Λοιπόν, είναι το κλασικό πρόβλημα με τις δυνάμεις αρνητικών αριθμών. Το ίδιο γίνεται και χωρίς μιγαδικούς (αν θέλετε σας το βάζω). Το - θα βγει αναγκαστικά σε αυτή την περίπτωση απ' έξω.
Επίσης, ΟΡΙΖΕΤΑΙ δύναμη μιγαδικού στο R, και όχι αποκλειστικά στο N. Σκεφτείτε κάθε μιγαδικό στη μορφή:
Στέλιος
ΥΣ: Το παραπάνω προφανώς είναι εκτός ύλης. Καταλήγει στην τριγωμετρική
de moivre.
Αξιωματικά απλώς θεωρούμε ότι κάθε μιγαδικός, γράφεται ως:
Όπου A και Β είναι πραγματικές συναρτήσεις. Με την προϋπόθεση ότι το δεξί μέλος είναι παρ/σιμη συνάρτηση, θα πάρουμε:
Παραγωγίζοντας ξανά,
Συγκρίνοντας τη πρώτη με αυτή, παίρνουμε:
Με άλλα λόγια, τα Α,Β, είναι λύσεις της:

.
Η διαφορική αυτή όμως έχει μια και μοναδική λύση -απόδειξη παραλείπεται-, την:
Δηλαδή την:
Άρα κάθε μιγαδικός γράφεται στη μορφή:
(de moivre form)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.