τότε

lim(x->+άπειρο)[g(x)-xf΄(x0)]=f(x0)-x0f΄(x0)

-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Σωστο.(lim[g(x)-λχ]=β)

i) Αν f παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f΄(x)>0 για κάθε x στο Δ.

Λαθος.(π.χ. χ^3)

ii) Αν f παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f΄(x)<0 για κάθε x στο Δ.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Λαθος.(π.χ. -χ^3)

Αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)+f(β)=0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Λαθος.(υπαχει στο [α,β])

Αν g,h παραγωγίσιμες συνερτήσεις σε ένα διάστημα Δ και f συνεχής στο f(Δ)Ug(Δ) τότε η F(x)=S(g(x),h(x))f(t)dt είναι παραγωγίσιμη στο Δ με

F΄(x)=f(g(x))g΄(x)-f(h(x))h΄(x) για κάθε x στο Δ

-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Τωρα σε αυτο το κατω ακρο του ολοκληρωματος ειναι g(x) και το πανω h(x) ή το αναποδο;

Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και f΄΄(x) διάφορο 0 για κάθε x στο Δ τότε δεν υπάρχουν σημεία στο Δ στα οποία οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλες.

Σωστο.(ατοπο με Rolle)

vasilis008 · 13-05-09

Να αυτή με παίδεψε κάπως μέχρι να την βγάλω...
Δίνεται $f (0,+00)->R$ με $f(x)\leq lnx, x\epsilon (0,+00)$
Δίνεται επίσης ότι για την f ισχύει: $f(xy)\leq f(x)+f(y)$ για κάθε $x,y\epsilon (0,+00)$ . Να βρεθεί ο τύπος της f.

John_Megadeth · 13-05-09

Καλημερα!Βασιλη, ξερουμε αν η f ειναι παραγωγισιμη;

vasilis008 · 13-05-09

Αρχική Δημοσίευση από John_Megadeth:
Καλημερα!Βασιλη, ξερουμε αν η f ειναι παραγωγισιμη;

καλημέρα και σε εσένα. Όχι δυστυχώς δεν ξέρουμε τίποτα ούτε καν αν είναι συνεχής...

John_Megadeth · 13-05-09

Βρηκα μια λυση αλλα μονο για την περιπτωση που η f ειναι παραγωγισιμη :'(

Korina 71 · 13-05-09

Αρχική Δημοσίευση από vasilis008:
καλημέρα και σε εσένα. Όχι δυστυχώς δεν ξέρουμε τίποτα ούτε καν αν είναι συνεχής...

Ουπς!Προβληματάκι!Αλλά ελπίζω βγαίνει με ορισμό

I'll try it now!

vasilis008 · 13-05-09

υπάρχει μια ωραία λύση που είναι ανεξάρτητη από συνέχεια και παράγωγο...Βασικά αυτή η άσκηση ξεφεύγει λίγο, είναι να το "δεις" που λένε για να την βγάλεις...Όποτε θέλετε μου λέτε να ανεβάσω λύση αν δεν την βγάλετε φυσικά...

Korina 71 · 13-05-09

Οκ!Προτείνω να περιμένουμε και τον Νίκο..!Και μετά βλέπουμε!

ledzeppelinick · 13-05-09

καλημερα παιδες!!! (τι καλημερα δηλαη τετοια ωρα που ξυπνησα

)..!! άρε κορινα σ ευχαριστω πολυ my team mate!!!

θα δω κ εγω την ασκηση λιγο κ αν δεν μπορω σας λεω!!

James Fallen · 13-05-09

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα νομίζω πως έτσι μπορούμε να αποδέιξουμε την παραγωγισημότητα της f^(-1) στο R.
Εφόσον η f 1-1 από την σχέση θα ισχύει:
f^(-1)(f(x))=f^(-1)(x^5+x^3+x) <=>
f^(-1)(x^5+x^3+x)=x
Επειδή η x είναι παραγωγίσιμη στο R επομένως και η f^(-1)(x^5+x^3+x) είναι παραγωγίσιμη... Άρα:
(5x^4+3x^2+1)f'^(-1)(x^5+x^3+x)=1 <=> (για χ=1)
9f'^(-1)(3)=1 <=>
f'^(-1)(3)=1/9 και μετα συνεχίζουμε...
Αλλιώς δεν μπορούμε να αποδείξουμε την παραγωγισιμώτητα της f^(-1)(x)
Στηριζόμαστε στα στοιχεία που μας δίνει...
Καλή μας επιτυχία και όχι άγχος! Θα προσπαθήσω να ανεβάσω την λύση και σε word αργότερα. :no1:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος