Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

kvgreco · 18-04-09

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
1) Δεν έχω χρόνο να κάτσω να δω τη λύση. Για να το λές, έτσι θα 'ναι.

Αν αυτό δεν είναι η επιτομή της ειρωνείας Στέλιο τότε τι είναι?Εγώ τώρα μαθαίνω.Δεν είμαι ο... Καραθεοδωρής! Από σας τους εμπειρότερους περιμένω.Θα σκεφτώ αυτά που θα γράψει ο giannis αλλά δεν παύει να είμαστε συμμαθητές.Εσένα και το riemman80 θα φιλτράρω να πάρω όσα λέτε.
Αλλά άσε.Απόψε είναι η γιορτή της Αγάπης κι εμείς ψάχνουμε αιτίες να είμαστε σε ένταση?

Στέλιο στο μήνυμα #33 γιά βάλε όπου x την f(x) στη σχέση με την παράγωγο της αντίστροφης.Νομίζω υπάρχει λάθος στη σχέση.

Undead · 18-04-09

Υπολογίστε το

$I=\int \frac{dx}{\cot \frac{x}{2}\cot \frac{x}{3}\cot \frac{x}{6}}$

με cot συμβολίζουμε την συνεφαπτομένη

mostel · 18-04-09

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Αν αυτό δεν είναι η επιτομή της ειρωνείας Στέλιο τότε τι είναι?Εγώ τώρα μαθαίνω.Δεν είμαι ο... Καραθεοδωρής! Από σας τους εμπειρότερους περιμένω.Θα σκεφτώ αυτά που θα γράψει ο giannis αλλά δεν παύει να είμαστε συμμαθητές.Εσένα και το riemman80 θα φιλτράρω να πάρω όσα λέτε.
Αλλά άσε.Απόψε είναι η γιορτή της Αγάπης κι εμείς ψάχνουμε αιτίες να είμαστε σε ένταση?

Hey... Εσύ ψάχνεις λόγους να μαλώσεις μου φαίνετια. Σου λέω ότι δεν έχω χρόνο και για να λες ότι θα έχει λάθος στην παραγώγιση, που δεν είναι και τόσο τραγικό να την κάνεις, αφού την έχεις τσεκάρει, εμπιστεύομαι αυτό που λες, και επομένως σου λέω ότι μάλλον δίκιο θα χεις.

ΦΙλικά

Υσ: Ο Γιάννης φοιτητής στο μαθηματικό, απλώς δεν έχει αλλάξει την τάξη του από πέρσι :p
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Στέλιο στο μήνυμα #33 γιά βάλε όπου x την f(x) στη σχέση με την παράγωγο της αντίστροφης.Νομίζω υπάρχει λάθος στη σχέση.

Δεν ήταν αυτό ακριβώς, ένα f' μου έφυγε. Δες αναλυτικά εδώ:

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_functions_and_differentiation

mostel · 18-04-09

Μου 'λειψαν αυτές

Μετασχηματίζεται σε:

$\left[\sqrt2(\sqrt3-1)\right]^{x^2}\left[\sqrt2(\sqrt3+1)\right]^x+\left[\sqrt2(\sqrt3+1)\right]^{x^2}\left[\sqrt2(\sqrt3-1)\right]^x=4^{x^2}$

Μετά πάει αυτόματο πιλότο

Στέλιος

mostel · 18-04-09

Αρχική Δημοσίευση από giannis:
Υπολογίστε το

$I=int frac{dx}{cot frac{x}{2}cot frac{x}{3}cot frac{x}{6}}$

με cot συμβολίζουμε την συνεφαπτομένη

Θα δώσω ιδέα, αλλά δεν παίζει να κάτσω να τη λύσω, έχει πολλές πράξεις

Γράφεται και:

$\int\tan\frac{x}{2}\tan\frac{x}{3}\tan\frac{x}{6}dx$

Όμως:

$\frac{x}{2}=\frac{x}{3}+\frac{x}{6}$

Άρα:

$\int\frac{\tan\frac{x}{3}+\tan\frac{x}{6}}{1-\tan\frac{x}{3}\tan\frac{x}{6}}\tan\frac{x}{3}\tan\frac{x}{6}$

Επίσης:

$\tan\frac{x}{3}=\tan2\frac{x}{6}=\frac{2\tan\frac{x}{6}}{1-\tan^2\frac{x}{6}}$

Κάνουμε κ αυτή αντικατάσταση πάνω, και έτσι έχουμε μόνο άγνωστο το $\frac{x}{6}$ . Μετά κάνουμε και μια αλλαγή μεταβλητής κ μετά κουράγιο

Σίγουρα υπάρχει κάτι πιο σύντομο κ κανάς μυστήριος τριγωνομετρικός τύπος που κάνει το γινόμενο αυτό άθροισμα, αλλά είναι το πρώτο πράγμα που μου 'ρθε στο μυαλό.

fountototeratin · 19-04-09

Δινονται οι παραγωγισιμες στο R συναρτησεις f,g τετοιες ωστε ν ισχυει:

το ολοκληρωμα απο το 1 μεχρι x της f(t) + το ολοκληρωμα απο x μεχρι 1 της g(t) (ισουται)=χ^2-2x+1.
για καθε XεR και εστω Cf και Cg οι γραφικες τους συναρτησεις.εστω οτι η εξισωση f(x)=0 εχει 2 λυσεις ρ1 και ρ2 με ρ1<1<ρ2.

Α.να δειξετε οτι:
1.η εξισωση g(x)=0, εχει τουλαχιστον μια λυση στο διαστημα (ρ1,ρ2).
2.υπαρχει ενα τουλαχιστον ξε(ρ1,ρ2) τετοιο ωστε g'(ξ)= -2.

Β.αν η συναρτηση g ειναι κυρτη στο R, να αποδειξετε οτι:
1.η συναρτηση f ειναι κυρτη στο R.
2.η f εχει ενα μονο ελαχιστο στο R, το οποιο παρουσιαζεται στο σημειο x=ξ του ερωτηματος Α,2.
3.να υπολογισετε το εμβαδον του χωριου που περιεκλειεται απο τις Cf,Cg και τον αξονα των y.

(ΤΗΝ ΕΛΥΣΑ ΣΕ 6 ΛΕΠΤΑ ΚΑΙ 21 ΔΕΥΤΕΡΟΛΕΠΤΑ!)
καλη επιτυχια!!!
(οποιος θελει την λυση να μου πει!!)

ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΛΛΗ!!!!!!!!!!!!!!
εστω οτι f:R=R ωστε το ολοκληρωμα απο X μεχρι y της f(t) ειναι μικροτερο (<) απο f(x+y) για καθε x,y εR.Ναδειξετε οτι:
1.η φ:R=R με φ(x)= e^-Χ * (επι) το ολοκληρωμα απο το 0 μεχρι x της f(t) ειναι αυξουσα στο R.
2.να αποδειξετε οτι:ισχυει 2007*το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι το ln2006 της f(t) ειναι μικροτερο (<) απο2006*το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι το ln2007 της f(t).
3.υπαρχει χε(1,2) ωστε: (χ-1)*f(x)= το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι χ της f(t).

καλη επιτυχια!!!!
(την ελυσα σε 10λεπτα κ 26δευτερολεπτα!!!)

Undead · 19-04-09

χμμ..η άσκηση κάτι μου θυμίζει ..πρέπει να ήταν παλιό θέμα !

Έχουμε $\int_{1}^{x}f(t)\,dt-\int_{1}^{x}g(t)\,dt=(x-1)^{2} ,\forall x \in \mathbb{R}$

A)
παραγωγίζοντας παίρνουμε
$f(x)-g(x)=2(x-1),(1)$
και ξαναπαραγωγίζοντας έχω $f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=2,(2)$

Οπότε εφόσον g συνεχής στο $[\rho_{1},\rho _{2}]$ και
$g(\rho_{1})=-2(\rho_{1}-1)$
$g(\rho_{2})=-2(\rho_{2}-1)$

άρα $g(\rho_{1})g(\rho_{2})=4(\rho_{1}-1)(\rho_{2}-1)<0$
από Θεώρημα Bolzano παίρνουμε το ζητούμενο

Εφαρμόζω το Θεώρημα Rolle στην f στο $[\rho_{1},\rho _{2}]$ άρα υπάρχει $\xi \in(\rho_{1},\rho _{2})$ με $f^{\prime}(\xi)=0$
και με $x=\xi$ στην (2) θα πάρουμε $g^{\prime}(\xi)=-2$

B)
Έχω $f^{\prime}(x)=2+g^{\prime}(x)$ Σε αυτό το βήμα χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή καθώς δεν γνωρίζουμε την πααραγωγισιμότητα της $f^{\prime}$ .Γι αυτό επιλέγουμε
$a,b\in\mathbb{R}$ με $a<b \Rightarrow g^{\prime}(a)<g{\prime}(b) \Rightarrow g{\prime}(a)+2<g{\prime}(b)+2 \Rightarrow f{\prime}(a)<f{\prime}(b)$ ,αρα f κυρτή

Παρατηρούμε ότι για το παραπάνω ξ $f^{\prime}(\xi)=0$ και εφόσον $f^{\prime}$ γν. αύξουσα τότε βρίσκουμε ότι
με $x>\xi \Rightarrow f(x)>f(\xi)=0$
με $x<\xi \Rightarrow f(x)<f(\xi)=0$

άρα $f_{min}=f(\xi)=0$

Τέλος το εμβαδόν θα είναι ίσο με το
$\int_{0}^{1}|f(x)-g(x)|\,dx=-\int_{0}^{1}2(x-1)\,dx=1$ τ.μ.α

kvgreco · 19-04-09

Κάνω τα δύο πρώτα ερωτήματα στα γρήγορα.

α) Η f είναι συνεχής άρα ορίζεται η συνάρτηση ολοκλήρωμα που είναι παραγωγίσιμη, ο δε άλλος προσθετέος όρος είναι συνάρτηση πολυωνυμική άρα παραγωγίσιμη, οπότε και η F είναι παραγωγίσιμη με F'(x)=f(x)+x/2-1

β) Έστω x1<x2 τοτε,
2(f(x1)-f(x2))<x2-x1=>f(x1)+(x1/2)<f(x2)+(x2/2)=>f(x1)+(x1/2)-1<f(x2)+(x2/2)-1=>F'(x1)<F'(x2) άρα η F' είναι γνησίως αύξουσα οπότε η F είναι κυρτή.

Χρόνια Πολλά. Άντε ξυπνήστε.Πάσχα των Ελλήνων Πάσχα σήμερα.Ας ξεδώσουμε λιγάκι.

ΗΣΙΟΔΟΣ · 19-04-09

Ας δούμε και μια άλλη λύση στο επισυναπτόμενο αρχείο.

ΗΣΙΟΔΟΣ · 19-04-09

Να το δούμε και λίγο διαφορετικά.

galois01 · 19-04-09

Αρχική Δημοσίευση από fountototeratini:
ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΛΛΗ!!!!!!!!!!!!!!
εστω οτι f:R=R ωστε το ολοκληρωμα απο X μεχρι y της f(t) ειναι μικροτερο (<) απο f(x+y) για καθε x,y εR.Ναδειξετε οτι:
1.η φ:R=R με φ(x)= e^-Χ * (επι) το ολοκληρωμα απο το 0 μεχρι x της f(t) ειναι αυξουσα στο R.
2.να αποδειξετε οτι:ισχυει 2007*το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι το ln2006 της f(t) ειναι μικροτερο (<) απο2006*το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι το ln2007 της f(t).
3.υπαρχει χε(1,2) ωστε: (χ-1)*f(x)= το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι χ της f(t).

καλη επιτυχια!!!!
(την ελυσα σε 10λεπτα κ 26δευτερολεπτα!!!)

α)H Φ είναι παραγωγίσιμη επμένως

$\phi'(x)=e^{-x}[f(x)-\int^{x}_{0}f(t)dt]>0$

διότι από την υπόθεση θέτοντας y=0 παίρνουμε $f(x)>\int^{x}_{0}f(t)dt$

Επομένως η Φ είναι γνησίως αύξουσα

β)

$2006<2007\Longleftrightarrow\ln(2006)<ln(2007)$

και επειδή η Φ είναι γνησίως αύξουσα παίρνουμε

$\phi(ln(2006))<\phi(ln(2007))$ από που προκύπτει εύκολα το ζητούμενο

γ) Θέτουμε $F(x)=\int^{x}_{0}f(t)dt-(1-x)f(x)$

για χ>0 παίρνουμε Φ(χ)>0 επομένως $\int^{1}_{0}f(t)dt>0$

από την υπόθεση για y=0 και για χ=2 παίρνουμε

$\int^{2}_{0}f(t)dt<f(2)$

Eπομένως η F ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. Bolzano οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

Χριστός Ανέστη και Χρόνια Πολλά σε όλους

Κώστας

Gianmaria · 19-04-09

Αρχική Δημοσίευση από giannis:
Λύστε στο $mathbb{R}$ την εξίσωση

$sin^{x^{2}}frac{pi}{12} cdot cos ^{x}frac{pi}{12}+sin^{x}frac{pi}{12} cdot cos ^{x^{2}}frac{pi}{12}=4^{-x}$

που να το β

ρουμε αυτο;πρωτακια ειμαστε..

djimmakos · 20-04-09

Αρχική Δημοσίευση από Gianmaria:
που να το βρουμε αυτο;πρωτακια ειμαστε..

Τότε τι δουλειά έχεις στην κατηγορία της Γ' λυκείου;

Υπάρχει και αντίστοιχη κατηγορία για την Α' Γυμνασίου.

:bye:

matina91 · 20-04-09

Εστω μια συναρτηση f: (0,+απειρο)-->R η οποια ειναι παραγωγισιμη και ισχυει f '(1)=1 και f(xy)=xf(y)+yf(x) για καθε x,y που ανηκει στο (0,+απειρο)
α)Να αποδειξετε οτι :
i) f '(x)=1+[f(x)/x] , x>0
ii) f(x)=lnx , x>0
β) Να λυσετε την εξισωση 2f(x)={x}^{2}-1
γ) Να βρειτε το εμβαδον του χωριου που περικλείεται απο την {C}_{f} τον αξονα x'x και την ευθεια x={e}^{-1}

Undead · 20-04-09

fountototeratin · 20-04-09

θετω: χ^2=U αρα 2χdx=du.
παω στη σχεση e^χ^2 *(χ^3+χ) =1/2 e^χ^2 *2χ(χ^2+1)
παω στο ολοκληρωμα και:1/2 ολοκληρωμα e^u *(u+1) du
τωρα κατα παραγοντες και 1/2 ολοκληρωμα (e^u)' * (u+1) du =
1/2 e^u *(u+1) - 1/2 ολοκληρωμα e^u * (u+1)' du=
1/2 e^u * (u+1) - 1/2 e^u * 1.
μετα κανε αντικατασταση u=χ^2!!
καλη επιτυχια!!

Tas · 20-04-09

Σου έχω ανεβάσει ένα αρχείο pdf με τη λύση. Ρίξε μια ματιά αν θες.

cheery · 20-04-09

H θα μπορούσε κάποιος να βγάλει κοινό παράγοντα από την παρένθεση το x και μετά κατά παράγοντες

Tas · 20-04-09

Ναι, βεβαια, θα μπορουσε κανεις να κανει διαφορα "κολπακια". Το ζητουμενο ειναι να βρεις σωστο αποτελεσμα :iagree:

fountototeratin · 20-04-09

καλα δεν βλεπετε οτι του εχω γραψει την λυση΄??????
και επειδη το e ειναι υψωμενο η στην x^2 δεν ξερεις την αρχικη του γιατι δεν ειναι e^2x!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
αρα παει μονο με αλλαγη μεταβλητης!!!!!
δειτε την λυση μου πανω!!!και πως του την εχω γραψει γιατι ετσι ειναι η σωστη!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος