Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Lordos131]

Για τα 2 πρωτα υπαρχουν 2 τροποι (η αντικατασταση κι ο μπακαλικος).
Προκυπτει οτι ο z κινειται σε κυκλο με Κ(0,-4) και ακτινα 1 και ο w επισης σε κυκλο με Μ(-4,-1) και ακτινα 2.
Τωρα για το γ βλεπουμε οτι τα κεντρα ανηκουν στην ευθεια ψ=-4-3χ/4
Λυνοντας 2 συστηματα, ενα με την εξισωση κυκλου του z και την ε, κι ενα με την εξισωση κυκλου του w και την ε, παιρνουμε 4 σημεια (2 απο το καθενα). Κανουμε σχημα και βλεπουμε ποιο ειναι ποιο, και στη συνεχεια παιρνουμε τα μετρα των αντιστοιχων τμηματων.Απο το σχημα φαινεται ποια σημεια σχηματιζουν το ελαχιστο τμημα και ποια το μεγιστο.
Εναλλακτικα, οταν βρουμε την ελαχιστη τιμη μπορουμε απλα να προσθεσουμε 6 και να μας προκυψει η μεγιστη. Το 6 ειναι το αθροισμα των διαμετρων των κυκλων που αν πρστεθει στην ελαχιστη μας δινει τη μεγιστη.Φαινεται καθαρα αν κανετε σχημα. θα κανω τις πραξεις στο γ και θα ξαναποσταρω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

περιμένω την απάντηση στο γ΄ ερώτημα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lordos131]

Καπου πρεπει να το χανω στις πραξεις...
Οπως ειπα, τα κεντρα ανηκουν στην ε:ψ=-4-3χ/4
Απο τη λυση του συστηματος της ε με τον κυκλο κεντρου Κ μου βγαινουν τα σημεια: A(4/5,-23/5) και B(-4/5,-17/5)
Ομοιως απο τη λυση του συστηματος της ε με τον κυκλο κεντρου Μ μου βγαινουν τα σημεια: Γ(-12/5,-11/5) και Δ(-28/5,1/5)
Η ελαχιστη αποσταση ειναι το μηκος του ΒΓ και η μεγιστη του ΑΔ.
Το ΒΓ μου βγαινει ομως 4ριζα65/5... Ισως εχω καποιο σημειο λαθος... Μπορειτε να μου πειτε ποιο να το ξαναδω?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

Καπου πρεπει να το χανω στις πραξεις...
Οπως ειπα, τα κεντρα ανηκουν στην ε:ψ=-4-3χ/4
Απο τη λυση του συστηματος της ε με τον κυκλο κεντρου Κ μου βγαινουν τα σημεια: A(4/5,-23/5) και B(-4/5,-17/5)
Ομοιως απο τη λυση του συστηματος της ε με τον κυκλο κεντρου Μ μου βγαινουν τα σημεια: Γ(-12/5,-11/5) και Δ(-28/5,1/5)
Η ελαχιστη αποσταση ειναι το μηκος του ΒΓ και η μεγιστη του ΑΔ.
Το ΒΓ μου βγαινει ομως 4ριζα65/5... Ισως εχω καποιο σημειο λαθος... Μπορειτε να μου πειτε ποιο να το ξαναδω?

Δεν είναι ανάγκη να βρεις τα κοινά σημεία.
Η απάντηση είναι λάθος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Στα γρήγορα

z: K(0.-4), ρ=1

w: Λ(-4,-1), R=2

Με Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ΚΛ=5
Συνεχίζεται...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

z: K(0.-4), ρ=1

w: Λ(-4,-1), R=2

Με Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ΚΛ=5
Έτσι η ελάχιστη απόσταση είναι ΚΛ-R-ρ= 2.
Και η μέγιστη είναι ΚΛ+R-+ρ=8.

Λάθος απάντηση
Είπαμε η άσκηση δεν είναι τόσο "αθώα"

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Το ξαναείδα.
Στην ουσία αυτό που ζητάτε είναι η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση του z από τον μιγαδικό 4-7i.
Έτσι αν δεν κάνω κάποιο λάθος στις πράξεις, είναι 4 και 6 αντίστοιχα το ελάχιστο και το μέγιστο της απόστασης.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

Το ξαναείδα.
Στην ουσία αυτό που ζητάτε είναι η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση του z από τον μιγαδικό 4-7i.
Έτσι αν δεν κάνω κάποιο λάθος στις πράξεις, είναι 4 και 6 αντίστοιχα το ελάχιστο και το μέγιστο της απόστασης.

Σωστό

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mariiiiia]

εε....μπορείτε να το εξηγήσετε λίγο γιατί δεν το κατάλαβα? πώς προέκυψε το 4-7i από το |z-w|? εγώ έκανα αυτό που έκανε στην αρχή ο kvgreco..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lordos131]

Ναι οντως τοσο ειναι. Και με αυτο με τα σημεια που πρωτοεγραψα βγαινει απλα ειχα λαθος στις πραξεις (οπως προεβλεψα)... Τα σημεια ειναι σωστα, απλα ειχα χασει ενα προσημο στον τυπο της αποστασης...
-----------------------------------------

εε....μπορείτε να το εξηγήσετε λίγο γιατί δεν το κατάλαβα? πώς προέκυψε το 4-7i από το |z-w|? εγώ έκανα αυτό που έκανε στην αρχή ο kvgreco..

Αν λυσεις ως προς z-w τη σχεση που σου δινει στο 2ο ερωτημα βγαινει κατευθειαν αυτο που ειπε ο kvgreco. Αντι να βρεις το μετρο του z-w, βρισκεις του ισου του: [z-(4-7i)]

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[LI@]

Η ελάχιστη τιμή είναι 2 κ η μέγιστη είναι 8. Τη βρήκα λυνοντάς το γραφικά,ελπιζω να είναι η σωστή...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lordos131]

Η ελάχιστη τιμή είναι 2 κ η μέγιστη είναι 8. Τη βρήκα λυνοντάς το γραφικά,ελπιζω να είναι η σωστή...

Damn κι αλλη γκαντεμια... Δε βγαζω 4 και 6, αλλα 2 και 8 οπως η LI@. Πως ειναι δυνατον να ειναι 4 και 6 απο τη στιγμη που σιγουρα το μεγιστο και ελαχιστο θα απεχουν 6 (2R+2r).Σιγουρα ειναι σωστο το 4 και 6 κυριε Μανο?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[LI@]

Damn κι αλλη γκαντεμια... Δε βγαζω 4 και 6, αλλα 2 και 8 οπως η LI@. Πως ειναι δυνατον να ειναι 4 και 6 απο τη στιγμη που σιγουρα το μεγιστο και ελαχιστο θα απεχουν 6 (2R+2r).Σιγουρα ειναι σωστο το 4 και 6 κυριε Μανο?

Aκριβώς! Με σχημα πάντως βγαίνουν σιγουρα τόσο (2 κ 8)...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

Οι μιδαδικοί z και w δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους
Θα το εξηγήσω με σχήμα αργότερα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mariiiiia]

Αν λυσεις ως προς z-w τη σχεση που σου δινει στο 2ο ερωτημα βγαινει κατευθειαν αυτο που ειπε ο kvgreco. Αντι να βρεις το μετρο του z-w, βρισκεις του ισου του: [z-(4-7i)]

θενκ γιου

σημ.: εξακολουθώ βέβαια να έχω κι εγώ την ίδια απορία με εσάς...
-----------------------------------------
(ποπο..πολύ ενδιαφέρον πάντως αυτή η άσκηση )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

Είναι λάθος να πούμε ότι το μέγιστο |w - z| είναι η απόσταση (ΔΗ), διότι όταν η εικόνα του z είναι το Η, η εικόνα του w ΔΕΝ είναι το Δ.
Όμοια το ελάχιστο |w - z| είναι η απόσταση (ΕΖ), διότι όταν η εικόνα του z είναι το Ζ, η εικόνα του w ΔΕΝ είναι το Ε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[george_k214]

Κατέληξα ύστερα από πράξεις...... σε αυτή τη σχέση |z-w|=|z-(4-7i)|.Αν βρώ μέγιστη και ελάχιστη του |z-(4-7i)| (απλό,στην ουσια max-min σημείου-κύκλος) έχω βρεί τη σωστή απάντηση?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

Κατέληξα ύστερα από πράξεις...... σε αυτή τη σχέση |z-w|=|z-(4-7i)|.Αν βρώ μέγιστη και ελάχιστη του |z-(4-7i)| (απλό,στην ουσια max-min σημείου-κύκλος) έχω βρεί τη σωστή απάντηση?

Σωστά αυτός είναι ο τρόπος λύσης

Γεωμετρικά
Βελτιώνω το προηγούμενο σχήμα που έκανα

Είναι λάθος να πούμε ότι το μέγιστο |w - z| είναι η απόσταση (ΕΒ), διότι όταν η εικόνα του z είναι το Β, η εικόνα του w ΔΕΝ είναι το Ε.
Μάλιστα όταν η εικόνα του z είναι το Β, η εικόνα του w είναι το Δ και το |w - z| γίνεται ελάχιστο, άρα min|w - z| = (ΒΔ) = (ΑΒ) = 4.

Όμοια το ελάχιστο |w - z| δεν είναι η απόσταση (ΓΔ), διότι όταν η εικόνα του z είναι το Γ, η εικόνα του w ΔΕΝ είναι το Δ.
Μάλιστα όταν η εικόνα του z είναι το Γ, η εικόνα του w είναι το Ε και το |w - z| γίνεται μέγιστο, άρα max|w - z| = (ΓΕ) = (ΑΓ) = 6.

Καλύτερο σχήμα
View attachment mig.doc

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostG]

Γειά σου ρε Μάνο!
Αν ήξεραν τα παιδιά τι τους προσφέρεις θα σε είχαν κάνει εικόνισμα.
Αλλά είμαι σίγουρος ότι γιά τα παιδιά δεν είναι προφανές ότι π.χ ΓΕ=ΑΓ
Πώς θα τι καταλάβουν?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mariiiiia]

εντάξει κατάλαβα το σχήμα.. όμως δεν καταλαβαίνω από την εκφώνηση εμείς πώς μπορούμε να το αντιληφθούμε αυτό??

γιατί οκ κάποιος μπορεί να του κόψει και να πάρει τη σχέση από το β ερώτημα.. όμως έγω πχ έχω συνηθίσει να βρίσκω την απόσταση των κέντρων κλπ.. τι έπρεπε να προσέξω για να το καταλάβω από την αρχή?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.