Στατιστική

[DumeNuke]

Εκφώνηση: Ένα κουτί περιέχει 8 ζευγάρια παπούτσια. Επιλέγονται τυχαία έξι παπούτσια. Ποια η πιθανότητα να περιέχεται ένα σωστό ζευγάρι ανάμεσα στα έξι;

Λύση: Έχουμε

και

Έτσι, η πιθανοτητα, τελικά, προκύπτει να είναι 1/2.

Η ερώτηση μου είναι, πώς προκύπτει ότι το πλήθος των στοιχείων του Α είναι αυτό? Με ποιο σκεπτικό καταλήγουμε στην αριθμητική παράσταση που δίνει η λύση του βιβλίου?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Έρεβος]

Προσωπικά θα το έλυνα ως εξής:

Έστω το ενδεχόμενο η 6-άδα που διάλεξα να περιέχει τουλάχιστον ένα σωστό ζευγάρι.
Τότε είναι το ενδεχόμενο η 6-άδα που διάλεξα να μην περιέχει κανένα σωστό ζευγάρι.

1.Υπολογίζω το :
Διαλέγω από τα 8 ζευγάρια παπούτσια τα 6 (αυτό γίνεται με τρόπους) και παίρνω από κάθε ζευγάρι που διάλεξα ένα παπούτσι (2 τρόποι για κάθε ζευγάρι άρα και για τα 6). Έτσι είμαι σίγουρος ότι δεν έχω κανένα ζευγάρι. Οπότε:


2.Υπολογίζω το :
Ξέρουμε ότι όλες οι δυνατές 6-άδες είναι . Οπότε:


3.Υπολογίζω το :
Ισχύει

Εικάζω ότι στη λύση που έγραψες το Ν(Α) υπολογίζεται ως εξής:
Διαλέγουμε ένα ζευγάρι παπούτσια (αυτό γίνεται με 8 τρόπους) και στη συνέχεια από τα υπόλοιπα παπούτσια διαλέγω άλλα τέσσερα (αυτό γίνεται με C(16-2,4)=C(14,4) τρόπους) κι έτσι φτιάχνω μια 6-άδα από παπούτσια με τουλάχιστον ένα ζευγάρι. Οπότε έχω 8*C(14,4) τρόπους. Αυτό όμως δεν είναι απόλυτα σωστό γιατί σύμφωνα με αυτή τη λογική έχω μετρήσει ίδιους συνδυασμούς πάνω από μία φορά. Εξού και υπάρχει στον υπολογισμό ένα -8, το οποίο όμως δεν φαίνεται να είναι σωστό (προκύπτει ότι η πιθανότητα θα είναι λίγο μεγαλύτερη από 99.9% !).

Επίσης μου κινεί την περιέργεια εκείνο το 1/2. Με όποιο τρόπο κι αν δοκίμασα να λύσω το πρόβλημα δεν εμφανιζόταν πουθενά.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Με παρόμοια διαδικασία κατέληξα κι εγώ στο ίδιο αποτέλεσμα, όταν έλυσα την άσκηση. Και μόλις παρατήρησα ότι η πιθανότητα που έπρεπε να βγάζει το βιβλίο (σύμφωνα με τον τρόπο λύσης του) είναι 8000/8008 και όχι 1/2.

Οπότε, κάπου έχει γίνει χοντρό λάθος στην προτεινόμενη λύση. Σε ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια Έρεβος!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Καινούργιο θέμα:

Μια κατασκευή στηρίζεται σε τρία πέλπαματα, έστω α,β,γ. Το κάθε πέλμα ενδέχεται να παραμείνει στην αρχική του θέση ή να υποστεί καθίζηση, με P(καθίζησης)=0,2. Όταν υπάρχει καθίζηση σε ένα πέλμα, τότε η πιθανότητα καθίζησης στο γειτόνικο αυξάνεται σε P(A|B)=P(B|A)=P(Γ|Β)=P(B|Γ)=0,6.
Ποια η πιθανότητα να συμβεί καθίζηση και στα τρία πέλματα α,β και γ?

Ξεκινώντας από την πιθανότητα της τομής των τριών ενδεχομένων και, εφαρμόζοντας το Πολλαπλασιαστικό θεώρημα, έχω ότι η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με:
P(τομή των Α,Β,Γ)=P(Α)*P(Β|Α)*P(Γ|τομή Α,Β)

Οι πρώτες 2 πιθανότητες είναι γνωστές, 0,2 και 0,6 αντίστοιχα, όμως δεν ξέρω πώς να βρω την τρίτη απαιτούμενη πιθανότητα.

Καμιά ιδέα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[eyb0ss]

Μήπως εξυπακούεται ότι το πέλμα α είναι γειτονικό στο β και το β γειτονικό στο γ;
Διότι σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να εξετάσουμε ποιο πέλμα θα πέσει πρώτο κάθε φορά και να πάρουμε την ένωση τους. Μια σκέψη είναι μόνο, δηλαδή αν υποστεί καθίζηση το πέλμα β τότε αυξάνεται η πιθανότητα καθίζησης και στα δυο πέλματα, ενώ αν το ίδιο συμβεί στο α ή στο γ τότε θα αυξηθεί μόνο στο β.Btw, το θέμα το έστειλα στο mathematica.gr την Παρασκευή αλλά κανείς δεν μου απάντησε οπότε το διέγραψα. So, we're on our own.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Μήπως εξυπακούεται ότι το πέλμα α είναι γειτονικό στο β και το β γειτονικό στο γ;

Έτσι ακριβώς. Επίσης, το Α δεν είναι γειτονικό στο Γ.
Κάποιοι πρότειναν να αντικαταστήσουμε P(Γ|ΑτομήΒ)=P(Γ|Β)=0,6. Η αλήθεια είναι, ότι θα μας έλυνε τα χέρια αυτή η αντικατάσταση. Είναι όμως σωστή?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[eyb0ss]

Έτσι ακριβώς. Επίσης, το Α δεν είναι γειτονικό στο Γ.
Κάποιοι πρότειναν να αντικαταστήσουμε P(Γ|ΑτομήΒ)=P(Γ|Β)=0,6. Η αλήθεια είναι, ότι θα μας έλυνε τα χέρια αυτή η αντικατάσταση. Είναι όμως σωστή?

Άρα η καθίζηση του Α δεν επηρεάζει την καθίζηση του Γ. Η πιθανότητα του Γ να υποστεί καθίζηση εξαρτάται από την πιθανότητα του Β να την υποστεί επίσης. Τώρα αν το Β το υποστεί από μόνο του ή λόγω του Α αυτό δεν επηρεάζει την πιθανότητα του Γ καθώς εξαρτάται μόνο από το γειτονικό. Εγώ λέω να θεωρήσουμε τα ενδεχόμενα:
Δ:{να γίνει καθίζηση και στα τρία πέλματα όμως πρώτα στο Β}
Ε:{>> >> >> όμως πρώτα σε ένα ακραίο πέλμα (Α ή Γ)}
Με αυτά και την πολλαπλασιαστική αρχή θα έχουμε Ρ(Δ)=Ρ(Β)Ρ(Α|Β)Ρ(Γ|Β)=0,2*0,6*0,6=0,072, Ρ(Ε)=Ρ(Α)Ρ(Β|Α)Ρ(Γ|ΑτομηΒ)
Τώρα το ενδεχόμενο να υποστεί το Γ καθίζηση εξαρτάται μόνο απ' το ενδεχόμενο το Β να υποστεί καθίζηση και όχι από το Α. Άρα θα έλεγα ότι η σχέση Ρ(Γ|ΑτομηΒ)=Ρ(Γ|Β)=0,6 είναι σωστή. Άρα Ρ(Ε)=0,2*0,6*0,6=0,072
Άρα Ρ(ΑτομηΒτομηΓ)=Ρ(ΔυΕ)=Ρ(Δ)+Ρ(Ε)=0,144 (υποθέτω ότι στην αρχή δεν γίνεται να καθίσουν δυο πέλματα ταυτόχρονα)
Με επιφύλαξη πάντα, να φανταστείς ότι στο πρώτο πρόβλημα που πόσταρες, είδα τρεις διαφορετικές λύσεις από τρία διαφορετικά άτομα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Nick890]

Μπορει καποιος να μου πει με λογια τους αριθμους σε αυτην την προταση ?

Κάποιος ;;;

Κανενας δεν ξερει στατιστικη ρε παιδια ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.