Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mostel · 22-03-08

Something even hotter please... Αυτές είναι για ζέσταμα

To be honest, μια ματιά τις έριξα.. ! Δε θυμάμαι και πολλά από παραβολές, αλλά στην αναλυτική δε γίνεται να 'ναι τόσο δύσκολο το πρόβλημα γιατί συνήθως ό,τι κάνεις είναι πολύ formalized!

Μιχάλη, διάλεξέ μου μία να την κοιτάξω γιατί δεν έχω χρόνο να τις δω όλες! Ελπίζω να τη λύσω,

Στέλιος

miv · 22-03-08

Διάλεξε εσύ και λύσε μία. Κοίτα, για σένα συγκεκριμένα το ξέρω οτι είναι ζέσταμα. Μιλάμε για κανονικούς μαθητές Β' Λυκείου όμως!

mad cow · 23-03-08

δεν ειναι πολυ δυσκολες χωρις να θυμαμαι και αρκετα απο τα περσινα ισως καποια στιγμη ποσταρω λυση

αλλα ας προσπαθησει κανενας της β πρωτα

galois01 · 24-03-08

ΑΣΚΗΣΗ 4

Εχουμε 10=2p <=> p=5

Η εφαπτόμενη της παραβολής στο Μ(α,β) έχει εξίσωση

ε: $yy_{a}=5(x+x_{a})$

Για να βρούμε που τέμνει η (ε) τον χχ' και τον yy' μηδενίζουμε μια φορά το χ και μια το y.Ετσι

για χ=ο

βy=5α όμως β^2=10α διότι το Μ(α,β) ανήκει στην παραβολή οπότε y=β/2

Αρα Β(0,β/2)

για y=0

χ=-α όμως ισχύει ότι β^2=10α διότι το Μ(α,β) ανήκει στην παραβολή οπότε χ=-β^2/10

Αρα Α(-β^2/10,0)

β) Οι συντεταγμένες του Ν είναι

χ1=-β^2/20 και y1=β/4

Θέτοντας χ=-β^2/20 και y=β/4 βρίσκουμε ότι

$y^{2}=-\frac{5}{4}x$

Eπομένως ο γεωμετρικός τόπος είναι μια παραβολή η οποία έχει

διευθετούσα την χ=5/8

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος

Επειδή η λύση είναι λίγο σύντομη όποιος δεν καταλαβαίνει κάτι ας ρωτήσει

Έχω λύση και την 3 αλλά η λυση είναι μεγάλη και δεν προλαβαίνω να τη

βάλω ίσως μπορέσω αύριο.

@miv

Στην άσκηση 1 το σημείο Β ποιό είναι?

Stavros4u · 26-03-08

Θα τις δοκιμάσω αμέσως!Αν καποιος εχει απορία ας το πει ωστε να δημοσιεύσουμε απάντηση!(αν την βρω εγώ,αλλιώς καποιο άλλο μελος!)

synchronicity · 02-05-08

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
Στην άσκηση 1 το σημείο Β ποιό είναι?

Στο ερώτημα Α, η άσκηση βγαίνει, αν θεωρήσεις ως Β το σημείο τομής του C2 με τον x'x που έχει αρνητική τεταγμένη.
Στο ερώτημα Β... ακόμα ψάχνομαι... σημείο τομής της εφαπτομένης με τι;

etrygeom · 22-11-08

Παρακινήθηκα από το αντίστοιχο thread της Α' Λυκείου και αποφάσισα να ανοίξω ένα και για εμάς. Εδώ, λοιπόν, θα ποστάρουμε ασκήσεις που βασίζονται στην ύλη των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Β' Λυκείου.

Ξεκινάμε με μια σχετικά εύκολη άσκηση:
Να αποδείξετε ότι: $|6\eta\mu\chi - 8\sigma\upsilon\nu\chi| \leq 10$

Hint: Εκμεταλλευτείτε την ανισότητα των Cauchy-Schwarz (σχολικό βιβλίο: σελ. 44, εφαρμογή 1η).

helder · 22-11-08

etrygeom · 23-11-08

Ναι, η άσκηση είναι σωστή οπως σου ειπα και στο msn. Λοιπόν, θεώρησε δύο διανύσματα $\overrightarrow{\alpha}=(6,-8)$ και $\overrightarrow{\beta}=(\eta\mu\chi, \sigma\upsilon\nu\chi)$ και πάρε την ανισότητα cauchy-schwarz.

Guest 292010 · 28-11-08

αυτη η ασκηση ειναι απο το υπουργικο...την εχω κανει

SCULLY · 19-12-08

παραθετω μια ασκηση στα διανυσματα (την οποια εβαλα και σε νεο θρεντ ενω υπηρχε αυτο..χαχα ντροπη μου

)

Σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ=κ) οι δυο ισες διαμεσοι σχηματιζουν γωνια π/3 και εχουν μηκος καθε μια ισο με 1.

1)να προσδιοριστει το συνημιτονο της γωνιας Α συναρτησει του κ.
2)οταν η γωνια Α βρισκεται στο διαστημα (π/4,π/2) ποιες ειναι οι δυνατες τιμες της παραμετρου κ?

etrygeom · 20-12-08

Αρχική Δημοσίευση από SCULLY:
παραθετω μια ασκηση στα διανυσματα (την οποια εβαλα και σε νεο θρεντ ενω υπηρχε αυτο..χαχα ντροπη μου)

Σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ=κ) οι δυο ισες διαμεσοι σχηματιζουν γωνια π/3 και εχουν μηκος καθε μια ισο με 1.

1)να προσδιοριστει το συνημιτονο της γωνιας Α συναρτησει του κ.
2)οταν η γωνια Α βρισκεται στο διαστημα (π/4,π/2) ποιες ειναι οι δυνατες τιμες της παραμετρου κ?

Επ, πώς και ξέθαψες το topic μου;

Μια μπακαλίστικη λύση που βρήκα είναι η παρακάτω.

i) Έστω G το σημείο τομής των ίσων διαμέσων ΓΕ και ΒΔ. Έχουμε ως κατακορυφήν:
$(\widehat{\overrightarrow{G E}, \overrightarrow{G \varDelta}})=(\widehat{\overrightarrow{G B}, \overrightarrow{G \varGamma}})=\frac{\pi}{3}$

$\sigma\upsilon\nu\hat{A}=\frac {\overrightarrow{A B} ~ \overrightarrow{A \varGamma}} {|\overrightarrow{A B}| ~|\overrightarrow{A \varGamma}|}=\frac {\overrightarrow{A B} ~ \overrightarrow{A \varGamma}}{\kappa^2}$

$\overrightarrow{A B} ~ \overrightarrow{A \varGamma}=(\overrightarrow{A E} + \overrightarrow{E B}) ~ (\overrightarrow{A \varDelta} + \overrightarrow{\varDelta \varGamma})=2\overrightarrow{E B} ~ 2\overrightarrow{\varDelta \varGamma} = 4~\overrightarrow{E B} ~ \overrightarrow{\varDelta \varGamma}$

$\overrightarrow{E B} ~ \overrightarrow{\varDelta \varGamma} = (\overrightarrow{E G} + \overrightarrow{G B}) ~ (\overrightarrow{\varDelta G} + \overrightarrow{G \varGamma})$
$\overrightarrow{E B} ~ \overrightarrow{\varDelta \varGamma} =\overrightarrow{E G} ~ \overrightarrow{\varDelta G} + \overrightarrow{E G} ~ \overrightarrow{G \varGamma} + \overrightarrow{\varDelta G} ~ \overrightarrow{G B} + \overrightarrow{G B} ~ \overrightarrow{G \varGamma}$
$\overrightarrow{E B} ~\overrightarrow{\varDelta \varGamma} =|\overrightarrow{G E}|~|\overrightarrow{G \varDelta}| ~ \sigma\upsilon\nu(\widehat{\overrightarrow{G E}, \overrightarrow{G \varDelta}}) + |\overrightarrow{E G}| ~ |\overrightarrow{G \varGamma}| + |\overrightarrow{\varDelta G}| ~|\overrightarrow{G B}| + |\overrightarrow{G B}| ~ |\overrightarrow{G \varGamma}| ~ \sigma\upsilon\nu(\widehat{\overrightarrow{G B}, \overrightarrow{G \varGamma}})$
$\overrightarrow{E B}~\overrightarrow{\varDelta \varGamma} = \frac{1}{3}|\overrightarrow{\varGamma E}|~\frac{1}{3}|\overrightarrow{B \varDelta}|~\frac{1}{2}+\frac{1}{3} |\overrightarrow{\varGamma E}|~\frac{2}{3}|\overrightarrow{\varGamma E}|+\frac{1}{3} |\overrightarrow{B \varDelta}|~\frac{2}{3}|\overrightarrow{B \varDelta}|+\frac{2}{3} |\overrightarrow{B \varDelta}|~\frac{2}{3} |\overrightarrow{\varGamma E}|~\frac{1}{2}$
$\overrightarrow{E B}~\overrightarrow{\varDelta \varGamma} = ... = \frac{13}{18}$

Οπότε:
$\overrightarrow{A B} ~ \overrightarrow{A \varGamma}= 4~\frac{13}{18}=\frac{52}{18}=\frac{26}{9}$

Προκύπτει τελικά:
$\sigma\upsilon\nu\hat{A}=\frac{26}{9} ~ \frac{1}{\kappa^2}$

Η διαδικασία και το αποτέλεσμα είναι σωστά ή μπα; Απάντησε μου για να προχωρήσω και στο ερώτημα ii).

Κάτι μου λέει ότι η απάντηση στο i) είναι 2-3 σειρές.

SCULLY · 27-12-08

οχι δεν ειναι 2 σειρες ,μην ανησυχεις

.

νομιζω πως κανεις λαθος,παντως.

baki · 27-12-08

ναι και εγω συμφωνω με τη scully, δεν βρισκω τοσο

etrygeom · 27-12-08

Ξέχασα να ευχηθώ καλές γιορτές. Καλές γιορτές σε όλους!

EDIT:
Έκανα τη μαλκία ο κάφρος και θεώρησα $(\widehat{\overrightarrow{G E}, \overrightarrow{G \varDelta}})=(\widehat{\overrightarrow{G B}, \overrightarrow{G \varGamma}})=\frac{\pi}{3}$ . Τώρα διάβασα προσεχτικά την υπόθεση.

Γράψε λάθος !

vimaproto · 28-12-08

G το σημείο τομής των διαμέσων BD, CE, AM. Το τρίγωνο BGC= ισοσκελές που έχει μία γωνία 60°. Αρα ισόπλευρο. Κάθε πλευρά του ίση με 2/3 και ΒΜ=1/3
ΑΜΒ= ορθογώνιο.

Με την επιφύλαξη λογιστικού λάθους λόγω Latex

dannaros · 14-06-09

Αρχική Δημοσίευση από helder:
αγαπητέ etrygeom είσαι σίγουρος ότι η καταγραφή της άσκησης σου είναι σωστή? Προσπάθησα να λύσω την άσκηση σου και έφτασα στο εξής συμπέρασμα:

|6ημχ-8συνχ|≤10

|6ημχ-8συνχ|≤|6ημχ|+|8συνχ|
|6ημχ-8συνχ|≤6|ημχ|+8|συνχ|≤(6^1)+(8^1) γιατί -1≤ημχ≤1 άρα |ημχ|≤1 και -1≤συνχ≤1 άρα |συνχ|≤1

Επομένως
|6ημχ-8συνχ|≤6+8
|6ημχ-8συνχ|≤14

και όχι |6ημχ-8συνχ|≤10
εάν κάποιος άλλος έχει βρει άλλη λύση ας τη γράψει!

το θέμα είναι ότι δεν γίνεται να είναι ταυτόχρονα το συνημίτονο της γωνίας χ ίσο με 1 και το ημίτονο χ ίσο με 1. Δηλαδή αν συνχ=1 τότε ημχ=0... κάπως έτσι πάει

vimaproto · 15-06-09

αντικαθιστώ a=6, b=-8, k=ημx ,n=συνx και προκύπτει
(6²+(-8)²)(ημ²χ+συν²χ)-(6ημχ-8συνχ)²>=0 και τελικά
-10<=6ημχ-8συνχ<=10

Kotatsuneko · 15-06-09

Έκανα βλακεία.
Συνεχίστε

https://ischool.e-steki.gr/showthrea...D3%F5%EB%EB%EF%E3%DE+%E1%F3%EA%DE%F3%E5%F9%ED

Civilara · 15-06-09

Αρχική Δημοσίευση από etrygeom:
Παρακινήθηκα από το αντίστοιχο thread της Α' Λυκείου και αποφάσισα να ανοίξω ένα και για εμάς. Εδώ, λοιπόν, θα ποστάρουμε ασκήσεις που βασίζονται στην ύλη των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Β' Λυκείου.

Ξεκινάμε με μια σχετικά εύκολη άσκηση:
Να αποδείξετε ότι: $|6etamuchi - 8sigmaupsilonnuchi| leq 10$

Hint: Εκμεταλλευτείτε την ανισότητα των Cauchy-Schwarz (σχολικό βιβλίο: σελ. 44, εφαρμογή 1η).

$\left| 6sinx-8cosx\right|\leq 10\Rightarrow -10\leq 6sinx-8cosx\leq 10$

1) Αν $x\epsilon \left(2\kappa \pi ,2\kappa \pi +\pi \right), \kappa \epsilon Z$ τότε $sinx=\sqrt{1-{cos}^{2}x}$

$6sinx-8cosx\geq -10\Rightarrow 6\sqrt{1-{cos}^{2}x}-8cosx\geq -10\Rightarrow 6\sqrt{1-{cos}^{2}x}\geq 8cosx-10$

που ισχύει για κάθε x ανήκει R αφού $-1\leq cosx\leq 1\Rightarrow -8\leq 8cosx\leq 8\Rightarrow -18\leq 8cosx-10\leq -2\Rightarrow 8cosx-10<0\leq 6\sqrt{1-{cos}^{2}x}$ για κάθε x ανήκει R

$6sinx-8cosx\leq 10\Rightarrow 6\sqrt{1-{cos}^{2}x}-8cosx\leq 10\Rightarrow 6\sqrt{1-{cos}^{2}x}\leq 10+8cosx\Rightarrow 36\left(1-{cos}^{2}x \right)\leq {\left(10+8cosx \right)}^{2}\Rightarrow 25{cos}^{2}x+40cosx+16\geq 0\Rightarrow {\left( 5cosx+4\right)}^{2}\geq 0$ που ισχύει για κάθε x ανήκει R

2) Αν $x\epsilon \left(2\kappa \pi+\pi ,2\kappa \pi +2\pi \right), \kappa \epsilon Z$ τότε $sinx=-\sqrt{1-{cos}^{2}x}$

$6sinx-8cosx\geq -10\Rightarrow -6\sqrt{1-{cos}^{2}x}-8cosx\geq -10\Rightarrow 6\sqrt{1-{cos}^{2}x}\leq 10-8cosx\Rightarrow 36\left(1-{cos}^{2}x \right)\leq {\left( 10-8cosx\right)}^{2}\Rightarrow 25{cos}^{2}x-40cosx+16\geq 0\Rightarrow {\left( 5cosx-4\right)}^{2}\geq 0$ που ισχύει για κάθε x ανήκει R.

$6sinx-8cosx\leq 10\Rightarrow -6\sqrt{1-{cos}^{2}x}-8cosx\leq 10\Rightarrow 6\sqrt{1-{cos}^{2}x}\geq -10-8cosx\Rightarrow <br />$ που ισχύει για κάθε xανήκει R αφού $-1\leq cosx\leq 1\Rightarrow -8\leq -8cosx\leq 8\Rightarrow -18\leq -8cosx-10\leq -2\Rightarrow -8cosx-10<0\leq 6\sqrt{1-{cos}^{2}x}$

3) Στα x για τα οποία ισχύει $x=\kappa \pi, \kappa \epsilon Z$
η ανίσωση ικανοποιείται.

Άρα η ανίσωση είναι ταυτότητα και ισχύει για κάθε x ανήκει R.

Συλλογή Ασκήσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Guest 292010

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος