Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

paganini666 · 28-09-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Την άσκηση την έχω λύσει εδώ καί μέρες αλλά δεν νομίζω ότι πρέπει να τρέχω να την αναρτώ προς ανάγνωση κάθε φορά.Μόνο γιά τις έξυπνες ασκήσεις αξίζει τον κόπο.Εγώ θα κρίνω ποιά άσκηση είναι πραγματικά καλή καί προ πάντων χρήσιμη γιά μας.Καί γιά μένα αυτή η άσκηση είναι απλά γιά εκπαίδευση στις πράξεις.Δεν έχει βάθος.Όταν φτάνεις να λες το πραγματικό είναι μηδέν καί το φανταστικό είναι μηδέν ε δεν λέει καί πολλά.Πέρα από τον μεγάλο αριθμό τον κλασμάτων πού μπαίνει γιά εκφοβισμό δεν έχει βάθος όπως είπα.Πάντα κατά τη γνώμη μου.
Καί σε τελική ανάλυση αυτό πού απέδειξες δεν είναι το ζητούμενο απλά βρήκες ότι το πραγματικό μέρος τού z είναι ίσο με μηδέν.Έπρεπε επομένως να πείς ότι με z=0 η δοσμένη σχέση δεν επαληθεύεται άρα αναγκαστικά θα είναι y διάφορο τού μηδενός καί έτσι "κλειδώνεις" πλέον ότι ο z είναι καθαρά φανταστικός.

Μη θεωρηθεί ότι γίναμε ξαφνικά τίποτα Καραθεοδωρήδες έτσι? Πρέπει να φάμε ακόμη πολλές κουλούρες ψωμί(έτσι δεν λένε?) γιά να μπορέσουμε απλά να πλησιάσουμε εκείνους τούς τεράστιους της γνώσης.

ηρεμηστεεεεε....
Η ασκηση νομιζω ηταν καλη,δν ηταν απλα πραξεις γιατι ειχε μεγαλο αριθμο προσθεταιων οποτε επρεπε να σκεφτεις ποια μορφη θα παρει καθε προσθεταιος.Για εναν Θαλη ΕΜΕ η για 4ο στις πανελλαδικες δν ηταν κακη.
Και αυτο που λες δε νομιζω να χρειαζεται γιατι 1)το 0 ειναι και αυτος φανταστικος 2)η ασκηση δεν μου ζηταει διερευνηση,δε μου ζηταει καν για ποια yi επαληθευεται.Απλως ζηταει να δειξω οτι ο z παιρνει φανταστικες τιμες και αυτο εδειξα.Μην κανετε πραματα που δν ζηταει η ασκηση...
και λιγουλακι καλοπροαίρετη διάθεση κακο δν κανει... :mad:

Φιλικα παντα.

kvgreco · 28-09-08

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
ηρεμηστεεεεε....
Η ασκηση νομιζω ηταν καλη,δν ηταν απλα πραξεις γιατι ειχε μεγαλο αριθμο προσθεταιων οποτε επρεπε να σκεφτεις ποια μορφη θα παρει καθε προσθεταιος.Για εναν Θαλη ΕΜΕ η για 4ο στις πανελλαδικες δν ηταν κακη.
Και αυτο που λες δε νομιζω να χρειαζεται γιατι 1)το 0 ειναι και αυτος φανταστικος 2)η ασκηση δεν μου ζηταει διερευνηση,δε μου ζηταει καν για ποια yi επαληθευεται.Απλως ζηταει να δειξω οτι ο z παιρνει φανταστικες τιμες και αυτο εδειξα.Μην κανετε πραματα που δν ζηταει η ασκηση...
και λιγουλακι καλοπροαίρετη διάθεση κακο δν κανει...
Φιλικα παντα.

Χαίρομαι πού συζητάμε πολιτισμένα καί με καλή διάθεση.Να σού πω γιατί "αρπάχτηκα".Με ενοχλούν αφάνταστα εκφράσεις τού τύπου Όπως το "παιδί" το "ρε φίλε", "φιλαράκι", "το παληκάρι".Κι αυτό γιατί κάθε άλλο παρά κοντά με το συνομιλητή σου σε φέρνουν.Καί σε άλλα φόρα όπου κατά κόρον λέγονται τέτοιες εκφράσεις βλέπεις ότι μόνο ειρωνικό καί υποτιμητικό περιεχόμενο έχουν.Τέλος πάντων αυτά είναι προσωπικά καί δύσκολα να αλλάξεις τον χαρακτήρα τού άλλου.
Στην άσκηση τώρα.Είμαστε συμμαθητές καί κάνουμε μιά συζήτηση επί ίσοις όροις.Μπορεί να φανεί καί κοκκορομαχία.
Ο άριθμός μηδέν σαφώς καί δεν είναι καθαρά φανταστικός όπως λες.Γιατί τόσα χρόνια πού μιλάγαμε γιά το σύνολο των πραγματικών ο μηδέν θα ήταν ένας "εξωγήινος" αριθμός.Είναι σαν να λες κατ' αντιστοιχία ότι ο μηδέν είναι αρνητικός επειδή έτσι σε συμφέρει σε μία άσκηση.
Ποιός είναι ο ορισμός τού καθαρά φανταστικού αριθμού. Όταν έχει τη μορφή ki με κ διάφορο τού μηδενός.Η λέξη καθαρά είναι πολύ "σημαντική".Διαβάζουμε πού καί πού καί κανένα "τελείως" εξωσχολικό βιβλίο καί μορφωνόμαστε!
Ο μηδέν συνεπώς είναι καί πραγματικός καί φανταστικός ή τίποτα από τα δύο, αλλά μη βάλεις τη λέξη "καθαρά".
όσο γιά τη διερεύνηση πού λες αυτό κι αν είναι σπουδαίο σε μία άσκηση.Αν δεν "σαρώσουμε" όλα τα ενδεχόμενα σε μία άσκηση ό βαθμολογητής περιμένει με το σπαθί(συγγνώμη με το στυλό) στο χέρι να μας πάρει το σκαλπ.
Εγώ από τη μεριά μου θα σού πω μπράβο γιά τη προσπάθειά σου καί κυρίως γιά το κουράγιο σου να παιδευτείς με το LaTex πράγμα πού εμένα με αποθαρρύνει.
Τα είπα καί ξέσκασα :jumpy:

paganini666 · 28-09-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Χαίρομαι πού συζητάμε πολιτισμένα καί με καλή διάθεση.Να σού πω γιατί "αρπάχτηκα".Με ενοχλούν αφάνταστα εκφράσεις τού τύπου Όπως το "παιδί" το "ρε φίλε", "φιλαράκι", "το παληκάρι".Κι αυτό γιατί κάθε άλλο παρά κοντά με το συνομιλητή σου σε φέρνουν.Καί σε άλλα φόρα όπου κατά κόρον λέγονται τέτοιες εκφράσεις βλέπεις ότι μόνο ειρωνικό καί υποτιμητικό περιεχόμενο έχουν.Τέλος πάντων αυτά είναι προσωπικά καί δύσκολα να αλλάξεις τον χαρακτήρα τού άλλου.
Στην άσκηση τώρα.Είμαστε συμμαθητές καί κάνουμε μιά συζήτηση επί ίσοις όροις.Μπορεί να φανεί καί κοκκορομαχία.
Ο άριθμός μηδέν σαφώς καί δεν είναι καθαρά φανταστικός όπως λες.Γιατί τόσα χρόνια πού μιλάγαμε γιά το σύνολο των πραγματικών ο μηδέν θα ήταν ένας "εξωγήινος" αριθμός.Είναι σαν να λες κατ' αντιστοιχία ότι ο μηδέν είναι αρνητικός επειδή έτσι σε συμφέρει σε μία άσκηση.
Ποιός είναι ο ορισμός τού καθαρά φανταστικού αριθμού. Όταν έχει τη μορφή ki με κ διάφορο τού μηδενός.Η λέξη καθαρά είναι πολύ "σημαντική".Διαβάζουμε πού καί πού καί κανένα "τελείως" εξωσχολικό βιβλίο καί μορφωνόμαστε!
Ο μηδέν συνεπώς είναι καί πραγματικός καί φανταστικός ή τίποτα από τα δύο, αλλά μη βάλεις τη λέξη "καθαρά".
όσο γιά τη διερεύνηση πού λες αυτό κι αν είναι σπουδαίο σε μία άσκηση.Αν δεν "σαρώσουμε" όλα τα ενδεχόμενα σε μία άσκηση ό βαθμολογητής περιμένει με το σπαθί(συγγνώμη με το στυλό) στο χέρι να μας πάρει το σκαλπ.
Εγώ από τη μεριά μου θα σού πω μπράβο γιά τη προσπάθειά σου καί κυρίως γιά το κουράγιο σου να παιδευτείς με το LaTex πράγμα πού εμένα με αποθαρρύνει.
Τα είπα καί ξέσκασα

Και γω χαιρομαι.
Παντως στο βιβλιο οταν οριζει τους φανταστικους αριθμους ως λi δν διευκρινιζει αν το λ ειναι διαφορο του μηδεν.

Οσο αναφορα τη διερευνηση συμφωνω αλλά όχι σε μια αποδεικτική ασκηση!:nono:
Γιατι γενικα οταν μας ζητανε με βαση μια σχεση να δειξουμε κατι αλλο εμεις πρεπει απλα να αποδειξουμε αυτο που μας ζητανε και τπτ παραπανω.
πχ στην ασκηση αυτη ο z δν παιρνει ολες τις τιμες λi.πολλες αποκλείονται αμεσως απο τους περιορισμους και σιγουρα δν παιρνει και απειρες τιμες αλλα αφου αυτο μας ζηταει η ασκηση αρκουμαστε σε αυτο και δν χρειαζεται να αναφερουμε τπτ για το λ.Τωρα για το 0 που λες μπορει να εχεις δικιο αν το 0 δν θεωρειται φανταστικος.
Ετσι νομιζω εχουν τα πραγματα.

mostel · 28-09-08

Πάρτε μια καλή για να ασχοληθείτε και αφήστε τα πολλά λόγια

Έστω $z_1,z_2,z_3$ μιγαδικοί που οι εικόνες τους βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο και ο αριθμός $a=\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}$ είναι πραγματικός. Να δείξετε ότι:

α) Ο $\frac{z_2}{z_1}+\frac{z_3}{z_2}+\frac{z_1}{z_3}$ είναι ίσος με τον $a$ .

β) Η παράσταση $\left(x-\frac{z_1}{z_2}\right)\left(x-\frac{z_2}{z_3}\right)\left(x-\frac{z_3}{z_1}\right)\in\mathbf{R} , \forall x\in\mathbf{R}$ .

γ) $z_1=z_2$ ή $z_1=z_3$ ή $z_2=z_3$ .

Στέλιος

paganini666 · 28-09-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Πάρτε μια καλή για να ασχοληθείτε και αφήστε τα πολλά λόγια
Στέλιος

τελικα το λ ειναι διαφορο του 0 στη μορφη λi?

mostel · 28-09-08

Θα σου πω το εξής.

Το 0 εν δυνάμει ανήκει και στους φυσικούς (παλαιότερα, τώρα δε το συμπεριλαμβάνουν), και στους ακεραίους, και στους πραγματικούς, και στους φανταστικούς.

Σκέψου τη Θεσσαλονίκη. Ανήκει στο νομό Θεσσαλονίκης, αλλά ανήκει και σε κάτι ευρύτερο (στην Ελλάδα), στην Ευρώπη, κ.ό.κ.

Άρα το λ μπορεί να 'ναι και 0. Το 0 μπορεί να θεωρηθεί και φανταστικός, και πραγματικός.

paganini666 · 28-09-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Θα σου πω το εξής.

Το 0 εν δυνάμει ανήκει και στους φυσικούς (παλαιότερα, τώρα δε το συμπεριλαμβάνουν), και στους ακεραίους, και στους πραγματικούς, και στους φανταστικούς.

Σκέψου τη Θεσσαλονίκη. Ανήκει στο νομό Θεσσαλονίκης, αλλά ανήκει και σε κάτι ευρύτερο (στην Ελλάδα), στην Ευρώπη, κ.ό.κ.

Άρα το λ μπορεί να 'ναι και 0. Το 0 μπορεί να θεωρηθεί και φανταστικός, και πραγματικός.

ευχαριστω mostel.Κινητη εγκυκλοπαιδεια εισαι!
-----------------------------------------
[quote=mostel;125225]Πάρτε μια καλή για να ασχοληθείτε και αφήστε τα πολλά λόγια

Έστω $z_1,z_2,z_3$ μιγαδικοί που οι εικόνες τους βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο και ο αριθμός $a=frac{z_1}{z_2}+frac{z_2}{z_3}+frac{z_3}{z_1}$ είναι πραγματικός. Να δείξετε ότι:

α) Ο $frac{z_2}{z_1}+frac{z_3}{z_2}+frac{z_1}{z_3}$ είναι ίσος με τον $a$ .

β) Η παράσταση $left(x-frac{z_1}{z_2}right)left(x-frac{z_2}{z_3}right)left(x-frac{z_3}{z_1}right)inmathbf{R} , forall xinmathbf{R}$ .
γ) $z_1=z_2$ ή $z_1=z_3$ ή $z_2=z_3$ .
Στέλιος[/quote]
ΛΥΣΗ
α)αφου οι z1 z2 z3 ανηκουν στον μοναδιαιο κυκλο το μετρο τους ειναι 1.
Αρα |z1|=|z2|=|z3|=1 $\Rightarrow{z}_{1}=\frac{1}{\bar{{z}_{1}}}{z}_{2}=\frac{1}{\bar{{z}_{2}}}{z}_{3}=\frac{1}{\bar{{z}_{3}}}$
αρα z2/z1+z3/z2+z1/z3=z1'/z2'+z2'/z3'+z3'/z1'=α'=α
β)Ξεκιναμε απο την αποδεικτεα
Αρκεί να δείξουμε οτι η παρασταση ειναι ιση με τη συζηγη της το οποιο και απαιτουμε και με πολλλεεεες πραξεις φτάνουμε στην ${x}^{3}+(\alpha-\alpha ){x}^{2}+(\alpha-\alpha )x-1+1=0$ που ισχύει για καθε χ στο R αρα αφου πηγαμε ισοδυναμα ισχυει και η αρχικη.
γ) $z_1=z_2$ ή $z_1=z_3$ ή $z_2=z_3$
ειναι ισοδυναμη με την $<span style=$ (z_1-z_2)(z_1-z_3)(z_2-z_3)=0" />

και με πραξεις φτανουμε α=α
Τα εχω γραψει με ασπρα γραμματα,απλως συρετε το ποντικι απω πανω οποιος θελει.

mostel · 28-09-08

Δείτε και μία ακόμη που μου άρεσε:

Να δείξετε ότι ( $z\in\mathbf{C}$ ):

$|z+1|+|z+2|\leq |z| + |z+3|$

Ps: Ηλία, ωραία λύση

mostel · 28-09-08

Πάντως να ξέρετε, ότι δεν αποκλειστικά άξονας συμμετρίας ο y=x στις αντίστροφες. Μπορεί να 'ναι και ο y=-x.

Στέλιος

riemann80 · 28-09-08

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
οχι.

αντιπαραδειγμα?

paganini666 · 28-09-08

Στο παραδειγμα του Μανος ειναι φθινουσες.

paganini666 · 28-09-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Δείτε και μία ακόμη που μου άρεσε:

Να δείξετε ότι ( $zinmathbf{C}$ ):

$|z+1|+|z+2|leq |z| + |z+3|$

Ps: Ηλία, ωραία λύση

Τιμη μου να δεχομαι φιλοφρονηση απο τον μεγαλο mostel

αυτη η ανισοτητα κατι μου θυμιζει,νομιζω την καναμε στο φροντ.
Δε μου βγηκε αμεσως με καποια τριγωνικη οπότε υψωσα στο τετραγωνο και με πραξεις βγαινει |z+1||z+2|=< 2+|z||z+3|=>|z^2+3z+2|<= 2+|z^2+3z| που ισχυει λογω τριγωνικης
Παλι ασπρα γραμματα

.

kvgreco · 29-09-08

Μεγάλο ενδιαφέρον έχει και η γεωμετρική λύση.Η ισότητα ισχύει όταν ο z πέσει στο 0 ή δεξιότερα στον άξονα χ καθώς επίσης καί στο -3 καί αριστερότερα.Σε κάθε άλλη περίπτωση δείχνουμε ότι τα δύο περιεχόμενα τμήματα έχουν άθροισμα μικρότερο από αυτό των δύο πλευρών τού μεγάλου τριγώνου.
(Σημείωση: Ευχαριστίες προς τον Φυσικό της τάξης πού μού επέτρεψε να στείλω αυτό το μήνυμα καί να χρησιμοποιήσω το σχεδιαστικό του πρόγραμμα.)

https://imageshack.us

https://g.imageshack.us/img508/58298860oe4.jpg/1/

mostel · 29-09-08

Δείτε και αυτή τότε...

Ν.δ.ό. για $z\in\mathbf{C}$ , ισχύει:

$|z+10|+|z+11|+|z+19|\leq|z+8|+|z+12|+|z+20|$

@ Ηλίας:

Αν οι πράξεις είναι σωστές, τότε και η λύση σου είναι σωστή

@ kvgreco:

Ωραία παρατήρηση

paganini666 · 29-09-08

αν θεωρησουμε ως δεδομενο το προηγουμενο θεμα |w+1|+|w+2|<=|w|+|w+3| για καθε w εν R
ευκολα προκυπτει (αμα θεσουμε οπου w=z+9)|z+10|+|z+11|<=|z+9|+|z+12| (1)
και αποδεικνυω οπως στο προηγουμενο θεμα (υψωνοντας στο τετραγωνο και με πραξεις και μια τριγωνικη ανισοτητα) οτι |z+9|+|z+19|<=|z+8|+|z+20| (2)
(1)+(2)==> |z+10|+|z+11|+|z+9|+|z+19|<=|z+9|+|z+12|+|z+8|+|z+ 20|
===>|z+10|+|z+11|+|z+19|<=|z+12|+|z+8|+|z+20|
Ασπρα γραμματα...
Προφανως ομως mostel υπαρχει και καποια αλλη λυση γιαυτο και μας εβαλες και πιο περιπλοκο παραδειγμα ε?

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Μεγάλο ενδιαφέρον έχει και η γεωμετρική λύση.Η ισότητα ισχύει όταν ο z πέσει στο 0 ή δεξιότερα στον άξονα χ καθώς επίσης καί στο -3 καί αριστερότερα.Σε κάθε άλλη περίπτωση δείχνουμε ότι τα δύο περιεχόμενα τμήματα έχουν άθροισμα μικρότερο από αυτό των δύο πλευρών τού μεγάλου τριγώνου.
(Σημείωση: Ευχαριστίες προς τον Φυσικό της τάξης πού μού επέτρεψε να στείλω αυτό το μήνυμα καί να χρησιμοποιήσω το σχεδιαστικό του πρόγραμμα.)

Και πως αποδεικνυεται αυτο που λες?Ειμαι λιγο σκραπας στη γεωμετρια:p

mostel · 29-09-08

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
αν θεωρησουμε ως δεδομενο το προηγουμενο θεμα |w+1|+|w+2|<=|w|+|w+3| για καθε w εν R
ευκολα προκυπτει (αμα θεσουμε οπου w=z+9)|z+10|+|z+11|<=|z+9|+|z+12| (1)
και αποδεικνυω οπως στο προηγουμενο θεμα (υψωνοντας στο τετραγωνο και με πραξεις και μια τριγωνικη ανισοτητα) οτι |z+9|+|z+19|<=|z+8|+|z+20| (2)
(1)+(2)==> |z+10|+|z+11|+|z+9|+|z+19|<=|z+9|+|z+12|+|z+8|+|z+ 20|
===>|z+10|+|z+11|+|z+19|<=|z+12|+|z+8|+|z+20|
Ασπρα γραμματα...
Προφανως ομως mostel υπαρχει και καποια αλλη λυση γιαυτο και μας εβαλες και πιο περιπλοκο παραδειγμα ε?

Για ξανατσέκαρέ το λίγο... Νομίζω πως έχεις λάθος...

Βασικά βάλε αναλυτικά τις πράξεις αν μπορείς....

paganini666 · 29-09-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Για ξανατσέκαρέ το λίγο... Νομίζω πως έχεις λάθος...

Βασικά βάλε αναλυτικά τις πράξεις αν μπορείς....

Για ποιο λες? για την (2?)
να κανω αναλυτικα τις πραξεις ειναι λιγακι δυσκολο γτ δν εχω χρονο και ηταν πολλες.Αλλα βγηκε στο τελος μια τριγωνικη ανισοτητα που ειναι πολυ δυσκολο να βγει τυχαια,αρα μαλλον εχω σωστα τις πραξεις...:no1:

kvgreco · 29-09-08

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Και πως αποδεικνυεται αυτο που λες?Ειμαι λιγο σκραπας στη γεωμετρια:p

Με απλό πυθαγόρειο θεώρημα.Αλλά γιά να μην το κάνω κάντο εσύ.Φέρε το ύψος από το Μ.
Εφάρμοσέ το τέσσερις φορές, πάρε ότι τρίγωνο θες (οξυγώνιο, ορθ, αμβλ) καί θα δείς ότι αποδείχνεται. Σχημάτισε καί σύγκρινε τα αθροίσματα πού σε ενδιαφέρουν.

Καί σταμάτα ρε συ να βάζεις σαν σπόιλερ τα άσπρα γράμματα.Μας έχεις γ..... τα μάτια! :mad:

paganini666 · 29-09-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Με απλό πυθαγόρειο θεώρημα.Αλλά γιά να μην το κάνω κάντο εσύ.Φέρε το ύψος από το Μ.
Εφάρμοσέ το τέσσερις φορές, πάρε ότι τρίγωνο θες (οξυγώνιο, ορθ, αμβλ) καί θα δείς ότι αποδείχνεται. Σχημάτισε καί σύγκρινε τα αθροίσματα πού σε ενδιαφέρουν.

Καί σταμάτα ρε συ να βάζεις σαν σπόιλερ τα άσπρα γράμματα.Μας έχεις γ..... τα μάτια!

απο,τι θυμαμαι το πυθαγορειο μας λεει για τα τετραγωνα.Τα ασπρα γραμματα τα βαζω για οποιον δν θελει να δει τη λυση αλλα αφου σας ενοχλουν οκ.

manos66 · 29-09-08

περίμετρος ΜΑΜ΄Ο > περίμετρος ΜΒΜ΄Γ
2 (ΜΑ) + 2 (ΜΟ) > 2 (ΜΒ) + 2 (ΜΓ)
(ΜΑ) + (ΜΟ) > (ΜΒ) + (ΜΓ)

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος