Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

manos66 · 12-05-09

Θέματα & απαντήσεις επαναληπτικών 2005
View attachment mathkat_epan_05.pdf

dafne_mm24 · 12-05-09

Civilara · 12-05-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Ρε παιδιά μήπως ξέρετε που μπορώ να βρω τις απαντήσεις, ειδικά αν ξέρεται ποιος είναι ο τρόπος λύσης του 3ου θέματος(γ ερώτημα)
(και 4ο δεν θα με χαλούσε,αν μου στέλνατε τις απαντήσεις)
https://www.ypepth.gr/themata/them_mat_kat_c_hmer_epan_0705.pdf

νομίζω ότι κάτι δεν μου καλλάει στο τρίτο ερώτημα του 3ου θέματος

3ο ΘΕΜΑ

(α) Έστω x1, x2 ανήκει R με x1 διάφορο x2 και έστω x1<x2

f παραγωγίσιμη στο R -> f συνεχής στο R

f συνεχής στο [x1,x2], f παραγωγίσιμη στο (x1,x2) -> ΘΜΤ: υπάρχει ξ ανήκει (x1,x2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

f΄(ξ) διάφορο 0 -> f(x2)-f(x1) διάφορο 0 -> f(x1) διάφορο f(x2)

Άρα για κάθε x1,x2 ανήκει R με x1 διάφορο x2 ισχύει f(x1) διάφορο f(x2). Άρα η f είναι 1-1 -> f αντιστρέψιμη

(β) f αντιστρέψιμη -> (f-1) 1-1

A(1,2005) ανήκει Cf -> f(1)=2005 -> (f-1)(2005)=1
B(-2,1) ανήκει Cf -> f(-2)=1 -> (f-1)(1)=-2

(f-1)(-2004+f((x^2)-8)=-2=(f-1)(1) -> -2004+f((x^2)-8)=1 ->
-> f((x^2)-8)=2005=f(1) -> (x^2)-8=1 -> (x^2)=9 ->
-> x=3 ή x=-3

(γ) η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ1=-(1/668)

f συνεχής στο [-2,1] και παραγωγίσιμη στο (-2,1) -> ΘΜΤ: υπάρχει x0 ανήκει στο (-2,1) τέτοιο ώστε f΄(x0)=(f(1)-f(-2))/(1-(-2))=2004/3=668

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (δ) στο (x0,f(x0)) είναι λ2=f΄(x0)=668

λ1λ2=(-1/668)*668=-1 -> ε κάθετη δ
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Ρε παιδιά μήπως ξέρετε που μπορώ να βρω τις απαντήσεις, ειδικά αν ξέρεται ποιος είναι ο τρόπος λύσης του 3ου θέματος(γ ερώτημα)
(και 4ο δεν θα με χαλούσε,αν μου στέλνατε τις απαντήσεις)
https://www.ypepth.gr/themata/them_mat_kat_c_hmer_epan_0705.pdf

νομίζω ότι κάτι δεν μου καλλάει στο τρίτο ερώτημα του 3ου θέματος

4ο ΘΕΜΑ

(α) i) Για x ανήκει R* ισχύει f(x)=((f(x)-x)/(x^2))*(x^2)+x

Άρα lim(x->0)f(x)=lim(x->0)((f(x)-x)/(x^2))*lim(x->0)(x^2)+lim(x->0)x=2005*(0^2)+0=0

f συνεχής στο R -> f συνεχής στο 0 -> f(0)=lim(x->0)f(x)=0

ii) Για x ανήκει στο R* ισχύει (f(x)/x)=((f(x)-x)/(x^2))*x+1

Άρα lim(x->0)(f(x)/x)=lim(x->0)((f(x)-x)/(x^2))*lim(x->0)x+lim(x->0)1=2005*0+1=1

Εξετάζουμε αν f παραγωγίσιμη στο 0

lim(x->0)((f(x)-f(0))/(x-0))=lim(x->0)(f(x)/x)=1

Άρα f παραγωγίσιμη στο 0 με f΄(0)=1

(β) lim(x->0)(((x^2)+λ*(f(x)^2))/(2*(x^2)+(f(x)^2)))=

=lim(x->0)((1+λ*((f(x)/x)^2))/(2+((f(x)/x)^2)))=(1+λ*(f΄(0)^2))/(2+(f΄(0)^2))=

=(1+λ)/3

Άρα (1+λ)/3=3 -> 1+λ=9 -> λ=8

(γ) i) Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x)*(e^(-x)), x ανήκει R

g συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με g΄(x)=(f΄(x)-f(x))*(e^(-x))>0 για κάθε x ανήκει R

Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R
g(0)=f(0)*(e^(-0))=0*1=0

x>0 -> g(x)>g(0) -> f(x)*(e^(-x))>0 -> f(x)>0 για x>0
x<0 -> g(x)<g(0) -> f(x)*(e^(-x))<0 -> f(x)<0 για x<0

Άρα xf(x)>0 για κάθε x ανήκει R*

ii) f συνεχής στο R -> F(x)=S(0,x)f(t)dt συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με F΄(x)=f(x)

(Γενικά : S(α,β)f(x)dx=ορισμένο ολοκλήρωμα της f με κάτω όριο ολοκλήρωσης το α και πάνω το β)

Θεωρώ την συνάρτηση h(x)=f(x)-F(x)=f(x)-S(0,x)f(t)dt

h συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με h΄(x)=f΄(x)-f(x)>0 για κάθε x ανήκει R.
Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο R.
h(0)=f(0)-S(0,0)f(t)dt=0-0=0
h(1)=f(1)-S(0,1)f(t)dt

1>0 -> h(1)>h(0) -> f(1)-S(0,1)f(t)dt>0 -> S(0,1)f(t)dt<f(1)

και επειδή το σύμβολο της μεταβλητής ολοκλήρωσης δεν έχει σημασία τότε S(0,1)f(x)dx<f(1).

Metal-Militiaman · 12-05-09

και εγώ θέλω να σας ρωτήσω με την σειρά μου, μια υπόθεση που γίνεται σε ένα υποερώτημα μιας άσκησης μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για να αποαντήσουμε τα άλλα ερώτηματα γιατί στην προκειμένη περίπτωση τα σημεία Α(1,2005) , Β(-2,1) αναφέρονται στο ερώτημα β και όχι στην αρχή που λέει τα ζητούμενα και για απαντήσουμε το γ χρησιμοποιήσαμε το β.

Γενικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την υπόθεση ενός ερωτήματας για να απαντήσουμε τα υπόλοιπα ερωτήματα ή τα αγνούμε επειδή δεν αναφέρονται στην αρχή της άσκησης?

chris_90 · 12-05-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Γενικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την υπόθεση ενός ερωτήματας για να απαντήσουμε τα υπόλοιπα ερωτήματα ή τα αγνούμε επειδή δεν αναφέρονται στην αρχή της άσκησης?

Ναι, γινεται. Πχ αν μια σχεση αναφερεται στο β ερωτημα και χρησιμοποιειται για τη λυση του γ, μπορεις να τη χρησιμοποιησεις χωρις να χασεις μορια απο το γ ερωτημα (αν το 'χεις λυσει σωστα).

Metal-Militiaman · 12-05-09

Αρχική Δημοσίευση από chris_90:
Ναι, γινεται. Πχ αν μια σχεση αναφερεται στο β ερωτημα και χρησιμοποιειται για τη λυση του γ, μπορεις να τη χρησιμοποιησεις χωρις να χασεις μορια απο το γ ερωτημα (αν το 'χεις λυσει σωστα).

να σαι καλά ρε φίλε γιατί τόσο καιρό και με τόσες ασκήσεις που έλυσα φέτος ,ειδικά μαθηματικά και φυσική κατεύθυνσης, χθες απόρησα αν γίνεται να εφαρμόσω της υποθέσεις των υποερωτημάτων και στα άλλα υποερωτήματα.
κοίτα να δεις τόσες ασκήσεις ,τόσες ώρες διάβασμα μου ρθε λίγο καιρό πριν τις εξετάσεις η απορία. έκλεισε και το φροντιστήριο μου την προηγούμενη εβδομάδα και δεν ήξερε ποιον να ρωτήσω.

Civilara · 13-05-09

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο [α,β] συνάρτηση f με f([α,β])=[α,β]. Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν ξ, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 του [α,β] ώστε να ισχύει:

f(ξ)(β-α)=f(ξ1)f΄(ξ2)(ξ3-ξ4)

-----------------------------------------
Αν α και β είναι ο μεγάλος και μικρός ημιάξονας αντίστοιχας έλλειψης, να βρεθεί η μέγιστη τιμή του εμβαδού της αν

α=((e^x)-x+1) και β=ln((x^2)+1) όπου x ανήκει R
-----------------------------------------
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση που στρέφει τα κοίλα άνω στο R. Αν υπάρχει x0 στο R ώστε f΄(x0)>0 Τότε να δειχτεί ότι:

lim(x->+άπειρο)f(x)=+άπειρο
-----------------------------------------
Αν Iν=S(0,π/4)((εφx)^ν)dx, τότε να δειχτεί ότι Iν=(1/ν-1)-Iν-2
-----------------------------------------
Αν f 3 φορές παραγωγίσιμη στο R με
lim(x->+άπειρο)f(x)=lim(x->+άπειρο)f΄(x)=lim(x->+άπειρο)f΄΄(x)=-άπειρο και
lim(x->+άπειρο)((xf΄΄΄(x))/(f΄΄(x)))=-2

να δειχτεί ότι lim(x->+άπειρο)((xf΄(x))/(f(x)))=0
-----------------------------------------
Αν f συνεχής στο [α,β] με f(x)>0 για κάθε x στο [α,β] τότε να δειχτεί ότι

(S(α,β)f(x)dx)*(S(α,β)(1/f(x))dx)>=(α-β)^2

-----------------------------------------
Να λυθεί στο R η εξίσωση (6^x)+(3^x)=(5^x)+(4^x)

m3Lt3D · 13-05-09

Εστω f ορισμενη και συνεχης στο R.
H $F(x)=f(x)\int_{0}^{x}f(t)dt$ ειναι φθινουσα.

Να δειξετε οτι f(x)=0 για καθε x στο R.

:bye:

ledzeppelinick · 13-05-09

εμ.. μπερδυτηκα λιγο.. αν f(x)=0 τοτε F(x)=0 για καθε x ανηκει R.. ομως F φθινουσα άρα για χ1<χ2 F(x1)>F(x2).. εκτος αν φθινουσα δε σημαινει ΓΝΗΣΙΩΣ φθινουσα αρα ειναι >=.. :hmm:

hearts_alive · 17-05-09

Αρχική Δημοσίευση από dafne_mm24:

Το να πετάτε "τόνο" (κοινώς, να παραγωγίζετε) μία συνάρτηση που δεν ξέρουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της παρά μόνο σε ένα σημείο, μόνο και μόνο για να αντικαταστήσετε το σημείο (εν προκειμένω το γ) δεν είναι λάθος;!

lostG · 17-05-09

Αρχική Δημοσίευση από viridian:
Το να πετάτε "τόνο" (κοινώς, να παραγωγίζετε) μία συνάρτηση που δεν ξέρουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της παρά μόνο σε ένα σημείο, μόνο και μόνο για να αντικαταστήσετε το σημείο (εν προκειμένω το γ) δεν είναι λάθος;!

Φυσικά και δεν είναι λάθος γιατί η παράγωγος συνάρτηση μπορεί να έχει ως πεδίο ορισμού και ένα μοναδικό σημείο.Δεν υποάρχει πρόβλημα.

Civilara · 18-05-09

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
Εστω f ορισμενη και συνεχης στο R.
H $F(x)=f(x)int_{0}^{x}f(t)dt$ ειναι φθινουσα.

Να δειξετε οτι f(x)=0 για καθε x στο R.

Επειδή η f είναι συνεχής στο R, τότε η

$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με $g΄(x)=f(x)$

Θεωρώ την συνάρτηση

$G(x)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{x}f(t)dt \right)^2=\frac{1}{2}[g(x)]^2$

Η G είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με

$G΄(x)=f(x)\left\int_{0}^{x}f(t)dt \right=F(x)$

Άρα η G΄ είναι φθίνουσα στο R. Δηλαδή για κάθε x1, x2 στο R ισχύει η συνεπαγωγή

${x}_{1}<{x}_{2}\Rightarrow G΄({x}_{1})\geq G΄({x}_{2})<br />$

Είναι F(0)=0. Έχουμε

$x>0\Rightarrow F(x)\leq F(0)\Rightarrow F(x)\leq 0\Rightarrow G΄(x)\leq 0$

Άρα η G είναι φθίνουσα στο [0, +άπειρο).

$x<0\Rightarrow F(x)\geq F(0)\Rightarrow F(x)\geq 0\Rightarrow G΄(x)\geq 0$

Άρα η G είναι αύξουσα στο (-άπειρο,0].

Συνεπώς η G παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0 με τιμή G(0)=0. Άρα

$G(x)\leq G(0)\Rightarrow G(x)\leq 0\Rightarrow \left(\int_{0}^{x}f(t)dt \right)^2\leq 0$

και επειδή $\left(\int_{0}^{x}f(t)dt \right)^2\geq 0$

τότε

$\left(\int_{0}^{x}f(t)dt \right)^2=0\Rightarrow \left\int_{0}^{x}f(t)dt \right=0\Rightarrow g(x)=0$

Άρα g(x)=0 για κάθε x στο R. Επομένως

$f(x)=g΄(x)=0$

Άρα f(x)=0 για κάθε x στο R.

ΠΟΛΥ ΩΡΑΙΑ ΑΣΚΗΣΗ

dafne_mm24 · 18-05-09

η f είναι δις παραγωγίσιμη στο σημείο γ, άρα έχω δικαίωμα να γράψω f''(γ). ίσως θα μπορούσα να μην είχα γράψει την ισότητα της f''(x)

markou · 18-05-09

τζάμπα ασχολείστε με αυτά παίδες. γνώμη μου.

hearts_alive · 19-05-09

Όχι, μάλλον δεν έγινα πλήρως κατανοητός...

Το να γράψεις κατ'ευθείαν f ' (x0) = ... (κάτι με κανόνα παραγώγισης) είναι σωστό, ok

To να γράψεις f ' (x) = ... και μετά να αντικαταστήσεις το x0 είναι λάθος, όταν μόνο σε αυτό ορίζεται η παράγωγος.

η f είναι δις παραγωγίσιμη στο σημείο γ, άρα έχω δικαίωμα να γράψω f''(γ). ίσως θα μπορούσα να μην είχα γράψει την ισότητα της f''(x)

Bασικά, δεν έπρεπε να την γράψεις.

James Fallen · 19-05-09

Ωραία άσκηση! Δύσκολευτικα στο α' ερώτημα αλλά μετα πήρα φόρα και την έκανα!
Για το γ είπα έστω ότι έχει ασύμπτωτη στο χο με το όριο χ->χο να κάνει +οο (το -00 αποκλείεται διότι g(x)>0. Κατέληξα στο ότι η f' έχει ασύμπτωτη στο χο το οποίο είναι άτοπο αφού είναι συνεχής και γνησίως άυξουσα στο Π.Ο. της. Νομίζω βασικά... :hmm:

dafne_mm24 · 19-05-09

Αρχική Δημοσίευση από markou:
τζάμπα ασχολείστε με αυτά παίδες. γνώμη μου.

τι εννοεις...?

vassiak6 · 19-05-09

Έστω f συνεχής συνάρτηση με f(x)≠0 για κάθε x που ανήκει στο (0,+∞) με f(1)=1, f(2)=3 και
\int_{1}^{2} f(xt) dt \geq \int_{1}^{2} f(x) dx
Να υπολογιστεί το εμβαδό της επιφάνειας που περικλύεται από την γραφική παράσταση της f , τον x'x και τις ευθείες x=1 και x=2.

rolingstones · 19-05-09

ΔΕ καταλαβαινω τα συμβολα σου ξαναγραψτη

ledzeppelinick · 19-05-09

Αρχική Δημοσίευση από vassiak6:
Έστω f συνεχής συνάρτηση με f(x)≠0 για κάθε x που ανήκει στο (0,+∞) με f(1)=1, f(2)=3 και
$int_{1}^{2} f(xt) dt=int_{1}^{2} f(x) dx$
Να υπολογιστεί το εμβαδό της επιφάνειας που περικλύεται από την γραφική παράσταση της f , τον x'x και τις ευθείες x=1 και x=2.

η απαντηση! (int ειναι το ολοκληρωμα)

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος