Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

m3Lt3D · 28-04-09

Πιστευω αξιζει να πεσει καποια στιγμη αυτος ο γεωμετρικος τοπος.
Ρε παιδια δεν τον εχετε κανει ποτε σε ασκηση εσεις;

Lordos131 · 28-04-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Είναι λάθος να πούμε ότι το μέγιστο |w - z| είναι η απόσταση (ΔΗ), διότι όταν η εικόνα του z είναι το Η, η εικόνα του w ΔΕΝ είναι το Δ.
Όμοια το ελάχιστο |w - z| είναι η απόσταση (ΕΖ), διότι όταν η εικόνα του z είναι το Ζ, η εικόνα του w ΔΕΝ είναι το Ε.

Το καταλαβα απο εδω. Πρεπει να λαμβανουμε υποψιν μας οτι σχετιζονται οι μιγαδικοι και δεν παιρνουμε οποια σημεια να ναι. Σε οσες ασκησεις ειχα κανει μεχρι τωρα οι μιγαδικοι ηταν ανεξαρτητοι, γι'αυτο το χασα. Αυτη η αντικατασταση απο το 2ο ερωτημα μας λυνει τα χερια.
Πολυ ωραια ασκηση. Thanks :thanks:

gossipgirl · 28-04-09

μηπως μπορει κανεις να βαλει μια ολοκληρωμενη απαντηση γιατι μπερδευτηκα;;;;:s:s:s

bobiras11 · 28-04-09

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}$ και το σημείο Α((9/2),0)
*Να βρείτε το σημείο Μ της Cf που απέχει από το Α τη μικρότερη απόσταση.

MzChiniz · 28-04-09

μονο αυτο λεει?δεν δινει τιποτα αλλο?

bobiras11 · 28-04-09

Just that.

george_k214 · 28-04-09

To (4,2) είναι?

manos66 · 28-04-09

Έστω η συνάρτηση f, με $f(x)=\int_{1}^{x}\frac{\sqrt{t}-1}{t-2}dt$ .

α) Να αποδειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το [0 , 2).
β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, να βρεθεί το είδος των ακροτάτων της
και ν' αποδειχθεί ότι η εξίσωση $f (x) - 2 = e^x$ είναι αδύνατη.
γ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f΄.
δ) Ν' αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης xf΄(x) + f(x) = 0, στο διάστημα (0 , 2).
ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f ,
τους άξονες y΄y, x΄x και την ευθεία x = 1.
Δίνεται $f(0)\cong -\frac{1}{5}$

riemann80 · 28-04-09

αυτο βγαινει και με υλη της α λυκειου.

mostel · 28-04-09

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
αυτο βγαινει και με υλη της α λυκειου.

+1

Και προσωπικά, δε μου φαίνεται και έξυπνο. Τυφλοσούρτης είναι.

Στέλιος

george_k214 · 28-04-09

α)
Πρέπει $t-2\neq 0$ και $t\geq 0$ από τους περιορισμούς.Αρα τελικά πρέπει $t\epsilon [0,2)$ .Παρατηρούμε οτι το ένα ανήκει στο διάστημα αυτό(άκρο ολοκλήρωσης) και άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το διάστημα που ζητάμε(το [0,2) δηλαδή).

β)

$f'(x)=(\int_{1}^{x}\frac{\sqrt{t}-1}{t-2}dt)'=\frac{\sqrt{x}-1}{x-2}$
Από πίνακα μονοτονίας καταλήγουμε οτι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,2) και έχει συνεπώς μέγιστο για x=1 το f(1)=0.Άρα προφανώς $f(x)\leq f(1)=0\prec 2\prec 2+e^x$ και αρα η δοθείσα εξίσωση δεν έχει λύση

γ)

$f'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-2}$ .Μόνο κατακόρυφες ασύμτωτες αναζητούμε(αφού to x ανήκει στο [0,2) ).Με απλό τρόπο δείχνουμε οτι χ=2 κατακόρυφη ασύμπτωτη.

δ)

Για χ=1 προφανής ρίζα.Θεωρώ έπειτα τη συνάρτηση g(x)=xf(x) και εφαρμόζω για αυτη θ rolle στο [0,1].Η παράγωγος της συνάρτησης που θεώρησα είναι στην ουσία η xf'(x)+f(x) η οποία έχει μια τουλάχιστον ρίζα(οπως αποδείξαμε με το θ rolle) στο (0,1).Συνεπώς συνολικά 2 ρίζες στο(0,2)--->η x=1 και μια άλλη(έστω x0) στο (0,1).

ε)

$\int_{0}^{1}\left|f(x)dx \right|=-\int_{0}^{1}f(x)dx=-\int_{0}^{1}f(x)dx=-\int_{0}^{1}\int_{1}^{x}\frac{\sqrt{t}-1}{t-2}dt=-\int_{0}^{1}(x)'\int_{1}^{x}\frac{\sqrt{t}-1}{t-2}dt$ =.....πράξεις(ένα διπλό ολοκλήρωμα είναι στην ουσία)

LI@ · 28-04-09

Α! Τώρα κατάλαβα την ασκηση!! Το μέγιστο κ το ελαχιστο μετρο βγαινουν 6 κ 4 με την τριγωνομετρική ανισότητα.Εγώ παντως δεν είχα ξαναλύσει τετοια ασκηση. Ευχαριστούμε πολύ Μάνο!!

manos66 · 28-04-09

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
α)
Πρέπει $t-2neq 0$ και $tgeq 0$ από τους περιορισμούς.Αρα τελικά πρέπει $tepsilon [0,2)$ .Παρατηρούμε οτι το ένα ανήκει στο διάστημα αυτό(άκρο ολοκλήρωσης) και άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το διάστημα που ζητάμε(το [0,2) δηλαδή).

β)

$f'(x)=(int_{1}^{x}frac{sqrt{t}-1}{t-2}dt)'=frac{sqrt{x}-1}{x-2}$
Από πίνακα μονοτονίας καταλήγουμε οτι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,2) και έχει συνεπώς μέγιστο για x=1 το f(1)=0.Άρα προφανώς $f(x)leq f(1)=0prec 2prec 2+e^x$ και αρα η δοθείσα εξίσωση δεν έχει λύση

γ)

$f'(x)=frac{sqrt{x}-1}{x-2}$ .Μόνο κατακόρυφες ασύμτωτες αναζητούμε(αφού to x ανήκει στο [0,2) ).Με απλό τρόπο δείχνουμε οτι χ=2 κατακόρυφη ασύμπτωτη.

δ)

Για χ=1 προφανής ρίζα.Θεωρώ έπειτα τη συνάρτηση g(x)=xf(x) και εφαρμόζω για αυτη θ rolle στο [0,1].Η παράγωγος της συνάρτησης που θεώρησα είναι στην ουσία η xf'(x)+f(x) η οποία έχει μια τουλάχιστον ρίζα(οπως αποδείξαμε με το θ rolle) στο (0,1).Συνεπώς συνολικά 2 ρίζες στο(0,2)--->η x=1 και μια άλλη(έστω x0) στο (0,1).

ε)

$int_{0}^{1}left|f(x)dx right|=-int_{0}^{1}f(x)dx=-int_{0}^{1}f(x)dx=-int_{0}^{1}int_{1}^{x}frac{sqrt{t}-1}{t-2}dt=-int_{0}^{1}(x)'int_{1}^{x}frac{sqrt{t}-1}{t-2}dt$ =.....πράξεις(ένα διπλό ολοκλήρωμα είναι στην ουσία)

Ωραία. Δύο παρατηρήσεις.
1. το π.ο. της συνάρτησης που βρίσκεται στο αρχικό ολοκλήρωμα είναι $\left[0 , 2 \right)\cup \left(2, +\propto \right)$ και όχι $\left[0 , 2 \right)$
2. Ο τρόπος που ξεκίνησες να βρεις το εμβαδόν είναι "ζόρικος" με δύσκολες πράξεις.
Ποιό είναι το ζητούμενο εμβαδόν;

bobiras11 · 28-04-09

Για μένα έξυπνο είναι. Πολλοί δεν θα σκέφτονταν την διαδικασία. Όσο για τις γνώσεις Α' λυκείου, εδώ άλλοι δεν θυμούνται τι έφαγαν προχθές...

chris_90 · 28-04-09

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Για μένα έξυπνο είναι. Πολλοί δεν θα σκέφτονταν την διαδικασία. Όσο για τις γνώσεις Α' λυκείου, εδώ άλλοι δεν θυμούνται τι έφαγαν προχθές...

Γκουχου, γκουχου... :fss: Το προσπερναω αυτο και ερχομαι να ρωτησω εγω ο χαζος, πως λυνεται;

Το μυαλο μου πηγε σε αποσταση σημειου απο ευθεια (μη με βρισετε αν ειναι μπουρδα

) αλλα δεν θυμαμαι τη γρ. παρασταση της συναρτησης (και βαριεμαι να ξεθαψω το σχολικο βιβλιο για να τη βρω).

riemann80 · 28-04-09

η γραφικη παρασταση ειναι το μη αρνητικο κοματι της παραβολης y^2=x

george_k214 · 28-04-09

Το πρώτο λάθος που μου τονίζετε είναι καθαρά απροσεξία(δυστυχώς τα κάνω αυτά μερικές φορές).Πράγματι,οι πράξεις(την έχω βρει την αρχική βεβαια) είναι ιδιαίτερα περίπλοκες στο εμβαδό και δεν θα επιχειρήσω να τις κάνω(κατα πάσα πιθανότητα θα είναι και λάθος).Θα προσπαθήσω να βρω δεύτερο τρόπο.Ευχαριστώ.

MzChiniz · 28-04-09

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
αυτο βγαινει και με υλη της α λυκειου.

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
η γραφικη παρασταση ειναι το μη αρνητικο κοματι της παραβολης y^2=x

μη με βρισετε αλλα μαθαιναμε παραβολες στην α λυκειου?

theodim · 29-04-09

Πρεπει να βγαίνει και με Γεωμετρια (τριγωνα) και εξισώσεις ευθείας απο πέρυση.. μεχρι ενα σημείο την προχώρησα αλλα δεν θυμάμαι ενα τύπο γεωμετρίας και τα παράτησα.. αλλα σιγουρα υπάρχει και πιο εύκολος τρόπος.. δεν είναι λογικό να πρεπει να σκεφτείς όλα αυτα.. αν μπορεί καποιος να ανεβασει τγ λύση..

μετα τις εξετάσεις ίσως κατσω να το βγάλω γεωμετρικα :xixi:

bobiras11 · 29-04-09

Μάλιστα... Ελπίζω μετά από όλα αυτά ο Στέλιος να άλλαξε έστω και ελαφρώς γνώμη

Εγώ τουλάχιστον το έλυσα έτσι. Το σημείο Μ έχει συντεταγμένες $M(x,\sqrt{x})$ . Παίρνεις την απόσταση $(AM)=\sqrt{{(x-\frac{9}{2})}^{2}+{(\sqrt{x}-0)}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}-8x+\frac{81}{4}}$
Και μελετάμε μονοτονία και ακρότατα (ουσιαστικά ψάχνουμε το ολικό ελάχιστο) της φ(χ)=(ΑΜ) για να βρούμε την μικρότερη απόσταση. Συνδυάζει δηλαδή φετινές γνώσεις.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
To (4,2) είναι?

Aha

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος