Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

riemann80 · 20-12-09

γιατι ισχυει [f(0),f(1)]=[0,1]?μπορεις να το αποδειξεις?

riemann80 · 23-12-09

να βρεθει η πολυωνυμικη συναρτηση f:R-->R για την οποια ισχυει

$\int_{1}^{x}f(t)dt=f(x)f'(x) , \forall x \in \mathbb{R}$

ledzeppelinick · 28-12-09

Μια άσκηση που έπεσε σαν θέμα στο διαγώνισμα του πρώην φροντιστηρίου μου:

Α.
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με $z\neq -i$
Aν z(w-1) + iw = 0 και |w|=2, να αποδείξετε ότι:

α) |3z+4i|=2

β) O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού $u=\frac{3z}{3z+4i}$ είναι κύκλος με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ=2

Β.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x^2+|t|^2x+2}-\sqrt{x^2-4Im(t)x+3}$ με $x\epsilon (0,+\propto )$ , όπου t=α+βi, α,β $\epsilonR$ με $\beta \geq 0$ , μιγαδικός αριθμός. Αν $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=0$ , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού t είναι κύκλος.

Γ.
Για τους μιγαδικούς u και t των προηγούμενων ερωτημάτων να αποδείξετε ότι $|u-t|\leq 4+\sqrt{5}$

coheNakatos · 28-12-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
Μια άσκηση που έπεσε σαν θέμα στο διαγώνισμα του πρώην φροντιστηρίου μου:

Α.
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με $zneq -i$
Aν z(w-1) + iw = 0 και |w|=2, να αποδείξετε ότι:

α) |3z+4i|=2

β) O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού $u=frac{3z}{3z+4i}$ είναι κύκλος με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ=2

Β.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=sqrt{x^2+|t|^2x+2}-sqrt{x^2-4Im(t)x+3}$ με $xepsilon (0,+propto )$ , όπου t=α+βi, α,β $epsilonR$ με $beta geq 0$ , μιγαδικός αριθμός. Αν $lim_{xrightarrow +propto }f(x)=0$ , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού t είναι κύκλος.

Γ.
Για τους μιγαδικούς u και t των προηγούμενων ερωτημάτων να αποδείξετε ότι $|u-t|leq 4+sqrt{5}$

A) i) Λυνεις ως προς w και μετα με πραξεις βγαινει
ii) Αρκει |u-1|=2 αντικατασταση και βγηκε

Β) συζηγης και βγαινει

Γ)μεγιστη αποσταση 2 κυκλων αν δεν κανω λαθος

ledzeppelinick · 28-12-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
A) i) Λυνεις ως προς w και μετα με πραξεις βγαινει
ii) Αρκει |u-1|=2 αντικατασταση και βγηκε

Β) συζηγης και βγαινει

Γ)μεγιστη αποσταση 2 κυκλων αν δεν κανω λαθος

χμμ μπορείς να παραθέσεις τις λύσεις?

coheNakatos · 28-12-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
χμμ μπορείς να παραθέσεις τις λύσεις?

Τρεχω και δεν φτανω με αυτα που εχω δεν μπορω

ledzeppelinick · 28-12-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Τρεχω και δεν φτανω με αυτα που εχω δεν μπορω

αα οκ :no1:

lowbaper92 · 31-12-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
Μια άσκηση που έπεσε σαν θέμα στο διαγώνισμα του πρώην φροντιστηρίου μου:

Α.
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με $zneq -i$
Aν z(w-1) + iw = 0 και |w|=2, να αποδείξετε ότι:

α) |3z+4i|=2

β) O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού $u=frac{3z}{3z+4i}$ είναι κύκλος με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ=2

Β.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=sqrt{x^2+|t|^2x+2}-sqrt{x^2-4Im(t)x+3}$ με $xepsilon (0,+propto )$ , όπου t=α+βi, α,β $epsilonR$ με $beta geq 0$ , μιγαδικός αριθμός. Αν $lim_{xrightarrow +propto }f(x)=0$ , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού t είναι κύκλος.

Γ.
Για τους μιγαδικούς u και t των προηγούμενων ερωτημάτων να αποδείξετε ότι $|u-t|leq 4+sqrt{5}$

Α) α)

$z(w-1)+iw=0\Leftrightarrow w=\frac{z}{z+i}\Rightarrow |w|=|\frac{z}{z+i}|\Leftrightarrow |\frac{z}{z+i}|=2$

αλλα αυτο που εχω μεσα στο μετρο δεν μου βγαινει ισο με το ζητουμενο,οποτε εδω θα χρειαστω τη βοήθειά σου

β)

$u=\frac{3z}{3z+4i}\Leftrightarrow u-1=\frac{-4i}{3z+4i}\Rightarrow |u-1|=\frac{|-4i|}{|3z+4i|}\Leftrightarrow |u-1|=2$

Αρα Μ(u) ανηκουν σε κυκλο με K(1,0) και ρ1=2

Β)

$\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{{x}^{2}+{|t|}^{2}x+2-{x}^{2}+4Im(t)x-3}{\sqrt{{x}^{2}+{|t|}^{2}x+2}+\sqrt{{x}^{2}-4Im(t)x+3}}=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{x[{|t|}^{2}+4Im(t)-\frac{1}{x}]}{x[\sqrt{1+\frac{{|t|}^{2}}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{4Im(t)}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}]}}}=0\Leftrightarrow \frac{{|t|}^{2}+4Im(t)}{2}=0\Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+4\beta =0$

Αρα Μ(t) ανηκουν σε κυκλο με Λ(0,-2) και ρ2=2

Γ)

Εφόσον |ρ1-ρ2|<(ΚΛ)<ρ1+ρ2 οι κύκοι τεμνοται. Με σχημα βλεπουμε οτι

${|u-t|}_{max}=(K\Lambda )+{\rho }_{1}+{\rho }_{2}=\sqrt{5}+4$

ledzeppelinick · 31-12-09

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Α) α)

$z(w-1)+iw=0Leftrightarrow w=frac{z}{z+i}Rightarrow |w|=|frac{z}{z+i}|Leftrightarrow |frac{z}{z+i}|=2$

αλλα αυτο που εχω μεσα στο μετρο δεν μου βγαινει ισο με το ζητουμενο,οποτε εδω θα χρειαστω τη βοήθειά σου

β)

$u=frac{3z}{3z+4i}Leftrightarrow u-1=frac{-4i}{3z+4i}Rightarrow |u-1|=frac{|-4i|}{|3z+4i|}Leftrightarrow |u-1|=2$

Αρα Μ(u) ανηκουν σε κυκλο με K(1,0) και ρ1=2

Β)

$lim_{xrightarrow +propto }f(x)=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow +propto }frac{{x}^{2}+{|t|}^{2}x+2-{x}^{2}+4Im(t)x-3}{sqrt{{x}^{2}+{|t|}^{2}x+2}+sqrt{{x}^{2}-4Im(t)x+3}}=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow +propto }frac{x[{|t|}^{2}+4Im(t)-frac{1}{x}]}{x[sqrt{1+frac{{|t|}^{2}}{x}+frac{2}{{x}^{2}}}+sqrt{1-frac{4Im(t)}{x}+frac{3}{{x}^{2}}}]}}}=0Leftrightarrow frac{{|t|}^{2}+4Im(t)}{2}=0Leftrightarrow {alpha }^{2}+{beta }^{2}+4beta =0$

Αρα Μ(t) ανηκουν σε κυκλο με Λ(0,-2) και ρ2=2

Γ)

Εφόσον |ρ1-ρ2|<(ΚΛ)<ρ1+ρ2 οι κύκοι τεμνοται. Με σχημα βλεπουμε οτι

${|u-t|}_{max}=(KLambda )+{rho }_{1}+{rho }_{2}=sqrt{5}+4$

A)

α) δημιουργείς τις εξής σχέσεις:
$z(w-1)+iw=0\Leftrightarrow z(w-1)=-iw\Leftrightarrow \left| z(w-1)\right|=\left| -iw\right|\Leftrightarrow \left| z\right|\left| (w-1)\right|=\left| -i\right|\left| w\right|\Leftrightarrow \left| z\right|\left| (w-1)\right|=2$ (1)
και
$z(w-1)+iw=0\Leftrightarrow zw-z+iw=0\Leftrightarrow \times \bar{w}\Leftrightarrow z|w|^2-z\bar{w}+i|w|^2=0\Leftrightarrow 4z+4i=z\bar{w}\Leftrightarrow 4z+4i-z=z\bar{w}-z\Leftrightarrow 3z+4i=z(\bar{w}-1)\Leftrightarrow \left| 3z+4i\right|=\left| z(\bar{w}-1)\right|\Leftrightarrow \left| 3z+4i\right|=\left| z\right|\left| (\bar{w}-1)\right|$ (2)

και γνωρίζουμε από ιδιότητες μιγαδικών ότι $\left| w-1\right|=\left|\bar{w}-1 \right|$
άρα από (1) και (2) βγαίνει το ζητούμενο

β) ωραίος
Β. σωστός

Γ. πολύ ωραίος (μην παραλείψεις να κάνεις σχήμα αν πέσει τέτοια άσκηση)

β' τρόπος:

Σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα έχουμε

$\left|u-t \right|=\left|u-1+1-t-2i+2i \right|=\left|\left(u-1 \right)+\left(t+2i \right)+(1-2i) \right|\leq \left|u-1 \right|+\left|t+2i \right|+\left|1-2i \right|=2+2+\sqrt{1^2+(-2)^2}=4+\sqrt{5}$

lowbaper92 · 01-01-10

Για δείτε αυτη:

Δίνεται η εξίσωση: $z\bar{z}+4Re[(1-2i)z]+4=0$
α) Να παραστήσετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών z που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση.
β) Αν ${z}_{1},{z}_{2}$ είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: $|{z}_{1}-{z}_{2}|\leq 8$
γ) Αν ${t}_{1},{t}_{2}$ είναι αντίστοιχα, οι τιμές των μιγαδικών ${z}_{1},{z}_{2}$ (του ερωτήματος β), για τις οποίες η παράσταση $|{z}_{1}-{z}_{2}|$ γίνεται μέγιστη,να δείξετε ότι: ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2\nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{\nu }={2}^{4\nu +1}\cdot {5 }^{\nu }$

Και μια ευχή για το 2010: Εύχομαι φέτος η συναρτηση της ευτυχιας να είναι γνησίως αύξουσα και το όριο της χαράς να τείνει στο +οο

Civilara · 02-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Για δείτε αυτη:

Δίνεται η εξίσωση: $zbar{z}+4Re[(1-2i)z]+4=0$
α) Να παραστήσετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών z που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση.
β) Αν ${z}_{1},{z}_{2}$ είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: $|{z}_{1}-{z}_{2}|leq 8$
γ) Αν ${t}_{1},{t}_{2}$ είναι αντίστοιχα, οι τιμές των μιγαδικών ${z}_{1},{z}_{2}$ (του ερωτήματος β), για τις οποίες η παράσταση $|{z}_{1}-{z}_{2}|$ γίνεται μέγιστη,να δείξετε ότι: ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }={2}^{4nu +1}cdot {5 }^{nu }$

Και μια ευχή για το 2010: Εύχομαι φέτος η συναρτηση της ευτυχιας να είναι γνησίως αύξουσα και το όριο της χαράς να τείνει στο +οο

Ωραία άσκηση. Δεν παραθέτω τη λύση για να αφήσω όσους θέλουν να ασχοληθούν. Μόνο ένα tip: χρησιμοποιήστε στο γ) ερώτημα τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου και θα διευκολύνετε τη ζωή σας.

coheNakatos · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Για δείτε αυτη:

Δίνεται η εξίσωση: $zbar{z}+4Re[(1-2i)z]+4=0$
α) Να παραστήσετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών z που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση.
β) Αν ${z}_{1},{z}_{2}$ είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: $|{z}_{1}-{z}_{2}|leq 8$
γ) Αν ${t}_{1},{t}_{2}$ είναι αντίστοιχα, οι τιμές των μιγαδικών ${z}_{1},{z}_{2}$ (του ερωτήματος β), για τις οποίες η παράσταση $|{z}_{1}-{z}_{2}|$ γίνεται μέγιστη,να δείξετε ότι: ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }+{|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }={2}^{4nu +1}cdot {5 }^{nu }$

Και μια ευχή για το 2010: Εύχομαι φέτος η συναρτηση της ευτυχιας να είναι γνησίως αύξουσα και το όριο της χαράς να τείνει στο +οο

α) απο την δοσμενη σχεση με πραξεις .. κυκλος με ρ=4 και K=(-2,-4)
β)|z1-z2|<=2r .Αρα |z1-z2|<=8
γ) Αν δεν κανω καποιο λαθος πρεπει να βγαινει ${2}^{4n}. {5}^{n}$ ?

lowbaper92 · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
α) απο την δοσμενη σχεση με πραξεις .. κυκλος με ρ=4 και K=(-2,-4)
β)|z1-z2|<=2r .Αρα |z1-z2|<=8
γ) Αν δεν κανω καποιο λαθος πρεπει να βγαινει ${2}^{4n}$ ?

Τα α,β σωστά
Για το γ δουλεύεις το πρωτο μέλος και σου βγαζει το ζητουμενο

coheNakatos · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Τα α,β σωστά
Για το γ δουλεύεις το πρωτο μέλος και σου βγαζει το ζητουμενο

Δηλαδη το αποτελεσμα εχει το +1 ?

lowbaper92 · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Δηλαδη το αποτελεσμα εχει το +1 ?

Ναι..Θα διευκολυνθείς αμα δουλεψεις ξεχωριστά το ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2\nu }$ και ξεχωριστά το ${|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{\nu }$
Επίσης ενα σχήμα καλο ειναι να υπαρχει

coheNakatos · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Ναι..Θα διευκολυνθείς αμα δουλεψεις ξεχωριστά το ${|{t}_{1}+{t}_{2}|}^{2nu }$ και ξεχωριστά το ${|10({t}_{1}-{t}_{2})|}^{nu }$
Επίσης ενα σχήμα καλο ειναι να υπαρχει

H πρωτη παρασταση βγαζει μηδεν ή κανω λαθος ?

lowbaper92 · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
H πρωτη παρασταση βγαζει μηδεν ή κανω λαθος ?

Oχι δεν κανει μηδεν..Να πω οτι ενας τροπος λύσης βασιζεται σε Β λυκειου

coheNakatos · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Oχι δεν κανει μηδεν..Να πω οτι ενας τροπος λύσης βασιζεται σε Β λυκειου

Ελα , το $|t1+t2|=4\sqrt{5} ...$
Το ελυσα με σχημα και λιγο Β λυκειου

Και φυσικα αφου γινεται μεγιστο το $|z1-z2|$ θα εχεις $|t1-t2|=8$ , μετα πραξεις ,ουφ

lowbaper92 · 06-01-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Ελα , το $|t1+t2|=4sqrt{5} ...$
Το ελυσα με σχημα και λιγο Β λυκειου

Και φυσικα αφου γινεται μεγιστο το $|z1-z2|$ θα εχεις $|t1-t2|=8$ , μετα πραξεις ,ουφ

Σωστός. μπράβο ! :no1:

ledzeppelinick · 06-01-10

Δινονται οι συναρτησεις $f,g(0,+\propto )\rightarrow R$ τετοιες ωστε $f(x)=(x-1){e}^{x}$ και $g'(x)=\frac{x}{{e}^{x}-1}$ για καθε $x\succ 0$
Αν $g(1)=0$ να αποδειξετε οτι:i) $f(x)\succ -1$ για καθε $x\succ 0$
ii)η $g$ ειναι κοιλη
iii) $\frac{x}{{e}^{x}-1}\prec \frac{g(x)}{x-1}\prec \frac{1}{e-1}$ για καθε $x\succ 1$
iv) $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{g(x)}{f(x)}=0$

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος