Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

michkal · 23-05-08

η α-αlnx-β=lnx οκ αλλα τη δευτερη πως την εβφαλες?εχω κολλησει ελεος

απλα εβαλες εσυ τιμη?ετσι?

Riddle · 23-05-08

Αρχική Δημοσίευση από michkal:
η α-αlnx-β=lnx οκ αλλα τη δευτερη πως την εβφαλες?εχω κολλησει ελεος

απλα εβαλες εσυ τιμη?ετσι?

ακριβώς.. αυτή η ln είναι σαν να φωνάζει να της τον βάλεις..

τον άσο..

michkal · 23-05-08

ευχαριστω ρε συ

απο τις 6 το πρωι διαβαζω ε σε καποια στιγμη το μυαλο δεν λειτουργει χαχα

edit σε εκανα add στο msn κανε με αν θες

mostel · 22-06-08

Σας επισυνάπτω ένα θέμα επαναληπτικό στους μιγαδικούς, που έφτιαξα προ ολίγων ημερών.

Στέλιος

_sentenced_ · 11-07-08

Ένας καθηγητής μας έδειξε το εξής πρόβλημα και μας άφησε μήπως και βρούμε τη λύση:

-1 = i^2 = i^(4/2) = [(i^4)^(1/2)] = 1^(1/2) = riza1 = 1

σκέφτηκα δύο πράγματα αλλά τίποτα από τα δύο δεν ήταν σωστό..
Μπορεί κάποιος να βοηθησει?

miv · 11-07-08

Το -1=1 προφανώς δεν ορίζεται ούτε στο C, οπότε μυρίζομαι οτι δεν θα ισχύει κάποια απο τις ιδιότητες των δυνάμεων με βάση τη φανταστική μονάδα. Δεν ξέρω τι άλλο μπορεί να γίνεται...

Krou · 11-07-08

το i^4/2 δεν οριζεται στους μιγαδικους, μονο ακεραιοι εκθετες

(αν θυμαμαι σωστα

)

miv · 11-07-08

Ναι, αλλά συνηθως οι εκθέτες ορίζονται στο N/Ν* στις ασκήσεις, όχι στο Ζ. Τι σκατά γινεται...

nickzor · 11-07-08

Δεν ξέρω που ακριβώς υπάρχει το πρόβλημα αλλά με βάση αυτά που θυμάμαι:

Αν ο ν, κ ανήκουν στο N τότε :

i^ν = i^(4κ+υ) όπου υ = {0,1,2,3}
= (i^4k)*i^υ = ((i^4)^k)*i^υ

Στην περίπτωση που λες εσύ ο k=1/2 και ο υ=2. Αλλα ο κ ανήκει στους φυσικούς άρα δεν ισχυεί για κ = 1/2.

Αν και δεν βλέπω που ακριβώς υπάρχει το πρόβλημα, με βάση όσα έγραφε το σχολικό βιβλίο και τα βοηθήματα θυμάμαι οτι τα κ και υ πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί. Ε για να το λέγανε κάτι θα ξέρανε...

mostel · 11-07-08

Λοιπόν, είναι το κλασικό πρόβλημα με τις δυνάμεις αρνητικών αριθμών. Το ίδιο γίνεται και χωρίς μιγαδικούς (αν θέλετε σας το βάζω). Το - θα βγει αναγκαστικά σε αυτή την περίπτωση απ' έξω.

Επίσης, ΟΡΙΖΕΤΑΙ δύναμη μιγαδικού στο R, και όχι αποκλειστικά στο N. Σκεφτείτε κάθε μιγαδικό στη μορφή:

$r\cdot e^{it}\ ,\qquad t\in\mathbf{R}$

Στέλιος

ΥΣ: Το παραπάνω προφανώς είναι εκτός ύλης. Καταλήγει στην τριγωμετρική de moivre. Αξιωματικά απλώς θεωρούμε ότι κάθε μιγαδικός, γράφεται ως:

$e^{it}=A(t)+ iB(t)$

Όπου A και Β είναι πραγματικές συναρτήσεις. Με την προϋπόθεση ότι το δεξί μέλος είναι παρ/σιμη συνάρτηση, θα πάρουμε:

$ie^{it}=A'(t)+B'(t)i$

Παραγωγίζοντας ξανά,

$-e^{it}=A''(t)+B''(t)i$

Συγκρίνοντας τη πρώτη με αυτή, παίρνουμε:

$A''(t)=-A(t)$

$B''(t)=-B(t)$

Με άλλα λόγια, τα Α,Β, είναι λύσεις της:

$f + f''=0$ .

Η διαφορική αυτή όμως έχει μια και μοναδική λύση -απόδειξη παραλείπεται-, την:

$A(0)=1\qquad \&\qquad B(0)=0$

$A'(0)=0\qquad \&\qquad B'(0)=1$

Δηλαδή την:

$A(t)=\cos t$

$B(t)=\sin t$

Άρα κάθε μιγαδικός γράφεται στη μορφή:

$r\cdot e^{it}=r(\cos t + i\sin t)$ (de moivre form)

bobiras11 · 11-07-08

Πάλι έριξες τις σάλτσες καρμπονάρα, μπολονέζ και δεν συμαζεύεται

και δεν είπες που ακριβώς είναι το λάθος στην σκέψη του προβλήματος.

mostel · 11-07-08

Δεν υπάρχει λάθος! Είναι "πρόβλημα" των αρνητικών αριθμών υψωμένων σε δυνάμεις.

Το υπόλοιπο ήταν για το αν μπορούμε να υψώσουμε σε δύναμη πραγματικού αριθμού έναν μιγαδικό.

:bye:

Στέλιος

Fosa · 11-07-08

Να υποθέσω μαθ κατ mostel έγραψες 20 ε?

mostel · 11-07-08

Αρχική Δημοσίευση από Fosa:
Να υποθέσω μαθ κατ mostel έγραψες 20 ε?

Ναι, αλλά είμαστε off-topic

_sentenced_ · 11-07-08

παιδιά έχω σκαλώσει με αυτό το πράγμα...εδώ και μέρες προσπαθώ

mostel · 11-07-08

Συνέχισε με άλλο πρόβλημα...

Όπως είπα, αυτό είναι ένα παράδοξο των αρνητικών αριθμών υψωμένων σε δυνάμεις.

Στέλιος

_sentenced_ · 11-07-08

δηλαδή Mostel για να καταλάβω...
Ισχύει αυτό???

mostel · 11-07-08

Όχι. Το μείον πρέπει να βγει απ' έξω! Είναι σαν την περίπτωση:

$-1=(-1)^{1}=(-1)^{\frac{2}{2}}=\left[(-1)^2\right]^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1<br />$

Προφανώς είναι λάθος...

Στέλιος

_sentenced_ · 11-07-08

να σε ρωτήσω κάτι.
ισχύει ότι κάθε αριθμός έχει 2 τετραγωνικές ρίζες?

mostel · 11-07-08

Εξαρτάται σε τι αριθμό αναφέρεσαι. Αν είναι πραγματικός, προφανώς όχι. Θα μάθεις αργότερα, ότι η συνάρτηση:

$f(x)=\sqrt{x}$ ,

είναι γνησίως αύξουσα ( σ.σ. $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$ ) , επομένως έχει μία και μοναδική ρίζα .

Αν είναι όμως μιγαδικός $a$ , έχει νιοστές ρίζες. Δηλαδή, αν έχουμε την:

$z^n = a$ με $z,a\in\mathbf{C}, \ n\in\mathbf{N}$ και $a=\rho[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]$ ,

τότε έχουμε τις ρίζες:

$z_k =\sqrt[n]{\rho}\left[\cos\frac{2k\pi+\phi}{n}+i\sin\frac{2k\pi+\phi}{n}\right]$

Μη μπλέκεσαι όμως τζάμπα με τέτοια. Λύσε τους μιγαδικούς που είναι εντός ύλης !

Στέλιος

ΥΣ: Υπό την ευρύτερη έννοια, πρακτικά, π.χ. αν πάρεις τον αριθμό 1, και το -1 αν υψωθεί στο τετράγωνο, αλλά και το 1 αν υψωθεί στο τετράγωνο, θα σου δώσει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Αλλά δεν ορίζουμε αρνητικές ρίζες στο R.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Περιβόητο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος