Ασκήσεις μαθηματικών για ΑΕΙ

ultraviolence · 23-10-16

Ενώ μου φαίνεται εύκολη, έχω σκαλώσει, καμιά ιδέα; Aν είχα κάποιο διάστημα θα πήγαινα με θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αλλά τώρα έχω χαθεί λίγο.

Έρεβος · 23 Οκτωβρίου 2016

Αρχική Δημοσίευση από ultraviolence:
Ενώ μου φαίνεται εύκολη, έχω σκαλώσει, καμιά ιδέα; Aν είχα κάποιο διάστημα θα πήγαινα με θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αλλά τώρα έχω χαθεί λίγο.

Μπορείς να τη λύσεις με το θεώρημα Bolzano.
Θεώρησε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-s, όπου s η σταθερά του ερωτήματος α, β ή γ.
Εφόσον η g είναι πολυωνυμική περιττού βαθμού και ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός θα ισχύει ότι:
$\lim_{x\rightarrow +\infty}{g(x)} = +\infty$ (1) και
$\lim_{x\rightarrow -\infty}{g(x)} = -\infty$ (2).
Από το (1) συμπεραίνεις ότι υπάρχει κάποιο $x_+ \in \mathbb{R}$ "αρκετά μεγάλο" τέτοιο ώστε $g(x_+)>0$ .
Από το (2) συμπεραίνεις ότι υπάρχει κάποιο $x_- \in \mathbb{R}$ "αρκετά μικρό" τέτοιο ώστε $g(x_-)<0$ .
Επομένως από θεώρημα Bolzano θα υπάρχει κάποιο $c \in (x_-, x_+)$ τέτοιο ώστε $g(c)=0 \Rightarrow f(c)-s=0 \Rightarrow f(c)=s$ .
Για τα ερωτήματα α, β, μπορείς (με λίγη προσπάθεια) να βρεις και συγκεκριμένες τιμές για τα $x_+$ και $x_-$ , αλλά για το γ πρέπει να ακολουθήσεις την παραπάνω μέθοδο.

PeterTheGreat · 23-10-16

Προσπάθησα με ότι μαθηματικά θυμάμαι από το Λύκειο, και νομίζω ότι ήταν αρκετά εύκολη. Απλά έπρεπε να βρεις εσύ τιμές για τα διαστήματα. Εκτός αν έκανα καμία χοντρή πατάτα.

f'(x) = 3x^2 - 8, με ρίζες τις +/- -2 ριζα (2/3).

Για χ < -2 ριζα (2/3), η f' > 0, άρα η f γνησίως αύξουσα.
Για -2 ριζα (2/3) < χ < 2 ριζα (2/3), η f' < 0, άρα η f γνησίως φθίνουσα.
Για χ > 2 ριζα (2/3), η f' > 0, άρα η f γνησίως αύξουσα.

Από τα παραπάνω, στο

α) f(0) = 10, f(1) = 3 και στο διάστημα (0, 1) η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή 10 > π > 3, από το ΘΕΤ προκύπτει ότι στο διάστημα (0, 1) υπάρχει μία ακριβώς τιμή που είναι ίση με π.
β) lim f(x) με χ -> -οο είναι -οο και f(-3) = 7. Στο διάστημα (-οο, -3) η f είναι γνησίως φθίνουσα, και αφού τείνει στο άπειρο, υπάρχει ακριβώς μία τιμή σε αυτό το διάστημα στην οποία ισούται με -ρίζα(3).
γ) Το lim f(x) με χ -> +οο είναι +οο και f(2) = 2. Στο διάστημα (2, +οο) η f είναι γνησίως αύξουσα, και αφού τείνει στο άπειρο, υπάρχει ακριβώς μία τιμή στο (2, +oo) στην οποία ισούται με 5000000.

manolis_98 · 23-10-16

Για οποιοδήποτε σύνολο S και c ∈R, ορίζουμε cS={cx : x ∈ S}. Δείξτε ότι αν c > 0, τότε infcS = cinfS, supcS = csupS.
παίδες το deadline είναι κοντά ,ιδέες επειγόντως

rbullet1 · 23 Οκτωβρίου 2016

https://postimage.org/
Μπορεί κάποιος να μου πει τι κάνω στα 4 τελευταία;

Έρεβος · 23-10-16

Αρχική Δημοσίευση από manolis_98:
Για οποιοδήποτε σύνολο S και c ∈R, ορίζουμε cS={cx : x ∈ S}. Δείξτε ότι αν c > 0, τότε infcS = cinfS, supcS = csupS.
παίδες το deadline είναι κοντά ,ιδέες επειγόντως

Η απόδειξη γίνεται χρησιμοποιώντας τους ορισμούς των sup και inf.

Έστω $S \subset \mathbb{R}$ και $a = \sup\{S\}$ .
Τότε από ορισμό του sup θα ισχύει ότι $x\leq a, \forall x \in S \Rightarrow cx\leq ca, \forall x \in S$ . (c>0)
Επομένως το $ca$ είναι ένα άνω φράγμα του $cS$ .
(Αρκεί να δείξεις τώρα ότι δεν υπάρχει άλλο άνω φράγμα, μικρότερο του ca.)
Έστω ότι υπάρχει $b \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $cb<ca$ και $cb$ άνω φράγμα του $cS$ .
Τότε $cx \leq cb < ca, \forall x \in S \Rightarrow x \leq b < a, \forall x \in S$ .
Δηλαδή το b είναι ένα άνω φράγμα του S, μικρότερο του ελαχίστου άνω φράγματος του S. Άτοπο.
Άρα είναι $ca=c \sup \{S\}=\sup\{cS\}$ .

Εντελώς παρόμοια απόδειξη γίνεται και για το inf.

ultraviolence · 07-11-16

Καμιά ιδέα; Μήπως θέλει κανα rolle?

vassilis498 · 07-11-16

παίρνεις την περίπτωση f(Xo) = 0 και κάνεις 3 Rolle και καταλήγεις σε άτοπο.

παίρνεις την περίπτωση f(Xo) < 0 κάνεις 3 ΘΜΤ και παίρνεις πάλι άτοπο

ή παίρνεις απ' την αρχή το ΘΜΤ που ναι πιο γενικευμένο και παίρνεις περιπτώσεις εσωτερικά ό,τι θες

madjack · 07-11-16

Ή παίρνεις τα βουνά για να μην καταλήξεις στον τόπο.

Κούκου-Βάγια · 07-11-16

Λοιπον μπορει να ειναι απορια δημοτικου αλλα αυτη τη στιγμη εχω σκαλωσει lim[1+(1/n)]^n με n να τεινει +απειρο ποσο κανει?

manolis_98 · 7 Νοεμβρίου 2016

Κούκου-Βάγια · 07-11-16

Αρχική Δημοσίευση από manolis_98:
1

και γω τοσο το βγαζω αλλα το βιβλιο λεει e η κατι κανουμε λαθος η ειναι τυποφραγικο λαθος

manolis_98 · 07-11-16

μπα ,εγώ πρέπει να είμαι λάθος.με θέτω πάει αλλά τα έχω ψιλοξεχάσει

Guest 190013 · 07-11-16

Παιδιά, είναι ο ορισμός του e. Δε μπορεί να σας έβαλε κανείς να το υπολογίσετε, το μόνο που μπορεί κανείς να κάνει είναι να αποδείξει ότι η σχετική ακολουθία είναι αύξουσα και φραγμένη με το 3, άρα θα συγκλίνει σε μια τιμή εκεί κοντά που υπολογίστηκε αριθμητικά (όχι λύνοντας το όριο) σε 2,71.... και ονομάστηκε e προς τιμήν βέβαια του Euler

. Το χρησιμοποιούμε σαν ταυτότητα.

Κούκου-Βάγια · 07-11-16

Αρχική Δημοσίευση από klean:
Παιδιά, είναι ο ορισμός του e. Δε μπορεί να σας έβαλε κανείς να το υπολογίσετε, το μόνο που μπορεί κανείς να κάνει είναι να αποδείξει ότι η σχετική ακολουθία είναι αύξουσα και φραγμένη με το 3, άρα θα συγκλίνει σε μια τιμή εκεί κοντά που υπολογίστηκε αριθμητικά (όχι λύνοντας το όριο) σε 2,71.... και ονομάστηκε e προς τιμήν βέβαια του Euler . Το χρησιμοποιούμε σαν ταυτότητα.

οχι δε μας εβαλε κανεις να το αποδειξουμε στο βιβλιο το χρησημοποιει για να αποδειξει κατι αλλο κ απλα εγω το εβγαζα 1 δεν ηξερα οτι ειναι ταυτοτητα και το χρησημοποει αμεσως απο θεωρια
θενξ να σαι καλα :redface:

unπαικτable · 07-11-16

Αρχική Δημοσίευση από Κούκου-Βάγια:
οχι δε μας εβαλε κανεις να το αποδειξουμε στο βιβλιο το χρησημοποιει για να αποδειξει κατι αλλο κ απλα εγω το εβγαζα 1 δεν ηξερα οτι ειναι ταυτοτητα και το χρησημοποει αμεσως απο θεωρια
θενξ να σαι καλα

Ειναι ο ορισμος το e αυτος. Δεν μπορεις να δειξεις αναλυτικα οτι αυτο ειναι το οριο. Αλλα μπορεις να δειξεις οτι η ακουλουθια αυτη, ειναι κατω φραγμενη απο το 2 και ανω φραγμενη απο το 3. (Σχεδον ολα τα βιβλια αναλυσης εχουν αυτες τις αποδειξεις.)

Αγγελος Κοκ · 16-11-16

Μια ερωτηση στα ανωτερα μαθηματικα βολευει ο κανονας αλυσιδας;

unπαικτable · 16-11-16

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελος Κοκ:
Μια ερωτηση στα ανωτερα μαθηματικα βολευει ο κανονας αλυσιδας;

Τι εννοεις; Αλλες φορες βολευει αλλες οχι.

Αγγελος Κοκ · 16-11-16

Αρχική Δημοσίευση από Κούκου-Βάγια:
οχι δε μας εβαλε κανεις να το αποδειξουμε στο βιβλιο το χρησημοποιει για να αποδειξει κατι αλλο κ απλα εγω το εβγαζα 1 δεν ηξερα οτι ειναι ταυτοτητα και το χρησημοποει αμεσως απο θεωρια
θενξ να σαι καλα

Ουσιαστικα σε ορια της μορφης limx->00 (a^x) με αεR καλονικα γραφεις το α^χ σαν e^lna^x η e^xlna
Οποτε ουσιαστικα θα γινεται το οριο limx->00 e^(xlna)

unπαικτable · 16-11-16

αυτο δεν ειναι κανονας της αλυσιδας. αυτος ειναι
εσυ απλα αλλαζεις τη μορφη της εξισωσης(οπως πχ οταν εχεις το (x)^2 +2x+1 και το γραφεις (x+1)^2).

Ασκήσεις μαθηματικών για ΑΕΙ

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 190013

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος