Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

termitis · 30-03-09

Το Γ' ακομα το δουλευω...πες μου μονο αν εχω κανει σωστα τα αλλα pliz...(σευχαριστω παρα πολυ για τις ασκησεις που μας δινεις!):no1:
εχω επισυναψει τη λυση..

manos66 · 30-03-09

Αρχική Δημοσίευση από termitis:
Το Γ' ακομα το δουλευω...πες μου μονο αν εχω κανει σωστα τα αλλα pliz...(σευχαριστω παρα πολυ για τις ασκησεις που μας δινεις!):no1:
εχω επισυναψει τη λυση..

Σωστά τα α και β.

bobiras11 · 31-03-09

1)De L'Hospital για το πρώτο βγαίνει 1.
2)Έστω g 2 ρίζες, Rolle και εις άτοπο.
3) Ισχύει f'(x)-g'(x)=2010 από συνέπεια ΘΜΤ
f(x)-g(x)=2010x-2006>0 για χε[1,2]

E(Ω)=oλοκλ από 1 ως 2(2010χ - 2006) = 1009 τ.μ.
-----------------------------------------
Το c προκύπτει από συνέπεια ΘΜΤ ως εξής:
f(x)-g(x)=2010x + c <=> f(x)-2010x-2=g(x)+c-2 άρα αν πάρουμε τα όρια στο +οο έχουμε: 0=2008+c-2 <=> c=-2006

lostG · 31-03-09

Άσκηση τού καθηγητή κ. Ανέστη Τσομίδη.(Καλό είναι κάπου- κάπου να λέμε και το δημιουργό αν δεν είναι δική μας)
Ο βαθμός δυσκολίας της, τη κατατάσσει κατά τη γνώμη μου ως τρίτο ζήτημα στις εξετάσεις.

Έστω η συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη στο $0$ με $f(0)\neq 0$ και

$f(x+y)=f(x)f(y)}$ γιά κάθε $x,y \in R}$ .

α) Να δείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $R$ .

β) Να δείξετε ότι υπάρχει $c\in R$ ώστε $f(x)={e}^{cx}$ γιά κάθε $x\in R$ .

γ) Αν $f '(0) = 3$ , να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης $g(x)=\frac{f(x)-f(\frac{x}{3})}{x-2}$

mostel · 31-03-09

Το ερώτημα 2, είναι πάρα πολύ ωραίο για απόδειξη, (χωρίς να μας δώσει ότι η f έχει αυτή τη μορφή). Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται "Cauchy". Μια απόδειξη αυτού του λήμματος, μπορείτε να βρείτε στη σελίδα 274 του Problem Solving Strategies του Arthur Engel (είναι λίγο μεγάλη γι' αυτό δε τη γράφω).

- Στέλιος

lostG · 31-03-09

Ως προς τη παραγωγισιμότητα προβλέπω πάλι να διχάζονται οι γνώμες γιά το αν θα πρέπει να παραγωγίσουμε απ' ευθείας τη δοσμένη τη στιγμή που δεν ξέρουμε την παραγωγισιμότητα της f παρά μόνο στο 0 (Έτσι πάντως τη λύνει ο καθηγητής Α.Τ).
Πιστεύω (?) πως δεν είναι λάθος αυτό αλλά εγώ γιά να αποφύγω οποιαδήποτε αμφισβήτηση χρησιμοποίησα τη βοήθεια του ορισμού της παραγώγου με το όριο του πηλίκου διαφορών με το y-->0( ή h-->0) αποδείχνοντας έτσι την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης στο τυχαίο x.
Αν θυμάσαι παλιότερα Στέλιο είχαμε κάτι διχογνωμίες πάνω σ' αυτό αλλά τελικά συμφωνήσαμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους κανόνες παραγώγισης έστω και αν αυτό θα γίνει γιά ένα μόνο σημείο.Και τότε πάλι η άσκηση έδινε ότι ήταν παραγωγίσιμη σε ένα x0)
Αυτά βέβαια γιά το πρώτο ερώτημα.

manos66 · 31-03-09

Επίσης το τρίτο ερώτημα βγαίνει ανεξάρτητα αν έχεις κάνει τα δύο πρώτα.

manos66 · 31-03-09

Για τον μιδαδικό z ισχύουν :

$\left|z-2i \right|=\left|Im(z) + 2 \right|$
η εικόνα του z κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f

Οι γραφικές παραστάσεις των f , g δέχονται κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 4.
α) Να βρεθεί ο τύπος της f.
β) Να βρεθούν τα παρακάτω όρια :
$\\ i) \lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x^2)-x}{x-2} \\ ii) \lim_{x\rightarrow 4}\frac{2g(x)-x}{x-4}$

riemann80 · 31-03-09

επισης θα μπορουσαμε να θεσουμε και καποια ερωτηματα γιατην αντιστροφη ,δηλαδη τον λογαριθμο και να αποδειξουμε ιδιοτητες χρησιμοποιωντας μονο καποιες βασικες υποθεσεις.

Metal-Militiaman · 01-04-09

α) Έστω xo \in R τότε από την ιδιότητα \lim_{h\rightarrow0 }\frac{f(xo+h)-f(xo)}{h}έχουμε:
\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)f(xo)-f(xo)}{h}
Όμως για χ=y=0 , f(0)=f{(0)}^{2} \Rightarrow f(0)=1 επειδή f(0)\neq 0
f'\grave{}(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\Rightarrow f'\grave{ }(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-1}{x}
άρα f'(xo)= \lim_{h\rightarrow 0}f(xo)(\frac{f(h)-1}{h})=f(xo)f'(0)
β) Παραγωγίζουμε τη σχέση f(x+y)=f(x)f(y) ως προς y με χ σταθερό
Οπότε, f'(x+y)=f(x)f'(y) και για y=0 παίρνουμε f'(x)-f'(0)f(x)=0 \Rightarrow f'(x){e}^{-f'(0)x}-{e}^{-f'(0)x}f'(0)f(x)=0
\Rightarrow f'(x){e}^{-f'(0)x}+({e}^{-f'(0)x})'f(x)=0 \Rightarrow (f(x){e}^{-f(0)x})'=({c}_{1})' \Rightarrow
f(x){e}^{-f'(0)x}={c}_{1}+{c}_{2} αλλά για χ=0 f(0)1={c}_{1}+{c}_{2} \Rightarrow {c}_{1}+{c}_{2}=1 άρα f(x){e}^{-f'(0)x}=1 \Rightarrow f(x)={e}^{f'(0)x} που είναι της μορφής f(x)={e}^{cx} με f'(0)=c
γ). για f'(0)=3 λόγω της (β) είναι g(x)=\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{x-2} με D(g)=R-{2}
ψαχνουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 2 \lim_{x\rightarrow 2 }\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{x-2}=-inf
αρα χ=2 \lim_{x\rightarrow -inf }\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{x-2}=\lim_{x\rightarrow -inf }{e}^{x}\frac{{e}^{2x}-1}{x-2}
για x<0 \Rightarrow {e}^{x}<1 \Rightarrow \frac{{e}^{x}}{x-2}>\frac{1}{x-2}
αρα \frac{1}{x-2}< \frac{{e}^{x}}{x-2}<{e}^{x} απο κριτίριο παρεμβολής προκύπτει ότι \lim_{χ\rightarrow -inf}\frac{{e}^{x}}{x-2}=0 Οπότε \lim_{χ\rightarrow -+inf} \frac{{e}^{x}}{x-2}\lim_{χ\rightarrow -inf}({e}^{2x}-1)=0\cdot 0=0 αρα στο μειον άπειρο οριζόντια ασύμπτωτη ο χ'χ
\lim_{χ\rightarrow +inf}\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{x-2}=(\frac{0}{0}) \lim_{χ\rightarrow inf}(3{e}^{3x}-{e}^{x})=+inf
\lim_{χ\rightarrow +inf}\frac{g(x)}{x}=\lim_{χ\rightarrow +inf}\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{{x}^{2}-2x} και με δυο Hospital το όριο ειναι +inf

termitis · 01-04-09

Ας ανεβασει καποιος τη λυση παρακαλω!

manos66 · 01-04-09

H λύση του Metal-Militiaman
α) Έστω $xo \in R$ τότε από την ιδιότητα $\lim_{h\rightarrow0 }\frac{f(xo+h)-f(xo)}{h}$ έχουμε:
$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)f(xo)-f(xo)}{h}$
Όμως για χ=y=0 , $f(0)=f{(0)}^{2} \Rightarrow f(0)=1$ επειδή $f(0)\neq 0 , f'\grave{}(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\Rightarrow f'\grave{ }(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-1}{x}$
άρα $f'(xo)= \lim_{h\rightarrow 0}f(xo)(\frac{f(h)-1}{h})=f(xo)f'(0)$
β) Παραγωγίζουμε τη σχέση f(x+y)=f(x)f(y) ως προς y με χ σταθερό
Οπότε, f'(x+y)=f(x)f'(y) και για y=0 παίρνουμε
$f'(x)-f'(0)f(x)=0 \Rightarrow f'(x){e}^{-f'(0)x}-{e}^{-f'(0)x}f'(0)f(x)=0 \Rightarrow f'(x){e}^{-f'(0)x}+({e}^{-f'(0)x})'f(x)=0 \Rightarrow (f(x){e}^{-f(0)x})'=({c}_{1})' \Rightarrow f(x){e}^{-f'(0)x}={c}_{1}+{c}_{2}$
αλλά για χ=0 $f(0)1={c}_{1}+{c}_{2} \Rightarrow {c}_{1}+{c}_{2}=1$
άρα $f(x){e}^{-f'(0)x}=1 \Rightarrow f(x)={e}^{f'(0)x}$
που είναι της μορφής $f(x)={e}^{cx}$ με f'(0)=c
γ). για f'(0)=3 λόγω της (β) είναι $g(x)=\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{x-2}$ με D(g)=R-{2}
ψαχνουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 2
$\lim_{x\rightarrow 2 }\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{x-2}=-+\propto$ αρα x=2

$\lim_{x\rightarrow -+\propto }\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{x-2}=\lim_{x\rightarrow -+\propto }{e}^{x}\frac{{e}^{2x}-1}{x-2}$

για x<0 $\Rightarrow {e}^{x}<1 \Rightarrow \frac{{e}^{x}}{x-2}>\frac{1}{x-2}$
αρα $\frac{1}{x-2}< \frac{{e}^{x}}{x-2}<{e}^{x}$
απο κριτίριο παρεμβολής προκύπτει ότι $\lim_{x\rightarrow -\propto }\frac{{e}^{x}}{x-2}=0$
Οπότε $\lim_{x\rightarrow -\propto } \frac{{e}^{x}}{x-2}\lim_{x\rightarrow -\propto }({e}^{2x}-1)=0\cdot 0=0$
αρα στο μειον άπειρο οριζόντια ασύμπτωτη ο χ'χ

$\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{x-2}=(\frac{0}{0}) \lim_{x\rightarrow +\propto }(3{e}^{3x}-{e}^{x})=+\propto \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{g(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{{e}^{3x}-{e}^{x}}{{x}^{2}-2x}$
και με δυο Hospital το όριο ειναι $+\propto$

lostG · 01-04-09

Το θέμα είναι ότι γιά να τη γράψω με latex αποκλείεται.Γιά να γράψω την εκφώνηση μου πήρε τουλάχιστον μισή ώρα!.
Ένας τρόπος είναι να ανεβάσω εικόνα(χειρόγραφα) αλλά είναι λίγο ...αναχρονιστικό.
Θα προσπαθήσω να κάνω κατι τι.
Μετά από παραγώγιση της σχέσης μία ως προς ψ και μετά μία ως πρός χ παίρνεις
f '(x+y)= f '(x)f(y) και f '(x+y)= f '(y)f(x).

f '(x)f(y) = f '(y)f(x) θετουμε y=0 τελικά f '(x) = cf(x) επειδή υπάρχει η f '(0) και επίσης λέει ότι f(0) διάφορο τού 0.

Έτσι f '(x) -cf(x)=0, την πολλαπλασιάζουμε με e^(-cx)

[e^(-cx)f(x)] '=0

e^(-cx)f(x)] = k άρα f(x)=ke^(cx)
Αλλα απο την αρχικη για χ=ψ=0 βγαινει οτι f(0)=1 και απο την τελευταια το κ =1

f(x)=e^(cx)

Sorry για τη βιασύνη.Κάποια στιγμη θα την γραψουμε καθαρα.Ας μπει καποιος στον κοπο να την κανει με ΛΑΤΕΞ. Να γιατί δεν θέλω να προτείνω ασκήσεις.Γιατί θα πρέπει μετά να έχεις την υπομονή να υποστηρίξεις αυτό που άρχισες.Κάποιοι άλλοι συνάδελφοι ειναι πολύ καλύτεροι από μένα πάνω σ' αυτό ονόματα να μη λέμε. Δεν είναι σωστό να ρίχνω μιά άσκηση φωτοβολίδα και μετά να την ..κάνω με τρόπο!

Το γ ερωτημα ειναι απλο ας το κανει καποιος.

Υ/Γ.Μάνο πέσαμε στην ίδια...συχνότητα!(Με διαφορά 4 λεπτών!)

edit:
Γιά το α' ερώτημα εγώ υιοθετώ το τρόπο του Metal-Militiaman .Εγώ το έκανα λίγο διαφορετικά.Πήρα τη δοσμένη σχέση, αφαίρεσα από τα δύο μέλη το f(x), έπειτα διαίρεσα τη σχέση με y, μετά πήρα τα όρια όταν y-->0 κ.λ.π

Ο Α.Τ άπλά παραγωγίζει όπως έκανα κι εγώ στο β' ερώτημα και οδηγείται έτσι στην ύπαρξη της συνάρτησης f '(x). Το ερώτημα είναι: Μπορούμε να το ξεκινήσουμε έτσι τη στιγμή που δεν γνωρίζουμε αν ειναι παραγωγίσιμη παρά μόνο στο 0? Νάτη πάλι η γνωστή αντιπαράθεση!

Metal-Militiaman · 01-04-09

εμένα να δεις! μου πήρε περισσότερη ώρα να γράψω σε latex παρά να λύσω την άσκηση και το χειρότερο, απο την αρχή του δεύτερου ερωτήματος και μέτα δεν ήξερα τι έγραφα άσε που ήταν και η πρώτη φορά που χρησιμοποιώ latex. τώρα που μου το μετάφρασε ο manos66 το είδα για πρώτη φορά, θέλει κάποιες διορθώσεις.

lostG · 01-04-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
εμένα να δεις! μου πήρε περισσότερη ώρα να γράψω σε latex παρά να λύσω την άσκηση και το χειρότερο, απο την αρχή του δεύτερου ερωτήματος και μέτα δεν ήξερα τι έγραφα άσε που ήταν και η πρώτη φορά που χρησιμοποιώ latex. τώρα που μου το μετάφρασε ο lostG το είδα για πρώτη φορά, θέλει κάποιες διορθώσεις.

Ο manos66 θέλεις μα πείς.Πες του ένα ευχαριστώ

manos66 · 01-04-09

Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στους θετικούς και ισχύουν :

$f(x) - f(y) =f\left(\frac{x}{y} \right)$ , για κάθε x, y > 0
η εξίσωση f (x) = 0 έχει μοναδική λύση

α) N.δ.ο. η f είναι "1-1"
β) Αν z είναι μιγαδικός με $f(2\left| z^2\right|) =2f(\left| z+2\right|)$ , ν.δ.ο. η εικόνα του z κινείται σε κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.
γ) Αν $z_1,z_2$ είναι μιδαδικοί με εικόνες στον παραπάνω κύκλο ν.δ.ο. $\left| z_1-z_2\right| \leq 4\sqrt{2}$

Metal-Militiaman · 01-04-09

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Ο manos66 θέλεις μα πείς.Πες του ένα ευχαριστώ

σωστά! το διόρθωσα.

djimmakos · 01-04-09

Όταν γράφετε σε latex, για να εμφανίζονται οι τύποι που γράφετε πρέπει να τους βάζετε ανάμεσα στις καρτέλες $[/latex ]..Αυτές οι καρτέλες βγαίνουν αυτόματα αν πατήσετε το κουμπάκι με τη ρίζα πάνω δεξιά..<br /> Για να γράψετε τους τύπους, υπάρχει ο συντάκτης latex από τον οποίο μπορείτε να μπείτε πατώντας το αντίστοιχο κουμπάκι$

Metal-Militiaman · 01-04-09

α) για χ=y=1 έχουμε f(1)-f(1)=f(1) \Rightarrow f(1)=0 άρα 1 μοναδική ρίζα
έστα f(α)=f(β) με α,β>0 τότε:
f(α)-f(β)=0 \Rightarrow f(\frac{α}{β})=0 \Rightarrow f(\frac{α}{β})=f(1) 1 μοναδική ρίζα της εξίσωση f(x)=0
οπότε \frac{α}{β}=1 \Rightarrow α=β άρα f <<1-1>>.
β) f(2\left|{z}^{2} \right|)-f(\left|z+2 \right|)=f(\left|z+2 \right|) \Rightarrow f(\frac{2\left|{z}^{2} \right|}{\left|z+2 \right|})=f(\left|z+2 \right|) \Rightarrow f <<1-1>> \frac{2\left|{z}^{2} \right|}{\left|z+2 \right|}=\left|z+2 \right| \Rightarrow 2\left|{z}^{2} \right|={\left|z+2 \right|}^{2}
θεωρούμε το z=x+yi, x,y\in R
τότε 2({x}^{2}+{y}^{2})={x+2}^{2}+{y}^{2} \Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}-4x-4=0 κύκλος
ακτίνας ρ=\frac{1}{2}\sqrt{{-4}^{2}-4(-4)} \Rightarrow ρ=2\sqrt{2} κέντρου Κ(2,0)
γ) Προφανώς δυο εικόνες μιγαδικών όταν κινούνται σε κύκλο έχουν τη μέγιστη απόσταση όταν οι εικόνες τους είναι αντιδιαμετρικές
δηλαδή \left|{z}_{1} \right-{z}_{2}| \leq =2ρ=4\sqrt{2}

riemann80 · 02-04-09

Δινεται η μη σταθερη και συνεχης συναρτηση $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ για την οποια ισχυει $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$ Να δειξετε οτι υπαρχει $[\gamma ,\delta ]\subseteq [a,b]$ ωστε στο [γ,δ] να ικανοποιουνται οι υποθεσεις του θεωρηματος bolzano για την f.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος