Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

169 · 14-07-08

παντως mano66 δεν νομιζω πως αυτο ειναι δοκιμο
να θυμασε οτι |κ+λ|=/|κ|+|λ|

mostel · 14-07-08

Ισχύει αυτό που λες 169 (αλήθεια, ποιο είναι το όνομά σου ; ),

αλλά δεν έχει σχέση με τη λύση που προτείνει ο Μάνος.

Στέλιος

manos66 · 14-07-08

Κάθε μέτρο |z - w|, |w - u| και |u -z| είναι μήκος πλευράς ισοπλέυρου τριγώνου του μοναδιαίου κύκλου.
Άρα ισούται με R $sqrt{3}$ ή $sqrt{3}$ .

exc · 14-07-08

Και εγώ σκέφτηκα με το ισόπλευρο τρίγωνο που σχηματίζεται, το ρίζα 3 το έβγαλα με νόμο συνημιτόνων, όμως.

169 · 14-07-08

ειναι απλο
|z+w|=|u|=>|w-z|=|1-2z|
|z+u|=1=>|u-z|=|1-2z|
αρα |w-z|=|u-z|(1)
|w+u|=1=>|w-u|=|1-2u|
|z+u|=1=>|z-u|=|1-2u|
αρα |w-u|=|z-u|(2)
απο (1),(2)=>το ζητουμενο
ειναι σωστο;
καμια ιδεα για το (β);

mostel · 14-07-08

Το β το έχω απαντήσει πιο πάνω!

169 · 14-07-08

εχεις δικιο mostel ... δεν σου αρεσει το 169 σκεφτομουν και το1729..

mostel · 14-07-08

Όχι, απλώς μου φαίνεται άκυρο να σε αποκαλώ ως ένα νούμερο. Το Κωνσταντίνα ή Μαρία ακούγεται καλύτερο μάλλον.

Στέλιος

manos66 · 14-07-08

Αν θέλουμε ν.δ.ο. |z - w| = |w - u| "ξεφορτωνόμαστε" τον κοινό w
z + w + u = 0 άρα w = -z - u
Αρκεί ν.δ.ο. |2z + u| = |-z - 2u|
Υψώνω στο τετράγωνο (2z + u) $(2\frac{-}{z}$ + $\frac{-}{u})$ = (z + 2u) $(\frac{-}{z}$ +2 $\frac{-}{u})$
4 $|z|^2$ + 2z $\frac{-}{u}$ + 2u $\frac{-}{z}$ + $|u|^2$ = $|z|^2$ + 2z $\frac{-}{u}$ + 2u $\frac{-}{z}$ + 4 $|u|^2$

3 $|z|^2$ = 3 $|u|^2$
που ισχύει
(Συγνώμη για τους συζυγείς. Τώρα το μαθαίνω)
Όμοια |w - u| = |u - z|

169
|w+u|=1 ?????

mostel · 14-07-08

Βάζω και δύο λύσεις για το πρόβλημα:

Λύση 2η:

Είναι γνωστό ότι το ορθόκεντρο τριγώνου βρίσκεται στο:

$H=a+b+c$

Στην προκειμένη είναι $H=0$ .

Ακόμη, το βαρύκεντρο δίνεται από τον τύπο:

$G=\frac{a+b+c}{3}=0$

Άρα ορθόκεντρο=βαρύκεντρο=περίκεντρο = ισόπλευρο.

Λύση 3η:

Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα:

$|u-w|^2+|u+w|^2=2(|w^2|+|u^2|)$

Όμως $u+w+z=0$

Άρα:

$u+w=-z$

$|u-w|^2 + |z|^2=2(|w^2|+|u^2|)$

$|u-w|^2=4-1$

$|u-w|^2=3$

$|u-w|=\sqrt{3}$

Το ίδιο και για τα άλλα.

exc · 14-07-08

Πολλή έμπνευση έχει φέρει αυτή η άσκηση... 5-6 λύσεις συνολικά...

169 · 14-07-08

mano ειναι |z+u|=|-w|

169 · 14-07-08

mostel δεν το πετυχες το ονομα
προτιμω το 169 αν δεν σε πειραζει
αληθεια η λυση μου ειναι σωστη ;

mostel · 14-07-08

Δε καταλαβαίνω τι ακριβώς γράφεις. Αν θες, ξαναγράψε το αναλυτικά.

Στέλιος

169 · 14-07-08

δες την παλι απλα αντικαθιστω στις μεταβλητες απο την z+w+u=0
ευχαριστω που κοιταξες παντως

who · 15-07-08

Τώρα το είδα. Mostel είναι τέταρτου. Υπάρχει και πιο εύκολη λύση από το να βρείτε τις ρίζες. Να σας κάνω υπόδειξη ή να σας την λύσω???

who · 15-07-08

Αν $z^4-4z+6=0$ να αποδείξετε ότι $|z|>1$ .

ΛΥΣΗ

Έστω ότι $|z|<=1$ . Τότε, $4z-z^4=6$ ή $|4z-z^4|=|6|=6$ ή, από τριγωνική ανισότητα, $6=|4z-z^4|<=4|z|+|z|^4<=4*1+1^4=5$ . Δηλαδή $6<=5$ . Άτοπο. Άρα $|z|>1$ .

Ακόμα δεν έχω μάθει να χρησιμοποιώ το latex

mostel · 15-07-08

Με πρόλαβες.... Γιατί βιάστηκες αλήθεια να δώσεις τη λύση; :s

Α, και οι ρίζες σε αυτή δε βρίσκονται!

manos66 · 15-07-08

169

|z+u|=1 σωστό αλλά
|u-z|=|1-2z|;;;

169 · 15-07-08

αφαιρεις και απο τα δυο μελη το 2z

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος