Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Τάσος97 · 26-08-12

Αρχική Δημοσίευση από jj!:
Nαι

σου άξιζε

aggressive · 26-08-12

Ξάροπ, βάλε μας αν γίνεται την λύση σε spoiler.

ξαροπ · 27-08-12

Για την (1)

Έστω $x_1 = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}, x_2 =- \sqrt[3]{\frac{2}{9}}, x_3 = \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$ ,

τότε πρέπει ν.δ.ο. $a^3 + \sqrt[3]{6}a^2 - 1 = 0$ , όπου $a = x_1+x_2+x_3$

Ισχύει ότι $(x_1+x_2+x_3)^3 = {x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 + 3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) - 3x_1x_2x_3$ (1)

Επίσης ${x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 = \frac{1}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$ ,

$x_1x_2x_3 = -\sqrt[3]{\frac{1}{9} \frac{2}{9}\frac{4}{9}} = -\frac{2}{9}$ ,

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 = -\sqrt[3]{\frac{2}{81}} - \sqrt[3]{\frac{8}{81}} + \sqrt[3]{\frac{4}{81}} = - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}( \sqrt[3]{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}) = - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}a$

Άρα η (1) γράφεται ως $a^3 = \frac{1}{3} -3a\sqrt[3]{\frac{2}{9}}a -3(-\frac{2}{9} ) \Leftrightarrow 3a^3 = 1 - 3\sqrt[3]{6}a^2 +2$

$\Leftrightarrow a^3 + \sqrt[3]{6}a^2 - 1 = 0$ , ο.ε.δ.

Και για την (2)

Είναι $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c) = abc$

$\Leftrightarrow a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a + a^2c + 2abc = 0$

$\Leftrightarrow ab(a+b) + b^2c + abc + a^2c + abc + bc^2 + ac^2 = 0$

$\Leftrightarrow ab(a+b) + bc(b+a) + ca(a+b) + c^2(a+b) = 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(b(a+c) + c(a+c)) = 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a) = 0$

Από εδώ λαμβάνουμε ότι $a = - b$ , ή $b = -c$ , ή $c = -a$

Άρα για περιττά n θα ισχύει ότι $a^n = -b^n$ κ.ο.κ.

Από εδώ και πέρα το αποτέλεσμα είναι προφανές, λχ. αν a = -b τότε

$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^n = \frac{1}{c^n}$ .

Και μια νέα:

Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου, τότε $(a^2+b^2+c^2)^2 > 2(a^4+b^4+c^4)$

(Υποδ.: Θεωρήστε τριώνυμο ως προς $a^2$ )

Alejandro che 7 · 30 Αυγούστου 2012

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Για την (1)

Έστω $x_1 = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}, x_2 =- \sqrt[3]{\frac{2}{9}}, x_3 = \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$ ,

τότε πρέπει ν.δ.ο. $a^3 + \sqrt[3]{6}a^2 - 1 = 0$ , όπου $a = x_1+x_2+x_3$

Ισχύει ότι $(x_1+x_2+x_3)^3 = {x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 + 3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) - 3x_1x_2x_3$ (1)

Επίσης ${x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 = \frac{1}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$ ,

$x_1x_2x_3 = -\sqrt[3]{\frac{1}{9} \frac{2}{9}\frac{4}{9}} = -\frac{2}{9}$ ,

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 = -\sqrt[3]{\frac{2}{81}} - \sqrt[3]{\frac{8}{81}} + \sqrt[3]{\frac{4}{81}} = - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}( \sqrt[3]{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}) = - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}a$

Άρα η (1) γράφεται ως $a^3 = \frac{1}{3} -3a\sqrt[3]{\frac{2}{9}}a -3(-\frac{2}{9} ) \Leftrightarrow 3a^3 = 1 - 3\sqrt[3]{6}a^2 +2$

$\Leftrightarrow a^3 + \sqrt[3]{6}a^2 - 1 = 0$ , ο.ε.δ.

Και για την (2)

Είναι $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c) = abc$

$\Leftrightarrow a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a + a^2c + 2abc = 0$

$\Leftrightarrow ab(a+b) + b^2c + abc + a^2c + abc + bc^2 + ac^2 = 0$

$\Leftrightarrow ab(a+b) + bc(b+a) + ca(a+b) + c^2(a+b) = 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(b(a+c) + c(a+c)) = 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a) = 0$

Από εδώ λαμβάνουμε ότι $a = - b$ , ή $b = -c$ , ή $c = -a$

Άρα για περιττά n θα ισχύει ότι $a^n = -b^n$ κ.ο.κ.

Από εδώ και πέρα το αποτέλεσμα είναι προφανές, λχ. αν a = -b τότε

$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^n = \frac{1}{c^n}$ .

Και μια νέα:

Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου, τότε $(a^2+b^2+c^2)^2 > 2(a^4+b^4+c^4)$

(Υποδ.: Θεωρήστε τριώνυμο ως προς $a^2$ )

ανοίγουμε παρενθέσεις κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και φτάνουμε εύκολα στην παράσταση $a^4+b^4+c^4-2{a}^{2}{b}^{2}-2{b}^{2}{c}^{2}-2{a}^{2}{c}^{2}<0$ το μετατρέπουμε σε τριώνυμο ως προς a $a^4+{a}^{2}(-2{b}^{2}-2{c}^{2})+b^4+c^4-2{b}^{2}{c}^{2}<0$ . Όμως $b^4+c^4-2{b}^{2}{c}^{2}=({b}^{2}-{c}^{2})^2$ . Παίρνουμε διακρίνουσα η οποία μετά από διαφορά τετραγώνων και πράξεις καταλήγουμε ότι ισούται με $16{b}^{2}{c}^{2}$ . Από τον τύπο εύρεσης ριζών δευτεροβάθμιας καταλήγουμε στις ρίζες ${a}_{1}=(b+c)^2 {a}_{2}=(b-c)^2$ . Έτσι η ανίσωση παίρνει τη μορφή $[a^2-(b+c)^2][a^2-(b-c)^2]<0$ που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας

Alejandro che 7 · 30-08-12

ρε ξαρόπ με μπέρδεψες με την υπόδειξη για το τριώνυμο ως προς a^2 δεν λύνεται και έτσι; $a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2<0\Leftrightarrow (a^2-b^2+c^2)^2-4a^2c^2<0\Leftrightarrow (a^2-b^2+c^2-2ac)(a^2-b^2+c^2+2ac)<0\Leftrightarrow [(a-c)^2-b^2][(a+c)^2-b^2]<0\Leftrightarrow (a-c-b)(a-c+b)(a+c-b)(a+c+b)<0$ που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας

ξαροπ · 30-08-12

Ωραία, σωστά είναι και τα δύο απλά η χρήση τριωνύμου διευκολύνει την παραγοντοποίηση σε αυτήν την περίπτωση.

Κι ένα άλλο πάνω στα τρίγωνα: Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου, δείξτε ότι $a^2+b^2 + c^2 < 2(ab+bc+ca)$

Guest 018946 · 30-08-12

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Ωραία, σωστά είναι και τα δύο απλά η χρήση τριωνύμου διευκολύνει την παραγοντοποίηση σε αυτήν την περίπτωση.

Κι ένα άλλο πάνω στα τρίγωνα: Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου, δείξτε ότι $a^2+b^2 + c^2 < 2(ab+bc+ca)$

Στο ίδιο μοτιβω θεωρω το τριωνυμο ως προς α βγαζω ριζες , εφαρμοζω τριγωνικη και βγηκε

aggressive · 30-08-12

Μπορεί να μου πει κάποιος μερικά πράγματα για τους μιγαδικούς?? Τι είναι, που χρησιμεύουν και πώς συνεχίζεται η διακρίνουσα με μιγαδικούς?

ξαροπ · 30-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Στο ίδιο μοτιβω θεωρω το τριωνυμο ως προς α βγαζω ριζες , εφαρμοζω τριγωνικη και βγηκε

Καλά, κάντε και τη διαδικασία για εξάσκηση

Κάτι διαφορετικό τώρα, δείξτε ότι $\frac{1}{2\sqrt{n}} < \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Αρχική Δημοσίευση από aggressive:
Μπορεί να μου πει κάποιος μερικά πράγματα για τους μιγαδικούς?? Τι είναι, που χρησιμεύουν και πώς συνεχίζεται η διακρίνουσα με μιγαδικούς?

Μιγαδικοί είναι οι αριθμοί που ορίζονται στο σύνολο RxR (ή αλλιώς C) ως ζεύγος δύο πραγματικών αριθμών x,y (εξού και το RxR), δηλαδή z = (x,y). Σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, με τον x-άξονα να ορίζει το στοιχείο x και τον y-άξονα να ορίζει το στοιχείο y, ο μιγαδικός z είναι ένα σημείο (x,y) (αυτό λέγεται κι αλλιώς μιγαδικό επίπεδο).

Από τις αλγεβρικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού / πρόσθεσης στο R προκύπτει ότι κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο στην αλγεβρική μορφή z = x+iy, όπου x,y πραγματικοί και i η φανταστική μονάδα (για την οποία αποδεικνύεται ότι $i^2 = -1$ ).

- Από την παραπάνω μορφή το x λέγεται και αλλιώς 'πραγματικό μέρος του z' και συμβολίζεται συνήθως με Re(z) (από το real)
- Όμοια το y λέγεται και 'φανταστικό μέρος του z' και συμβολίζεται με Im(z) (από το imaginary)
- Αν Re(z) = 0, τότε ο z = iy λέγεται και αλλιώς φανταστικός (και βρίσκεται πάνω στον y-αξονα του μιγαδικού επιπέδου)
- Αν Im(z) = 0 τότε ο z = x είναι πραγματικός αριθμός (και βρίσκεται πάνω στον x-άξονα, ή όπως είναι γνωστό σε σας τον άξονα των πραγματικών)
- Συζυγείς μιγαδικοί είναι οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει ότι έχουν ίσα πραγματικά μέρη και αντίθετα φανταστικά μέρη
- Μέτρο $|z|$ μιγαδικού z είναι γεωμετρικά η απόσταση της εικόνας του M(x,y) από την αρχή Ο του μιγαδικού επιπέδου. Άρα $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
- Ότι ισχύει για τους μιγαδικούς ισχύει και για τους πραγματικούς, αφού το R είναι υποσύνολο του C

Η χρησιμότητά τους είναι ολόκληρη ιστορία, απλά ενδεικτικά δες εδώ (https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications). Να πω επίσης ότι η ύπαρξή τους είναι σύμφωνη με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, που λέει ότι κάθε μη-μηδενικό πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές και βαθμό n έχει ακριβώς n ρίζες.

Όσον αφορά τη διακρίνουσα σε τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, ακολουθείται κανονικά η διαδικασία επίλυσης τριωνύμου ως προς εύρεση ριζών (όπως νομίζω μάθατε στο γυμνάσιο), απλά στην περίπτωση Δ < 0 το τριώνυμο $ax^2 + bx + c = 0$

μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως $a[(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{-D}{4a^2}] = 0 \Leftrightarrow (x+\frac{b}{2a})^2 - i^2(\frac{\sqrt{-D}}{2a})^2 = 0$

Άρα σε αυτήν την περίπτωση παίρνετε τις δυο συζυγείς μιγαδικές ρίζες $x_{1,2} = \frac{-b \pm i \sqrt{-D}}{2a}$ .

Τώρα αν μιλάμε για τριώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές, η διαδικασία αλλάζει, θα τα πούμε άλλη φορά...

Επίσης σημαντικό: γενικά δε νοείται διάταξη των μιγαδικών, αφού είναι σημεία στο επίπεδο και δε βρίσκονται σε συγκεκριμένο άξονα όπως οι πραγματικοί (δηλ. δεν μπορείς να πεις ότι αυτός ο μιγαδικός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο)

aggressive · 30-08-12

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Μιγαδικοί είναι οι αριθμοί που ορίζονται στο σύνολο RxR (ή αλλιώς C) ως ζεύγος δύο πραγματικών αριθμών x,y (εξού και το RxR), δηλαδή z = (x,y). Σε σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, με τον x-άξονα να ορίζει το στοιχείο x και τον y-άξονα να ορίζει το στοιχείο y, ο μιγαδικός z είναι ένα σημείο (x,y) (αυτό λέγεται κι αλλιώς μιγαδικό επίπεδο).

Από τις αλγεβρικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού / πρόσθεσης στο R προκύπτει ότι κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο στην αλγεβρική μορφή z = x+iy, όπου x,y πραγματικοί και i η φανταστική μονάδα (για την οποία αποδεικνύεται ότι $i^2 = -1$ ).

- Από την παραπάνω μορφή το x λέγεται και αλλιώς 'πραγματικό μέρος του z' και συμβολίζεται συνήθως με Re(z) (από το real)
- Όμοια το y λέγεται και 'φανταστικό μέρος του z' και συμβολίζεται με Im(z) (από το imaginary)
- Αν Re(z) = 0, τότε ο z = iy λέγεται και αλλιώς φανταστικός (και βρίσκεται πάνω στον y-αξονα του μιγαδικού επιπέδου)
- Αν Im(z) = 0 τότε ο z = x είναι πραγματικός αριθμός (και βρίσκεται πάνω στον x-άξονα, ή όπως είναι γνωστό σε σας τον άξονα των πραγματικών)
- Συζυγείς μιγαδικοί είναι οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει ότι έχουν ίσα πραγματικά μέρη και αντίθετα φανταστικά μέρη
- Μέτρο $|z|$ μιγαδικού z είναι γεωμετρικά η απόσταση της εικόνας του M(x,y) από την αρχή Ο του μιγαδικού επιπέδου. Άρα $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
- Ότι ισχύει για τους μιγαδικούς ισχύει και για τους πραγματικούς, αφού το R είναι υποσύνολο του C

Η χρησιμότητά τους είναι ολόκληρη ιστορία, απλά ενδεικτικά δες εδώ (https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications). Να πω επίσης ότι η ύπαρξή τους είναι σύμφωνη με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, που λέει ότι κάθε μη-μηδενικό πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές και βαθμό n έχει ακριβώς n ρίζες.

Όσον αφορά τη διακρίνουσα σε τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, ακολουθείται κανονικά η διαδικασία επίλυσης τριωνύμου ως προς εύρεση ριζών (όπως νομίζω μάθατε στο γυμνάσιο), απλά στην περίπτωση Δ < 0 το τριώνυμο $ax^2 + bx + c = 0$

μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως $a[(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{-D}{4a^2}] = 0 \Leftrightarrow (x+\frac{b}{2a})^2 - i^2(\frac{\sqrt{-D}}{2a})^2 = 0$

Άρα σε αυτήν την περίπτωση παίρνετε τις δυο συζυγείς μιγαδικές ρίζες $x_{1,2} = \frac{-b \pm i \sqrt{-D}}{2a}$ .

Τώρα αν μιλάμε για τριώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές, η διαδικασία αλλάζει, θα τα πούμε άλλη φορά...

Επίσης σημαντικό: γενικά δε νοείται διάταξη των μιγαδικών, αφού είναι σημεία στο επίπεδο και δε βρίσκονται σε συγκεκριμένο άξονα όπως οι πραγματικοί (δηλ. δεν μπορείς να πεις ότι αυτός ο μιγαδικός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο)

ΑΧΆ.

Ενδιαφέρον.

Ξάροπ από που βρίσκεις τις ασκήσεις που παραθέτεις?

aggressive · 30-08-12

Ας βάλω και εγώ μια, γιατί έχουμε βαρεθεί.

Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \succ 0$ και $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =1$ ΝΑΟ:

$\alpha \sqrt{\frac{\left(1+{\beta }^{2} \right)\left(1+{\gamma }^{2} \right)}{1+{\alpha }^{2}}}+\beta \sqrt{\frac{\left(1+{\gamma }^{2} \right)\left(1+{\alpha }^{2} \right)}{1+{\beta }^{2}}}+\gamma \sqrt{\frac{\left(1+{\alpha }^{2} \right)\left(1+{\beta }^{2} \right)}{1+{\gamma }^{2}}}=2$

ξαροπ · 31-08-12

Αρχική Δημοσίευση από aggressive:
Ξάροπ από που βρίσκεις τις ασκήσεις που παραθέτεις?

Βιβλία άλγεβρας, κυρίως ξενόγλωσσα. Οι τελευταίες είναι από το βιβλίο Equations & Inequalities, από τη Μαθηματική Εταιρεία του Καναδά. Εννοείται ότι το βιβλίο έχει και πολλά πράγματα ανεβασμένου επιπέδου, οπότε μπαίνουν ασκήσεις που ταιριάζουν (ε, κάπως) στα πλαίσια δυνατοτήτων των μαθητών Α' Λυκείου.

Hint για την τελευταία άσκηση: Όπου 1 βάλτε την δεδομένη συνθήκη...

Alejandro che 7 · 31-08-12

Αρχική Δημοσίευση από aggressive:
Ας βάλω και εγώ μια, γιατί έχουμε βαρεθεί.

Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \succ 0$ και $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =1$ ΝΑΟ:

$\alpha \sqrt{\frac{\left(1+{\beta }^{2} \right)\left(1+{\gamma }^{2} \right)}{1+{\alpha }^{2}}}+\beta \sqrt{\frac{\left(1+{\gamma }^{2} \right)\left(1+{\alpha }^{2} \right)}{1+{\beta }^{2}}}+\gamma \sqrt{\frac{\left(1+{\alpha }^{2} \right)\left(1+{\beta }^{2} \right)}{1+{\gamma }^{2}}}=2$

ρητοποιούμε τους παρανομαστές και στη συνέχεια θέτουμε όπου 1 την παράσταση αβ+βγ+αγ. Στους αριθμητές λοιπόν εμφανίζεται η παράσταση $\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}=\sqrt{(ab+bc+ac+a^2)(ab+bc+ac+b^2)(ab+bc+ac+c^2)}$ . Όμως $ab+bc+ac+a^2=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c) ab+bc+ac+b^2=b(a+b)+c(a+b)=(a+b)(b+c) ab+bc+ac+c^2=c(b+c)+a(b+c)=(a+c)(b+c)$
Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη έχουμε $(ab+bc+ac+a^2)(ab+bc+ac+b^2)(ab+bc+ac+c^2)=(a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2$ . Οι ρίζες φεύγουν με τα τετράγωνα γνωρίζοντας ότι a,b,c>0 και έτσι καταλήγουμε στην παράσταση $a\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+b)(a+c)}+b\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+b)(b+c)}+c\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+c)(b+c)}=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=ab+ac+ab+bc+ac+bc=(ab+ac+bc)+(ab+ac+bc)=1+1=2$

Guest 018946 · 01-09-12

Για δειτε αυτη : Να λυθει $\displaystyle{5x^2 +2x+3=2sinx}$

OChemist · 02-09-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Για δειτε αυτη : Να λυθει $\displaystyle{5x^2 +2x+3=2sinx}$

Η δοθησα αυτη εξισωση ΔΕΝ λυνεται.......δεν εχει ΚΑΝΕΝΑ κοινο σημειο η f(x)=5x^2 +2x+3 με την g(x)=2ημχ https://www.wolframalpha.com/input/?i=5x%5E2%2B2x%2B3%3D2sinx (τουλαχιστον OXI στο R......στο C κατι μπορουμε να κανουμε)....Μηπως εχεις κανει καποιο λαθος..???? :hmm:

ξαροπ · 02-09-12

Γιατί να είναι λάθος; Δεν είναι και υπερβατική η εξίσωση...μπορείς απλά να πεις

$2sinx \leq 2$

$5x^2 + 2x + 3 > 2$

Άρα no λύσεις στο R

aggressive · 02-09-12

Αρχική Δημοσίευση από vassilakos:
Η δοθησα αυτη εξισωση ΔΕΝ λυνεται.......δεν εχει ΚΑΝΕΝΑ κοινο σημειο η f(x)=5x^2 +2x+3 με την g(x)=2ημχ https://www.wolframalpha.com/input/?i=5x%5E2%2B2x%2B3%3D2sinx (τουλαχιστον OXI στο R......στο C κατι μπορουμε να κανουμε)....Μηπως εχεις κανει καποιο λαθος..????

ωραίο το site.

Guest 018946 · 02-09-12

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Γιατί να είναι λάθος; Δεν είναι και υπερβατική η εξίσωση...μπορείς απλά να πεις

$2sinx \leq 2$

$5x^2 + 2x + 3 > 2$

Άρα no λύσεις στο R

σωστος .

Guest 018946 · 5 Σεπτεμβρίου 2012

για δειτε και αυτη

Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1 , a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$

και αν $a,b,c\neq 0,$ να δείξετε ότι $xy+yz+zx=0$

Alejandro che 7 · 5 Σεπτεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
για δειτε και αυτη

Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1 , a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$

και αν $a,b,c\neq 0,$ να δείξετε ότι $xy+yz+zx=0$

Έστω

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\lambda\Leftrightarrow \lambda a=x \lambda b=y \lambda c=z \Leftrightarrow {(\lambda a)}^{2}={x}^{2} {(\lambda b)}^{2}=y^2 {(\lambda c)}^{2}=z^2\Leftrightarrow (\lambda a)^2+(\lambda b)^2+(\lambda c)^2=x^2+y^2+z^2\Leftrightarrow \lambda^2(a^2+b^2+c^2)=x^2+y^2+z^2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\lambda^2$ . Ακόμα $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z=\lambda\Leftrightarrow (x+y+z)^2=\lambda^2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zy=\lambda^2$ . Στις δύο αυτές σχέσεις τα δεύτερα μέλη είναι ίσα άρα και τα πρώτα ίσα. Άρα: $x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zy=x^2+y^2+z^2\Leftrightarrow 2xy+2xz+2yz=0\Leftrightarrow xy+xz+yz=0$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος