Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mostel · 16-02-08

Αρχική Δημοσίευση από breezaki:
Τόξο εφαπτομένης βγαίνει σίγουρα??
Λίγο υπερβολικό είναι για ύλη γ' λυκείου..
Τεσπα.. Μπορεί να ήταν και λάθος του καθηγητή.
Ευχαριστώ για τη βοήθεια Στέλιο!

Σίγουρα.

Μια απλή προσέγγιση:

Γράφεται το ολοκλήρωμα:

$\int\frac{1}{(x+2)^2+1}dx$

Θέτω $x+2=y$ και γράφεται:

$\int\frac{1}{y^2+1}dy$

Θέτω $y = \tan z$

και γράφεται:

$\int\frac{1}{cos^2z}\cdot cos^2z dz$

(Αφού $y = \tan z , dy = \frac{1}{cos^2z}$ και $\frac{1}{\tan^2 z+1}=cos^2z$ )

$\int 1dz = \int (z)'dz = z$

Όμως $\tan z = y = x+2$

$\tan z = x+2$

$z =\tan^{-1}(x+2) = \arctan (x+2)$

..

Στέλιος

JimmYs · 18-02-08

Μοιραία μου γεννιέται η απορία....Πώς να σκεφτεί ένας μαθητής να ξεκινήσει έτσι την άσκηση? Δηλαδή είναι θέμα πείρας μέσω ασκήσεων ή δοκιμάζεις έτσι και αν σου βγήκε?

mostel · 18-02-08

Αν έχεις ασχοληθεί αρκετά, φαίνεται η άσκηση πως θα λύθεί..

Στέλιος

andrew678 · 20-02-08

Παιδία για αρχή το Forum είναι όλα τα λεφτά. Έχω πρόβλημα με κάτι ασκήσεις στους μιγαδικούς, θα μπορούσατε να βοηθήσετε?

maria122132 · 21-02-08

παιδια κυριως την πρωτη αν μπορειτε!
plz,
thnks

01011001 · 21-02-08

1) z^11 πραγματικός, άρα και ο συζυγής του z^11 πραγματικός.
έστω συζυγής του z ο z`
z` = x-yi
z`^11 = (x-yi)^11 = πραγματικός

w = (y+xi)^11 = [ (-i^2) * y + xi ]^11 = [ i * ( x - yi ) ]^11 = i^11 * (x-yi)^11 = i * z`^11 που ανήκει στους φανταστικούς αφού είναι γινόμενο πραγματικού-φανταστικού (αi)

2) φέρνεις τον μιγαδικό z στη μορφή α+βi (α,β πραγματικοί) -> το κάνεις πολλαπλασιάζοντας αριθμητή κ παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή. Για να είναι πραγματικός ο z πρέπει το φανταστικό του μέρος (βi) να είναι μηδέν. Άρα παίρνεις το β (αυτό που βρήκες) και το θέτεις ίσο με μηδέν. Αν δεν κάνω λάθος βγαίνει εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες το 2 και 3/2.

3) στη σχέση με τα μέτρα, υψώνεις στο τετράγωνο και παίρνεις (όπου τόνος ` είναι συζυγής):
z1*z1` = z2*z2` = ρ^2
z1 = (ρ^2)/z1`
z2 = (ρ^2)/z2`
αντικαθιστάς στον w, κάνεις πράξεις (ομόνυμα κλπ) και σου βγάζει τον μιγαδικό του w (w`)
αφού w=w` , ο w είναι πραγματικός
Ίδια (με διαφορετικούς αριθμούς μόνο) άσκηση έχει στο σχολικό βιβλίο.

5) στη δοθείσα(γνωστή) σχέση περνάς μέτρα, διώχνεις τα ν και έχει |z+1| = |z|
υψώνεις στο τετράγωνο και εφαρμόζοντας την ιδιότητα |z|^2 = z*z` θα πάρεις την σχέση z + z` = -1 -> διαιρείς με το 2, αποδεικνύοντας το ζητούμενο.

με την ανισότητα δε θυμάμαι ακριβώς πως δουλεύουμε

τα άλλα δεν τα προλαβαίνω τώρα, αλλά απ'το άλλο φύλλο στην πρώτη όπως την είδα κάνεις για τις 2 περιπτώσεις ότι και στην (2) και θέτεις μετά (αφού μηδενίσεις το πραγματικό/φανταστικό μέρος όπου z x+yi)

mostel · 21-02-08

Καταρχήν θεωρείς τη συνάρτηση:

$G(x) = f(x)+x\ln x -x$

Έχουμε:

$G(1)=f(1) -1 <0$ (αφού $0<f(x)<1$ )

και

$G(e)=f(e)+e>0$ , για τον ίδιο λόγο.

Έτσι $G(1)G(e)<0$

Και επειδή $G$ είναι συνεχής, υπάρxει ένα τουλ. $x_{0}$ , από Θ. Bolzano, τ.ώ. $G(x_{0})=0$ .

Όμως $f'(x)\geq 0$ , που σημαίνει ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα (δε μηδενίζεται σε οποιοδήποτε σημείο του Π.Ο. της, άρα δεν είναι σταθερή, άρα και η πρώτα παράγωγος μηδενίζεται σε πεπερασμένα σημεία).

Αντίστοιχα παραγωγίζουμε τη G και βγάζουμε ότι είναι γν. αύξουσα. Άρα και η λύση είναι μοναδική!

Στέλιος

maria122132 · 21-02-08

thanks Στέλιο

το ειχα φτασει μεχρι το Θ.Β και μετα το άφησα...

M.d · 22-02-08

01011001 · 22-02-08

188)Af = R+

f`(x) = 1/x - 1/(x^2) = 1/x * (1 - 1/x)
f`(x) = 0 <=> x = -1

f`(x)>0 <=> x>1
άρα f`(x)<0 για x<1
μας ενδιαφέρει για x>0
άρα η f είναι ΓΦ στο 0<x<1 και ΓΑ στο x>1 (όπου θες βάζεις κλειστό για 1)
ii)A=[e,e^2] e>1, e^2>1 και τα 2 μεγαλύτερα του 0. Στο διάστημα αυτό η f είναι ΓΑ άρα το f(A) = [f(e),f(e^2)] = [e+1/e, 2+1/(e^2)]
iii) το 1

/2<e ανήκει στο f(A) άρα στο [e,e^2] υπάρχει μοναδικό x0 (αφού η f είναι ΓΑ σ'αυτό) τέτοιο ώστε f(x0)=3/2

στην 191 δεν φαίνονται καλά οι εκθέτες

192) βρίσκεις την παράγωγο, είναι μία δευτεροβάθμια εξίσωση, παραμετρική. Βρίσκεις την διακρίνουσα, αν δεν κάνω λάθος, 4λ(λ-1) και λες ότι για να μην έχει ακρότατα θα πρέπει να μη μηδενίζει η παράγωγος άρα η διακρίνοσα να είναι αρνητική -> 0<λ<1

193) i) βρίσκεις την παράγωγο, τη μηδενίζεις και βλέπεις ότι μηδενίζει για τις τιμές 2 και 3
αφού είναι 2ου βαθμού και ο συντ/στής του μεγιστοβάθμιου είναι θετικός, τα πρόσημα θα είναι - "μέσα" στις ρίζες και + "έξω" απο αυτές. Κάνεις τη μονοτονία και βρίσκεις ότι έχει 2 τοπικά ακρότατα, τα Α(2,f(2)) και Β(3,f(3))
Για να δείξεις ότι είναι συνευθειακά τα 3 σημεία μπορείς να φτιάξεις διανύσματα ΟΑ και ΟΒ και να βρειίς την det (Ορίζουσες, χρησίμευαν πολύ στα μαθ κατ β' λυκ) η οποία για να είναι συνευθειακά πρέπει να είναι 0. Μόνος άγνωστος ο λ.

Nalfein · 23-02-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Καταρχήν θεωρείς τη συνάρτηση:

$G(x) = f(x)+xln x -x$

Έχουμε:

$G(1)=f(1) -1 <0$ (αφού $0<f(x)<1$ )

και

$G(e)=f(e)+e>0$ , για τον ίδιο λόγο.

Έτσι $G(1)G(e)<0$

Και επειδή $G$ είναι συνεχής, υπάρxει ένα τουλ. $x_{0}$ , από Θ. Bolzano, τ.ώ. $G(x_{0})=0$ .

Όμως $f'(x)geq 0$ , που σημαίνει ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα (δε μηδενίζεται σε οποιοδήποτε σημείο του Π.Ο. της, άρα δεν είναι σταθερή, άρα και η πρώτα παράγωγος μηδενίζεται σε πεπερασμένα σημεία).

Αντίστοιχα παραγωγίζουμε τη G και βγάζουμε ότι είναι γν. αύξουσα. Άρα και η λύση είναι μοναδική!

Στέλιος

Η τεκμηρίωση μετα το bolzano είναι λάθος, μπορει να ειναι f(x)=1/2 σταθερή απο τα δεδομένα που έχουμε. Μια καλύτερη τεκμηρίωση είναι οτι G(x) παραγωγίσιμη στο [1,e] με G'(x)=f'(x)+lnx+1-1=f'(x)+lnx
- Για x στο (1,e),
lnx>0 (1)
f'(x)>=0 (2)

(1)+(2) => G'(x)>0 για καθε x στο (1,e)

Έτσι, G'(x)>0 για καθε x στο (1,e) και G συνεχής στο [1,e] άρα G γνησίως αύξουσα στο [1,e], αρα και στο (1,e).Επομένως η ρίζα που βρέθηκε ειναι μοναδική στο (1,e)

andrew678 · 24-02-08

Παιδιά λίγη βοήθεια παρακαλώ για τις παρακάτω ασκήσεις:

exc · 25-02-08

Παιδιά, θέλω να που πείτε πώς βρίσκουμε την "βοηθητική" συνάρτηση στην παρακάτω άσκηση.

@@@Δίνεται ότι η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [0,2π], παραγωγίσιμη στο (0,2π) και f(x) μεγαλύτερο του 0 για κάθε χ που ανήκει στο [0,2π]. Αν f(0)=f(2π), νδο υπάρχει y που ανήκει στο (0,2π) τέτοιο ώστε: $f'(y)=2siny*\sqrt{f(y)}$ @@@

mostel · 25-02-08

Κάνεις Rolle στην:

$[\sqrt{f(x)}+cosx]'=0$

maria122132 · 26-02-08

Αν για τη συναρτηση f(x)=x^3+ax^2-lnx , ισχύει f(x)>=f(1) για καθε χ>0,να βρειτε το α.
Την εκανα,αλλα δεν ξερω που εκανα λαθος,δεν το βγαζω σωστα....

και ακόμα μία,

Εστω η συναρτηση F(x)=2^x+5^x+λ^χ-7^χ-10^χ
Να βρειτε το λ>0,ωστε F(x)<=1 για καθε χER

thanks!

01011001 · 26-02-08

1) f(x)>=f(1) -> για x=1 η f παρουσιάζει ελάχιστο -> f`(1)=0 -> a=-1

2) f(x)<=1 -> f(x)<=f(0) -> για x=0 η f παρουσιάζει μέγιστο -> f`(0)=0 -> λ = 7

exc · 26-02-08

Mostel, αυτό που δεν ξέρω είναι πώς βγαίνει αυτή η βοηθητική...

AnaCroN · 26-02-08

Τελικά όντως υπάρχουν εξωγήινοι!

mostel · 26-02-08

Λοιπόν, δες:

Αυτή που έδωσες γράφεται και:

$\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=sinx$

Ή

$\sqrt{f(x)}'=(-cosx)'$

κ.λπ.

mostel · 26-02-08

Δε γίνετια να 'ναι σταθερή.

Πάρε τη συνάρτηση x - xlnx . (Π.Ο. (1,e)). Θα δεις ότι μηδενίζει σε σημεία εκτός συνόλου τιμών της f, όπερ άτοπο.

Επίσης, το ότι λες πως είναι γνησίως αύξουσα δε σου εξασφαλίζει πως έχει και ρίζα!

Στέλιος

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος