Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 6 Σεπτεμβρίου 2011

Άλλος τρόπος

Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=6ημx-8συνx, x ανήκει R.
Η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π αφού για κάθε x ανήκει R ισχύει:
f(x+nT)=f(x), όπου n ανήκει Z

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f'(x)=6συνx+8ημx

f'(x)=0 <=> 6συνx+8ημx=0 <=> ημx=-(3/4)συνx

Αν συνx=0 τότε από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ημx=0 που είναι άτοπο αφού τότε (ημx)^2+(συνx)^2=0 διάφορο 1. Άρα για τις λύσεις την παραπάνω εξίσωσης ισχύει ημx διάφορο 0 και συνx διάφορο 0. Συνεπώς γράφεται ισοδύναμα

ημx=-(3/4)συνx <=> εφx=-3/4

Θέωρω ${x}_{0}\epsilon \left(0,\frac{\pi }{2} \right)$ τέτοιο ώστε $\epsilon \varphi {x}_{0}=\frac{3}{4}$ . Επειδή ${x}_{0}\epsilon \left(0,\frac{\pi }{2} \right)$ τότε $\eta \mu {x}_{0}>0,\sigma \upsilon \nu {x}_{0}>0$

$\eta \mu {x}_{0}=\frac{\epsilon \varphi {x}_{0}}{\sqrt{1+{\epsilon \varphi }^{2}x}}=\frac{3}{5}$
$\eta \mu {x}_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+{\epsilon \varphi }^{2}x}}=\frac{4}{5}$

Έτσι λοιπόν έχουμε $\epsilon \varphi x=-\frac{3}{4}=-\epsilon \varphi {x}_{0}=\varepsilon \varphi \left(-{x}_{0} \right)\Rightarrow x=\kappa \pi -{x}_{0},\kappa \epsilon Z$

Αν κ=2λ άρτιος τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή $x=2\lambda \pi -{x}_{0},\lambda \epsilon Z$ και είναι:

$\eta \mu \left(2\lambda \pi -{x}_{0} \right)=\eta \mu \left(-{x}_{0} \right)=-\eta \mu {x}_{0}=-\frac{3}{5}$

$\sigma \upsilon \nu \mu \left(2\lambda \pi -{x}_{0} \right)=\sigma \upsilon \nu \left(-{x}_{0} \right)=\sigma \upsilon \nu {x}_{0}=\frac{4}{5}$

Αν κ=2λ+1 περιττός τότε οι λύσεις παίρνουν την μορφή $x=2\lambda \pi+\pi -{x}_{0},\lambda \epsilon Z$ και είναι:

$\eta \mu \left(2\lambda \pi+\pi -{x}_{0} \right)=\eta \mu \left(\pi -{x}_{0} \right)=\eta \mu {x}_{0}=\frac{3}{5}$

$\sigma \upsilon \nu \mu \left(2\lambda \pi+\pi -{x}_{0} \right)=\sigma \upsilon \nu \left(\pi -{x}_{0} \right)=-\sigma \upsilon \nu {x}_{0}=-\frac{4}{5}$

$f(2\lambda \pi -{x}_{0})=6\left(-\frac{3}{5} \right)-8\frac{4}{5}=-10$

$f(2\lambda \pi+\pi -{x}_{0})=6\left\frac{3}{5} \right-8\left( -\frac{4}{5}\right)=10$

Η f είναι συνεχής στο $\left[2\lambda \pi-\pi -{x}_{0},2\lambda \pi -{x}_{0} \right]$ , παραγωγίσιμη στο $\left( 2\lambda \pi-\pi -{x}_{0},2\lambda \pi -{x}_{0}\right)$ και ισχύει f'(x)<0 για κάθε $x\epsilon \left( 2\lambda \pi-\pi -{x}_{0},2\lambda \pi -{x}_{0}\right)$ . Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left[2\lambda \pi-\pi -{x}_{0},2\lambda \pi -{x}_{0} \right]$

Η f είναι συνεχής στο $\left[ 2\lambda \pi-{x}_{0},2\lambda \pi+\pi -{x}_{0}\right]$ , παραγωγίσιμη στο $\left( 2\lambda \pi-{x}_{0},2\lambda \pi+\pi -{x}_{0}\right)$ και ισχύει f'(x)>0 για κάθε $\left( 2\lambda \pi-{x}_{0},2\lambda \pi+\pi -{x}_{0}\right)$ . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[ 2\lambda \pi-{x}_{0},2\lambda \pi+\pi -{x}_{0}\right]$

Η f είναι συνεχής στο $\left[ 2\lambda \pi+\pi -{x}_{0},2\lambda \pi+2\pi -{x}_{0}\right]$ , παραγωγίσιμη στο $\left( 2\lambda \pi+\pi -{x}_{0},2\lambda \pi+2\pi -{x}_{0}\right)$ και ισχύει f'(x)<0 για κάθε $\\left( 2\lambda \pi+\pi -{x}_{0},2\lambda \pi+2\pi -{x}_{0}\right)$ . Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[ 2\lambda \pi+\pi -{x}_{0},2\lambda \pi+2\pi -{x}_{0}\right]$

Συνεπώς η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο ${x}_{1}=2\lambda \pi -{x}_{0}$ με τιμή $f\left( {x}_{1}\right)=-10$ και τοπικό μέγιστο στο ${x}_{2}=2\lambda \pi+\pi -{x}_{0}$ με τιμή $f\left( {x}_{2}\right)=10$ τα οποία είναι και ολικά ακρότατα στο διάστημα αυτό.

Επειδή η f είναι περιοδική και σε διάστημα μιας περιόδου [2λπ, 2λπ+2π] έχει 1 ολικό ελάχιστο και ένα ολικό μέγιστο τα οποία είναι σταθερά για κάθε λ ανήκει Z, τότε τα ακρότατα αυτά είναι ολικά ακρότατα στο R και ισχύει

$f\left( {x}_{1}\right)\leq f(x) \leq f\left( {x}_{2}\right)\Rightarrow -10\leq 6\eta \mu x-8\sigma \upsilon \nu x\leq 10\Rightarrow \left|6\eta \mu x-8\sigma \upsilon \nu x \right|\leq 10$

για κάθε x ανήκει R.

Άντε ρε παιδιά, βάλτε καμία δύσκολη άσκηση.

dannaros · 16-06-09

πτυχιούχε εσύ, μπράβο σου. ωραίος. :no1:

djimmakos · 08-07-09

Να βρεθεί το διάνυσμα $\vec{a}$ για το οποίο ισχύει

$\vec{a}=(|\vec{a}|-1,2)$

ntonebts · 08-07-09

Μηπως στην πρωτη ασκηση επιτρεπεται να τη λυσω ετσι ,εννοω η λυση αυτη ειναι σωστη?
https://rapidshare.com/files/253479297/__963___940___961___969___963___951_0001.jpg.html

Civilara · 08-07-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Να βρεθεί το διάνυσμα $vec{a}$ για το οποίο ισχύει

$vec{a}=(|vec{a}|-1,2)$

$\left|\vec{\alpha } \right|=\frac{5}{2}$
$\vec{\alpha }=\left(\frac{3}{2},2 \right)$

Boom · 09-07-09

επιχειρω να γραψω στο λατεξ:p
μη φοναξετε!

δινετε τριγωνο ΑΒG.αν σε καθε σημειο του επιπεδου του τριγωνου αντιστοιχισουμε το διανυσμα $f(M)=3\vec{MA}+2\vec{BG}Γ$ (1)
να δειχθει οτι $\vec{B'G'}=3\vec{GB}$ οταν τα σημεια Β',G' ειναι τετοια ωστε
$\vec{AB'}=f(B)$ και $\vec{AG'}=f(G)$

djimmakos · 09-07-09

Tίποτα δεν κατάλαβα.

:p

Εdit: Τώρα κατάλαβα. Η λύση αύριο. Βαριέμαι τώρα.

:p

Boom · 09-07-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Tίποτα δεν κατάλαβα.

:p

ρε δεν ηξερα οτι δεν παιρνει ελληνικα..:xixi:
-----------------------------------------
Μ'αρεσε το λατεξ οποτε παρτε και αλλη μια
δινεται παραλληλογραμμο ABGD και τα σημεια Ε,Ζ ωστε
$\vec{AE}=\frac{3}{4}\vec{AB}$ , $\vec{AZ}=\frac{2}{3}\vec{AD}$ αν P ειναι το κοινο σημειο των ΒΖ,DE να εκφραστει το $\vec{AR}$ ως γραμμικος συνδιασμος των $\vec{AB}$ , $\vec{AD}$

djimmakos · 09-07-09

Kαλά, θα τη γράψω τώρα τη λύση :p

Έχουμε

$f(B)=3\vec{BA}+\vec{BB}=3\vec{BA} \Leftrightarrow \vec{AB'}=\vec{3BA}$ (2)

$f(G)=3\vec{GA}+\vec{GG}=3\vec{GA} \Leftrightarrow \vec{AG'}=\vec{3GA}$ (3)

(2)-(3) :

$\vec{AB'}-\vec{AG'}=\vec{3BA}-\vec{3GA}\Leftrightarrow \vec{G'B'}=\vec{3BA}+\vec{3AG}\Leftrightarrow \vec{G'B'}=3\vec{BG}\Leftrightarrow \vec{B'G'}=3\vec{GB}$

Tέλος.

Ωραία ασκησούλα :xixi:

Την επόμενη αύριο, πρέπει να διαβάσω τώρα. :p

A και το latex παίρνει ελληνικά, αν βάλεις το ποντίκι εκεί που έχει τα ελληνικά γράμματα θα σου βγει ένα μενού με κεφαλαία ελληνικά :iagree:

Ώχου, η δεύτερη θέλει σχήμα...Απαπα, βαριέμαι τώρα..Πάντως βγαίνει εύκολα από το σχήμα, αν εκφράσουμε το AR με γνωστά διανύσματα με το γνωστό τρόπο " Από την αρχή στο πέρας" :p

vimaproto · 09-07-09

Αρχική Δημοσίευση από ntonebts:
Μηπως στην πρωτη ασκηση επιτρεπεται να τη λυσω ετσι ,εννοω η λυση αυτη ειναι σωστη?
https://rapidshare.com/files/253479297/__963___940___961___969___963___951_0001.jpg.html

Και το 12 είναι μικρότερο του 14. Γιατί να είναι μικρότερο του 10;
Σαυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να βάλουμε ανώτερο όριο, αλλά όχι μικρότερο. π.χ. 10<14 => 10<17 ως συνεπαγωγή 10<14<17

tebelis13 · 13-07-09

Μια αρκετα καλη...

Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι
χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό
n = 1, 2, 3, …, 1999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy
διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση:
(x – 1)^2 + y^2 = 2n(x + y – 1).
Να δείξετε ότι:
α) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι
συντεταγμένες του κέντρου του.
β) κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό
σημείο Α (που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του
σημείου Α;
γ) οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας x + y – 1 =
0 στο σημείο Α.

djimmakos · 13-07-09

Στο y2, το 2 είναι δείκτης ή συντελεστής;

tebelis13 · 13-07-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Στο y2, το 2 είναι δείκτης ή συντελεστής;

το διορθωσα

ntonebts · 13-07-09

Στο 1ο ερωτημα (x – 1)^2 + y^2 = 2n(x + y – 1) ειναι εξισωση κυκλου απο οσο ξερω τουλαχιστον αφου ειναι της μορφης
κ^2 +λ^2 = ν όπου κ η τετμημενη του κεντρου λ η τεταγμενη και ν η ακτινα του κυκλου .Αυτα τα ξερω απο εμπειρια δεν εχω διαβασει θεωρια τωρα αντικαθιστωντας για n=1 ,n=2 στην 1η ισοτητα που εδωσες βρηκα οτι χ+ψ=1 και τελικα οτι χ=1 και ψ=0
Ομως η τετμημενη του κεντρου ειναι κ=χ-1=0
Αρα το κεντρο εχει συντεταγμενες (0,0) ελπιζω να ειναι σωστο αυτο
β)για το β το μονο σταθερο σημειο που βλεπω και ισως ειναι η φωλια τους ειναι το το κεντρο του κυκλου (0,0)
γ)εδω ειναι φανερο οτι

(x – 1)^2 + y^2 = 2n(x + y – 1)
και
x + y – 1 =0 εφαπτονται αντικαθιστωντας το χ+ψ-1 στην πρωτη εχω οτι (x – 1)^2 + y^2 =0 αρα χ=1 και ψ=0 αρα οι συναρτησεις αυτες εχουν μονο ενα κοινο σημειο και αρα εφαπτονται

Ελπιζω να μην γραφω παλι μπουρδες γιατι το κανω συχνα αυτο

tebelis13 · 13-07-09

Αρχική Δημοσίευση από ntonebts:
Στο 1ο ερωτημα (x – 1)^2 + y^2 = 2n(x + y – 1) ειναι εξισωση κυκλου απο οσο ξερω τουλαχιστον αφου ειναι της μορφης
κ^2 +λ^2 = ν όπου κ η τετμημενη του κεντρου λ η τεταγμενη και ν η ακτινα του κυκλου .Αυτα τα ξερω απο εμπειρια δεν εχω διαβασει θεωρια τωρα αντικαθιστωντας για n=1 ,n=2 στην 1η ισοτητα που εδωσες βρηκα οτι χ+ψ=1 και τελικα οτι χ=1 και ψ=0
Ομως η τετμημενη του κεντρου ειναι κ=χ-1=0
Αρα το κεντρο εχει συντεταγμενες (0,0) ελπιζω να ειναι σωστο αυτο
β)για το β το μονο σταθερο σημειο που βλεπω και ισως ειναι η φωλια τους ειναι το το κεντρο του κυκλου (0,0)
γ)εδω ειναι φανερο οτι

(x – 1)^2 + y^2 = 2n(x + y – 1)
και
x + y – 1 =0 εφαπτονται αντικαθιστωντας το χ+ψ-1 στην πρωτη εχω οτι (x – 1)^2 + y^2 =0 αρα χ=1 και ψ=0 αρα οι συναρτησεις αυτες εχουν μονο ενα κοινο σημειο και αρα εφαπτονται

Ελπιζω να μην γραφω παλι μπουρδες γιατι το κανω συχνα αυτο

α)λαθος
β)λαθος
γ)ο τροπος ειναι λαθος

ntonebts · 13-07-09

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
α)λαθος
β)λαθος
γ)ο τροπος ειναι λαθος

το ψιλιαστικα αλλα πιστευα οτι μπορω να τη λυσω ,και νομιζα οτι την ειχα λυσει για αυτο .Αστο δεν πειραζει ,ανεβαστε καποιος που ξερει τη λυση μην γραφουμε οτι να νε .Τελικα ωρες ωρες γραφω τρομερες μπουρδες

tebelis13 · 13-07-09

Αρχική Δημοσίευση από ntonebts:
το ψιλιαστικα αλλα πιστευα οτι μπορω να τη λυσω ,και νομιζα οτι την ειχα λυσει για αυτο .Αστο δεν πειραζει ,ανεβαστε καποιος που ξερει τη λυση μην γραφουμε οτι να νε .Τελικα ωρες ωρες γραφω τρομερες μπουρδες

Θα περιμενουμε λιγο να τη λυσει καποιος αν μπορει...:no1:
-----------------------------------------
Κανενας?

ntonebts · 14-07-09

Μαλλον δεν ενδιαφερεται κανενας για την ασκηση κριμα παντως

Sethis · 14-07-09

Δεν ξερω να δουλευω το latex οποτε γραφω τον τροπο λυσης.
α)Αρκει ριζα(Α^2+Β^2-4Γ) /2 >0 για να ειναι παντα κυκλος. Το κεντρο καθε κυκλου ειναι (-Α/2,-Β/2).
β)Βαζουμε στην αρχικη εξισωση 2 τιμες του n και λυνουμε το συστημα των 2 εξισωσεων. Κανουμε επαληθευση των λυσεων στην αρχικη εξισωση.

Ο τροπος για το γ) που εγραψε ο ntonebts δεν ειναι λαθος. Αφου η ευθεια εχει μονο ενα σημειο κοινο με ολους τους κυκλους σημαινει οτι ειναι εφαπτομενη ολων. Γινεται ομως και αποδεικνυωντας οτι οι αποστασεις της ευθειας απο τα κεντρα των κυκλων ειναι ισες με τις ακτινες τους.

Boom · 14-07-09

αυτη με τα μυρμηγκια ειναι απο πανελληνιες αν θυμαμαι καλα..

Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος