Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[_sentenced_]

εγώ αυτό που σκέφτηκα είναι ότι αν έχουμε πχ a^2=b^2 τότε |a|=|b| άρα a=b ή a=-b
έτσι με την ίδια λογική ότι 1^(1/2) = 1 ή -1 οπότε αν απορ τη λύση 1 βγαίνει σωστό..
αλλά μάλλον είμαι λάθος...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Ύστερα από το thread που άνοιξε η _ann_ , με την εύλογη απορία της , σας δίνω ακόμη μία παραπλήσια άσκηση στους μιγαδικούς. Να την κοιτάξετε προσεχτικά και μη βιαστείτε να δώσετε λύση στο δεύτερο ερώτημα !


Για τον μιγαδικό , ισχύει: . Επίσης, δίνεται ο μιγαδικός: .

i) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του .

ii) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης , καθώς το μεταβάλλεται.



Στέλιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[169]

α) z*zσυζηγης=1
αρα w=(2z-i)/(iz+2)=...=1/wσυζηγης οποτε |w|=1 ο γτ και των δυο μιγαδικων ειναι ο μοναδιαιος κυκλος
β)η |z-w|max θα ειναι ιση με την διαμετρο (δηλ |z-w|max=2)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

To 1o ερώτημα το έχεις απαντήσει σωστά. Το β όμως είναι λάθος! Γι' αυτό ακριβώς την έβαλα την άσκηση. Βρείτε το λάθος λοιπόν!




Στέλιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[169]

ειναι 1/2; πολυ ωραια ασκηση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Όντως, 1/2 είναι. Αλλά πώς το έβγαλες, μπορείς να μας πεις ;



Στέλιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[169]

κατι θα κανω για σενα...
καθως το z μεταβαλλεται , μεταβαλεται και το w εχωντας σταθερη αποσταση παντα
οταν z=i
θα ειναι w=i/2 αρα |z-w|=1/2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[169]

να ρωτησω κατι ασχετο; μπορουμε να πουμε οτι η ριζα του i ειναι -1 ,αν ναι η τριτη ριζα του i ποια ειναι ; μπορει να ειναι απλο αλλα εχω μπερδευτει λιγο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[miv]

Το συζήτησα με μαθηματικούς και τελικά ειναι αυτό που έλεγε η Δέσποινα. Δεν ορίζεται μη ακέραιος εκθέτης πέραν του R, για τον πολύ απλό λόγο οτι δεν υφίσταται η ιδιότητα α εις τη ν/μ = μιοστή ρίζα του α εις τη ν. Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος οτι πέραν του R οι ρίζες ορίζονται με κάπως διαφορετικό τρόπο, αφού αξίζει να σημειωθεί οτι δεν υπάρχει καν το γνωστό ριζικό σύμβολο που χρησιμοποιούμε στο R. Αλλά εντάξει. Όλα αυτά δεν υπάρχουν καν σε σχολικά εγχειρίδια, όχι απλώς είναι εκτός ύλης...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Το συζήτησα με μαθηματικούς και τελικά ειναι αυτό που έλεγε η Δέσποινα. Δεν ορίζεται μη ακέραιος εκθέτης πέραν του R, για τον πολύ απλό λόγο οτι δεν υφίσταται η ιδιότητα α εις τη ν/μ = μιοστή ρίζα του α εις τη ν. Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος οτι πέραν του R οι ρίζες ορίζονται με κάπως διαφορετικό τρόπο, αφού αξίζει να σημειωθεί οτι δεν υπάρχει καν το γνωστό ριζικό σύμβολο που χρησιμοποιούμε στο R. Αλλά εντάξει. Όλα αυτά δεν υπάρχουν καν σε σχολικά εγχειρίδια, όχι απλώς είναι εκτός ύλης...

Εννοείς ας πούμε ότι δεν ορίζεται π.χ. εκθέτης: ;


Αν σου 'χουν πει τέτοιο πράγμα, θα πρέπει να πάνε στη φιλολογία οι τυπάδες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[miv]

Τέλος πάντων, σου είπα, μπορει κάτι να μην κατάλαβα. Στην τελική δεν μας αφορά κιόλας ως μαθητές.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Φιλιον_Τερας]

Ναι, αλλά είμαστε off-topic

τι βιβλια εχεις διαβασει αφου ειναι εκτος υλης το θεμα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Οποιοδήποτε σωστό βιβλίο πάνω στη μιγαδική ανάλυση πάρεις, το έχει.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Vorbulon]

Ώρα να φρεσκάρω και εγώ τα μαθηματικά μου!
Σίγουρα η μέγιστη τιμή είναι 1/2; Γιατί πχ για z=1, το w βγαίνει 3/5-(4/5)i δηλαδή το |z-w| βγαίνει 2/5*5^(1/2) που είναι μεγαλύτερο από το 1/2. Τι λάθος κάνω;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[169]

το οτι |w|=|3/5+(4/5)i| δεν δινει οτι w=3/5+(4/5)i
οταν 2 μιγαδικοι ειναι ισοι τοτε εχουν ισα μετρα ... το αντιστροφο δεν ισχυει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Απλώς το w εξαρτάται από το z, και δε παίρνει τυχαίες τιμές. Με , προκύπτει, ύστερα από πράξεις, ότι:

.

Ύστερα από παραγώγιση, εύκολα προκύπτει ότι παρουσιάζει max για το .


Ps: Πριν είχα κάνει λάθος... το μέγιστο είναι το 1 και όχι το 1/2.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[169]

λιγο δυσκολο να λυσω ασκηση με παραγωγους δεν γνωριζω τιποτα εκτος απο τον ορισμο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Υπάρχει και λύση με μιγαδικούς, αλλά είναι καθαρά γεωμετρική και δύστροπη, γι' αυτό δεν την έβαλα.



Στέλιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[_sentenced_]

νομίζω το βρήκα...
Δε χρησιμοποιούμε ριζικά με υπόριζο μη πραγματικό αριθμό και εκθέτη μη ακέραιο όπως είναι το i^(1/2)...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[miv]

Μα δεν ορίζεται ριζικό για μη πραγματικό, αυτό ειναι δεδομένο. Αυτό για τον εκθέτη το ξέρω κι εγώ, αλλά ο Στέλιος το δείχνει κάπως αλλιώς που δε μπορώ να το αντιληφθώ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.