Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[koum]

(για τεχνικούς λόγους έκανα e^a = eˣ , δηλ. χ=a)

Αν χρησιμοποιούσες δεν θα υπήρχαν τεχνικοί λόγοι.

Για βοήθεια, click me.

Πώς τα πήγα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[NickTheGreek3]

Μια ασκηση του Μπαρλα για το θεωρημα Rolle:

Εστω η συναρτηση f, η οποια ειναι παραγωγισιμη στο R και ισχυει για καθε .
Να δειξετε οτι:
i) Για την συναρτηση ισχυει το θεωρημα Rolle στο .
ii) Υπαρχει ενα, τουλαχιστον, τετοιο ωστε .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

^

Spoiler

i) - g(x) παραγωγήσιμη (άρα και συνεχής) στο R ως σύνθεση παραγωγήσιμων, με το (0,π) υποσύνολο του R.
- g(0)=f(ημ0)=f(0) , g(π)=f(ημπ)=f(0)


ii) ισχύουν οι προϋποθέσεις για ΘΜΤ στην g(x) στο (0,π), άρα έχω ένα τουλάχιστον Χο τέτοιο ώστε g'(Xo)=0 <--> f'(ημχ)συνχ=0<-->χf'(ημχ)συνχ=0 (x διάφορο του 0 ) <--> χf'(ημχ)συνχ + f(ημχ) = f(ημχ) <--> [χf(ημχ)]' = f(ημχ) <--> f'(x)=g(x)

(στο τέλος όπου χ ένα Χο βαριέμαι να το διορθώνω τώρα :p )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[red span]

Βαζω δυο πανεμορφες ασκησεις.Παρακαλω να λυθουν μονο απο μαθητες γιατι η δομη τους ειναι καραμπινατα θεματα
Μια που επεσε στις Πανελληνιες του 1996
Πεδιο ορισμου ολο το R
f′(x)=g(x) και g′(x)=-f(x) gia kathe x e R
A)να δειξετε οτι η f kai g εχουν συνεχη δευτερη παραγωγο
Β)να δειξετε οτι f′′(χ)+f(x)=g′′(χ)+g(x) gia kathe x e R
γ)η συναρτηση φ(χ)=f²(x)+g²(χ) ειναι σταθερη
δ)αν f(x)<>0 για καθε χ ε (χ1,χ2) οπου χ1,χ2 οι ριζεσ της f(x)=0 τοτε να δειξετε οτι η g εχει ακριβως μια ριζα στο (χ1,χ2)
2) Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης f:R-->R ,η οποια ειναι παραγωγισιμη στο 0,me f′(0)=2 και για καθε χ,y e R ισχυει
f(x+y)=f(x)+f(y)
Αυτες απο μενα βαλτε και εσεις καμια να πορωθουμε μονο να λυνετε ξερετε (π,χ Dias,koum)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

^

Spoiler

f'(x)=g(x) (1)
g'(x)=-f(x) (2)

Α)
- μου δίνονται σχέσεις με f'(x) και g'(x) άρα f και g παραγωγήσιμες στο R

f''(x)=g'(x)=-f(x) (παραγωγήσιμη άρα και συνεχής)
g''(x)=-f'(x)=-g(x) (παραγωγήσιμη και αυτή άρα και συνεχής )

Β)
ξέρω από πριν ότι
f''(x)=-f(x)
g''(x)=-g(x)

άρα f''(x) + f(x) = -f(x) + f(x) = 0
g''(x) + g(x) = -g(x) + g(x) = 0

Γ)
(1): f'(x)=g(x)
(2):g'(x)=-f(x) <--> f(x) = -g'(x)

(1)*(2) : f(x)f'(x)=-g(x)g'(x) <--> f(x)f'(x)+g(x)g'(x)=0 (3)

φ(x) = f²(x) + g²(x) (παραγωγήσιμη ως άθροισμα παραγωγήσιμων)
φ'(x) = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x) = 2[ f(x)f'(x) + g(x) g'(x) ] <--(3)--> φ'(x) = 0 άρα φ(x) σταθερή

Δ)

f(x) διάφορο του 0, και συνεχής, άρα για το διάστημα (χ1,χ2) διατηρεί πρόσημο
f(x1)=f(x2)
ισχύουν οι προϋποθέσεις Rolle για το διάστημα αυτό άρα έχω Xo στο (χ1,χ2) τέτοιο ώστε f'(Xo)=g(Xo) (σχέση (1) ) = 0
επίσης για το διάστημα (χ1,χ2) ισχύει ότι g'(x)=-f(x) η οποία διατηρεί πρόσημο, άρα g(x) γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό, άρα η λύση είναι μοναδική

2) (εδώ δεν είμαι πολύ σίγουρος)
f'(0)=2
f(x+y)=f(x)+f(y) (1)
(1) : y=0
f(x) = f(x) + f(0) <--> f(0)=0

(θέτω χ=χ-Χο )

(από (1) )

άρα η f(x) είναι παραγωγήσιμη σε όλο το R, με f'(x)=f'(0)=2

f'(x)=2 <--> f(x)=2x+c
f(0)=0 <--> c=0 <--> f(x) = 2x, xεR

καλές, η δεύτερη ειδικά

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[red span]

^

Spoiler

f'(x)=g(x) (1)
g'(x)=-f(x) (2)

Α)
- μου δίνονται σχέσεις με f'(x) και g'(x) άρα f και g παραγωγήσιμες στο R

f''(x)=g'(x)=-f(x) (παραγωγήσιμη άρα και συνεχής)
g''(x)=-f'(x)=-g(x) (παραγωγήσιμη και αυτή άρα και συνεχής )

Β)
ξέρω από πριν ότι
f''(x)=-f(x)
g''(x)=-g(x)

άρα f''(x) + f(x) = -f(x) + f(x) = 0
g''(x) + g(x) = -g(x) + g(x) = 0

Γ)
(1): f'(x)=g(x)
(2):g'(x)=-f(x) <--> f(x) = -g'(x)

(1)*(2) : f(x)f'(x)=-g(x)g'(x) <--> f(x)f'(x)+g(x)g'(x)=0 (3)

φ(x) = f²(x) + g²(x) (παραγωγήσιμη ως άθροισμα παραγωγήσιμων)
φ'(x) = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x) = 2[ f(x)f'(x) + g(x) g'(x) ] <--(3)--> φ'(x) = 0 άρα φ(x) σταθερή

Δ)

f(x) διάφορο του 0, και συνεχής, άρα για το διάστημα (χ1,χ2) διατηρεί πρόσημο
f(x1)=f(x2)
ισχύουν οι προϋποθέσεις Rolle για το διάστημα αυτό άρα έχω Xo στο (χ1,χ2) τέτοιο ώστε f'(Xo)=g(Xo) (σχέση (1) ) = 0
επίσης για το διάστημα (χ1,χ2) ισχύει ότι g'(x)=-f(x) η οποία διατηρεί πρόσημο, άρα g(x) γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό, άρα η λύση είναι μοναδική

2) (εδώ δεν είμαι πολύ σίγουρος)
f'(0)=2
f(x+y)=f(x)+f(y) (1)
(1) : y=0
f(x) = f(x) + f(0) <--> f(0)=0

(θέτω χ=χ-Χο )

(από (1) )

άρα η f(x) είναι παραγωγήσιμη σε όλο το R, με f'(x)=f'(0)=2

f'(x)=2 <--> f(x)=2x+c
f(0)=0 <--> c=0 <--> f(x) = 2x, xεR


καλές, η δεύτερη ειδικά

Πολυ ωραια η λυση σου στο τελευταιο ερωτημα της 1 ασκησης
Και ναι η δευτερη ασκηση ειναι σωστη,δεν επεσες στην παγιδα,Η φ ηταν παραγωγισιμη μονο στο 0 και οχι σε ολο το π.ο της και ετσι δεν μπορουσαμε να παραγογιζαμε την συναρτισιακη σχεση
Βαλε και εσυ καμια να πορωθουμε,μεχρι και την σταθερη συναρτηση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[koum]

Αυτες απο μενα βαλτε και εσεις καμια να πορωθουμε μονο να λυνετε ξερετε (πχ Dias,koum)

Στο αντίστοιχο θέμα της φυσικής, δε σε είδα να έρχεσαι. Σε λίγο θα σας κυνηγάμε για να λύνετε ασκήσεις.


Και μην πορώνεσαι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[red span]

Στο αντίστοιχο θέμα της φυσικής, δε σε είδα να έρχεσαι. Σε λίγο θα σας κυνηγάμε για να λύνετε ασκήσεις.


Και μην πορώνεσαι.

Γενικα εκει βαζετε ασκησεις που ειναι πιο μπροστα στην υλη,εγω τωρα μπαινω στερεο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

να βάλω κι εγώ καμία

1) να βρείτε πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε:
[P'(x)]²=P(x) xεR με P(1)=0

2) f(x)=ln(x²+1)-e^(-x) + 1 xεR
να βρεθεί η μονοτονία

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

1) να βρείτε πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε:
[P'(x)]²=P(x) xεR με P(1)=0

Spoiler

Αν Ρ(χ) ν βαθμού, τότε Ρ΄(χ) ν-1 βαθμού, άρα από την [P'(x)]²=P(x) =>
2(ν-1) = ν => ν=2 => Ρ(χ) = αχ² + βχ +γ , (α≠0)
[P'(x)]²=P(x) => (2αχ +β)² = αχ² + βχ +γ => 4α²χ² + 4αβχ + β² = αχ² + βχ +γ
4α² = α , (α≠0) => α = 1/4
4αβ = β , α = 1/4 => β = β (μας σόφισε)
β² = γ
Ρ(1) = 0 => α + β + γ = 0 => 1/4 + β + β² = 0 => (β + ½)² = 0 => β = -½
γ = β² => γ = 1/4
Άρα: Ρ(χ) = (1/4)‧χ² - ½‧χ + 1/4

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tebelis13]

άρα η f(x) είναι παραγωγήσιμη σε όλο το R, με f'(x)=f'(0)=2

Αυτό απο πού βγαίνει?
edit:μλκία,δίκιο έχεις

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

Αυτό απο πού βγαίνει?

Ίσως μπερδεύτηκες επειδή το έγραψα συμπυκνωμένα. Ξεκίνησα από τον ορισμό της παραγώγου στο χο, δηλαδή η παράγωγος για κάθε χ στο R (στην αρχή βέβαια δεν μιλάμε για παράγωγο γιατί δεν ξέρω αν παραγωγίζεται παντού, για να το αποδείξω πρέπει να καταλήξω σε πραγματικό αριθμό). Αφού έθεσα x=x-xo ( κανονικά έπρεπε να το πω (υ) διαφορετικη μεταβλητή αλλά πρακτικά δεν έχει διαφορά, η δύναμη της συνήθειας ), το όριο τώρα τείνει στο 0.Εκεί εκμεταλλεύτηκα την ιδιότητα που μου δίνεται για να σπάσω το f(x+xo) και να εξαφανήσω τα f(xo) και αυτό που μένει είναι ο ορισμός της παραγώγου στο χ=0. Δηλαδή για κάθε χ στο R η παράγωγος του χ είναι ίση με αυτή του 0.

@ Δίας
σωστός
(καλύτερα βάλε τη λύση σε spoiler σε περίπτωση που θέλει να τη λύσει και κάποιος άλλος)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

2) f(x)=ln(x²+1)-e^(-x) + 1 xεR
να βρεθεί η μονοτονία

μιας και δεν έχει λυθεί, βάζω τη λύση σε spoiler να υπάρχει:

Spoiler

έστω συνάρτηση

με

για

επίσης

από πινακάκι στο R, βλέπω ότι η g(x) έχει ελάχιστο στο x=-1 στο οποίο είναι θετική, άρα η g(x) είναι θετική στο R.
έτσι

άρα f(x) γνησίως αύξουσα στο R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Παραθετω μια ασκηση η οποια μου αρεσε παρα πολυ.(Εαν την σκεφτηκα σωστα)

Δινεται παραγωγισιμη συναρτηση φ με πεδιο ορισμου το [0,1],με φ(0)=φ(1)=1 και τετοια ,ωστε φ(χ)=e^φ΄(χ) στο (0,1).
Ν.δ.ο. φ(χ)=1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

^
να κάνω μια προσπάθεια

Spoiler

φ(χ) ορισμένη σε κλειστό διάστημα και συνεχής ( ως παραγωγήσιμη ) σε αυτό άρα θα έχω
χ1 και χ2 στο [0,1] τέτοια ώστε φ(χ)>=φ(χ1) και φ(χ)<=φ(χ2)
σε περίπτωση που χ1 και χ2 διάφορα του 0 ή 1, τότε από Fermat θα έχω φ'(χ1)=φ'(χ2)=0 ( ολικά ακρότατα)
άρα
φ(χ1)=e^[φ'(χ1)] = e^0 = 1
φ(χ2)=e^[φ'(χ2)] = e^0 = 1

άρα σε κάθε περίπτωση θα ισχύει 1=<φ(χ)=<1
άρα φ(χ) = 1 για χε[0,1]

edit: σε περίπτωση που τα ακρότατα είναι περισσότερα δεν θα αλλάζει κάτι, ίδια τιμή και παράγωγο, και χ1,χ2 τυχαία αυτών

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[red span]

Μια προσεγγιση Απο θ ρολλε για την g(x)=e^f(x)στο (0,1) προkyptei f '(ξ)=0, ΕΧω φ(χ)=e^φ΄(χ) για χ=ξ εχω φ(ξ)=1 θα αποδειξω οτι για καθε χ ε [0,1]
ισχυει φ(χ)=1
εστω φ(χ)<>1 τοτε e^f '(x)<>1 προκυπτει φ ' (χ)<>0 για καθε χ ε [0,1] ΑΤΟΠΟ γιατι απεδειξα οτι ισχυει για τουλ ενα ξ ε (0,1) f ' (ξ)=0
αρα φ(χ)=1
δεν ξερω αν μπαζει η λυση μου την εκανα βιαστικα
Θεοχαρης Κιβρακιδης

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Φιλε Χαρη,το αντιστροφο της προτασης που θες στην αποδειξη σου να δειξεις ειναι το "εστω οτι υπαρχει καποιο Χο οπου φ(Χο)<>1,κατι το οποιο δεν μας οδηγει με αυτον τον τροπο,μαλλον,στο επιθυμητο συμπερασμα.

Βασιλη,δεν την ειχα σκεφτει αυτη τη λυση,αλλα αν τα ακροτατα ειναι στα ακρα του διαστηματος??

Θα γραψω, μετα τις απαντησεις σας ,και τη δικη μου σκεψη.

(Πιο αναλυτικα ,Χαρη,το αντιστροφο του ισχυει για καθε χ : φ(χ)=1 ειναι εστω οτι υπαρχει καποιο α του οποιου η τιμη δεν ειναι 1.Το α ομως δεν ξερεις εαν ειναι ισο με το ξ)

Εχει κανεις αλλος καποια ιδεα??

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lowbaper92]

@ redspan

Για να καταλάβεις πως λειτουργεί η άρνηση μιας πρότασης όταν πας με άτοπο, δες αυτήν:

Έστω συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει
Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, να αποδειχθεί ότι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

Βασιλη,δεν την ειχα σκεφτει αυτη τη λυση,αλλα αν τα ακροτατα ειναι στα ακρα του διαστηματος??

Σε αυτήν την περίπτωση έχει δωθεί ότι φ(0)=φ(1)=1, άρα είτε μιλάμε για άκρο του διαστήματος, είτε για εσωτερικό σημείο, το ακρότατο πάντα 1 θα κάνει, για αυτό έγραψα σε κάθε περίπτωση, παράλειψή μου

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tebelis13]

Παραθετω μια ασκηση η οποια μου αρεσε παρα πολυ.(Εαν την σκεφτηκα σωστα)

Δινεται παραγωγισιμη συναρτηση φ με πεδιο ορισμου το [0,1],με φ(0)=φ(1)=1 και τετοια ,ωστε φ(χ)=e^φ΄(χ) στο (0,1).
Ν.δ.ο. φ(χ)=1

Με μια πρώτη ματιά....

Έστω συνάρτηση λ(χ)=φ(χ)-e^φ΄(χ)
Θ.Μ.Τ. στην λ στο [0,1]
.
.
.
Υπάρχει ξ , ανήκει στο (0,1) τ.ω.:λ΄(ξ)=λ(1)-λ(0)/1-0=φ(1)-e^φ΄(1)-φ(0)+e^φ΄(0)=- (e^φ΄(0)-e^φ΄(1))/0-1 <=> φ΄(ξ)=-(φ(0)-φ(1))/0-1
<=>φ΄(ξ)=0
<=>φ(χ)=c
για χ=1 => c=1 Άρα φ(χ)=1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.