ΘΕΜΑ 1ο
Α Θεωρώ

με
Η f είναι συνεχής στο

και παραγωγίσιμη στο
)
. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού, υπάρχει
)
, τέτοιο ώστε
=\frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}})
Ομοίως αν

.
Αν

τότε προφανώς
Άρα για κάθε

ισχύει
=f({x}_{2}))
που σημαίνει ότι η f είναι σταθερή σε όλο το Δ.
B. Μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο

του πεδίου ορισμού της, εφόσον υπάρχει το όριο
και είναι πραγματικός αριθμός. Τότε η τιμή αυτού του ορίου λέγεται παράγωγος της f στο

και συμβολίζεται με:
Γ. α) Σωστό, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Λάθος, ε) Λάθος
ΘΕΜΑ 2ο
Α. α) z=x+iy όπου

και

Έχουμε
β)
Όταν το μέτρο του z γίνεται ελάχιστο, ελαχιστοποιείται και το τετράγωνό του.
Θέτω
=2{x}^{2}-4x+4)
. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο
f συνεχής στο

, f παραγωγίσιμη στο
)
και
<0)
για κάθε x στο
)
. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

.
f συνεχής στο
)
, f παραγωγίσιμη στο
)
και
>0)
για κάθε x στο
)
. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο

.
Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

το οποίο έχει τιμή
Άρα ο μιγαδικός

έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο από τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος και έχει μέτρο
Ο

αντιστοιχεί σε τιμή του λ,
Β.
Πρέπει

και
Άρα

-----------------------------------------
ΘΕΜΑ 1ο
Α Θεωρώ

με
Η f είναι συνεχής στο

και παραγωγίσιμη στο

. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού, υπάρχει
)
, τέτοιο ώστε
=frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}})
Ομοίως αν

. Άρα για κάθε {x}_{1}, {x}_{2}in Delta ισχύει
=f({x}_{2}))
που σημαίνει ότι η f είναι σταθερή σε όλο το Δ.
B. Μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο

του πεδίου ορισμού της, εφόσον υπάρχει το όριο
και είναι πραγματικός αριθμός. Τότε η τιμή αυτού του ορίου λέγεται παράγωγος της f στο

και συμβολίζεται με:
Γ. α) Σωστό, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Λάθος, ε) Λάθος
ΘΕΜΑ 2ο
Α. α) z=x+iy όπου

και

Έχουμε
β)
Όταν το μέτρο του z γίνεται ελάχιστο, ελαχιστοποιείται και το τετράγωνό του.
Θέτω
=2{x}^{2}-4x+4)
. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο
f συνεχής στο

, f παραγωγίσιμη στο
)
και
<0)
για κάθε x στο
)
. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

.
f συνεχής στο
)
, f παραγωγίσιμη στο
)
και
>0)
για κάθε x στο
)
. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο

.
Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

το οποίο έχει τιμή
Άρα ο μιγαδικός

έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο από τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος και έχει μέτρο
Ο

αντιστοιχεί σε τιμή του λ,
Β.
Πρέπει

και
Άρα
ΘΕΜΑ 3ο
A.
Άρα
\geq f(0))
, οπότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

.
Το πεδίο ορισμού της f είναι το
)
. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο A με παράγωγο
Η f είναι ορισμένη στο Α, παραγωγίσιμη στο

και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat είναι f΄(0)=0
Άρα
B. α)
f συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α με
Η f΄ είναι παραγωγίσιμη στο Α. Άρα η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο Α με δεύτερη παράγωγο:
Το εσωετρικό του Α ταυτίζεται με το Α καθώς το Α είναι ανοικτό διάστημα.
Η f είναι συνεχής στο Α και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Α και ισχύει
>0)
για κάθε x στο Α. Άρα η f είναι κυρτή στο Α.
β) f κυρτή στο Α => f΄ γνησίως αύξουσα στο Α
f΄(0)=0
Η f είναι συνεχής στο (-1,0], παραγωγίσιμη στο (-1,0) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (-1,0). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-1,0]
H f είναι συνεχής στο
)
, παραγωγίσιμη στο
)
και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο
)
. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο
γ) f(0)=1
Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-1,0], οπότε
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο
)
, οπότε
Επομένως για κάθε
\bigcup (0,+\propto ))
, ισχύει
Θεωρώ την συνάρτηση
Η g είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική.
Η g είναι συνεχής στο [1, 2] και ισχύει g(1)g(2)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (1,2) τέτοιο ώστε g(ξ)=0
Άρα η εξίσωση
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (1,2).
ΘΕΜΑ 4ο
α. Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,2], τότε η συνάρτηση
=\int_{0}^{x}f(t)dt)
είναι παραγωγίσιμη στο [0,2] και ισχύει
=f(x))
για κάθε x στο [0,2]. Επειδή η F είναι παραγωγίσιμη στο [0,2] τότε είναι και συνεχής στο [0,2]
Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,2], τότε η συνάρτηση h(x)=xf(x) είναι συνεχής στο [0,2]. Επειδή η h είναι συνεχής στο [0,2] τότε η συνάρτηση
=\int_{0}^{x}h(t)dt=\int_{0}^{x}tf(t)dt)
είναι παραγωγίσιμη στο [0,2] και ισχύει
=h(x)=xf(x))
για κάθε x στο [0,2].
Ως συνεχείς συναρτήσεις στο [0,2], οι f,F,h,H είναι συνεχείς στο (0,2].
Συνεπώς η G στο (0,2] γράφεται
Άρα η G είναι συνεχής στο (0,2], αφού προκύπτει από πράξεις μεταξύ συνεχών συνατήσεων στο (0,2]
Θα υπολογιστεί το όριο
Επειδή
το όριο οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0/0. Έχουμε
Επομένως
=6\frac{1}{2}=3)
.
Η συνάρτηση H είναι παραγωγίσιμη στο [0,2], οπότε είναι παραγωγίσιμη (από δεξιά-από μεγαλύτερες τιμές) στο 0.
Άρα από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε:
F συνεχής στο [0,2] => F συνεχής (από δεξιά) στο 0 =>
Έχουμε
Άρα
=G(0))
που σημαίνει ότι η G είναι συνεχής (από δεξιά) στο 0.
Η G είναι συνεχής στο (0,2] και ισχύει
Επομένως η G είναι συνεχής στο [0,2].
β. Για x στο (0,2) είναι
=\frac{H(x)}{x}-F(x)+3)
Οι H και F είναι παραγωγίσιμες στο [0,2], οπότε και στο (0,2).
Η συνάρτηση
=\frac{H(x)}{x})
είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) αφού η H είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) και έχει παράγωγο:
Επομένως η
=\Phi (x)-F(x)+3)
είναι παραγωγίσιμη στο (0,2) και έχει παράγωγο:
Άρα
=-\frac{H(x)}{{x}^{2}})
για κάθε x στο (0,2)
γ.
G συνεχής στο [0,2], G παραγωγίσιμη στο (0,2) και G(0)=G(2). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει τουλάχιστον ένα α στο (0,2) τέτοιο ώστε
δ.
G συνεχής στο [0,α] και G παραγωγίσιμη στο (0,α). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (0,α) τέτοιο ώστε
=-\frac{F(\alpha)}{\alpha}\Rightarrow -\frac{H(\xi )}{{\xi }^{2}}=-\frac{F(\alpha)}{\alpha}\Rightarrow \frac{H(\xi )}{{\xi }^{2}}=\frac{F(\alpha)}{\alpha}\Rightarrow \alpha H(\xi )={\xi }^{2}F(\alpha )\Rightarrow \alpha \int_{0}^{\xi }tf(t)dt={\xi }^{2}\int_{0}^{\alpha }f(t)dt)