Σε ό,τι αφορά την τελευταία παράγραφο: η g'(k), από μαθηματικής άποψης, μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση. Αλλά ποιος είναι ο τύπος της, αν είναι συνεχής ή όχι κλπ δε νομίζω πως μπορούμε να το βρούμε. Πιο εύστοχο πιστεύω πως θα ήταν να τη θεωρήσεις παράμετρο λ και να μιλήσεις για παραμετρική εξίσωση λ=g(x)-g(ξ)/χ-ξ ή λ(χ-ξ)+g(ξ)=g(x). Τέτοιες εξισώσεις λύναμε σε παλαιότερες τάξεις, αλλά έδινε η άσκηση ότι το λ είναι πραγματικός αριθμός, δηλαδή <<διατρέχει το R>>. Εδώ, όμως, δε γνωρίζουμε αν αυτό ισχύει για όλα τα χ, είτε στο R είτε στο +-άπειρο.
Από δω και στο εξής, δε νομίζω πως έχει νόημα να το αναλύσουμε βαθύτερα, διότι έχω την εντύπωση πως ξεφεύγει από την ύλη του σχολικού βιβλίου. Ένα είναι, πάντως, το σίγουρο: τη μεθοδολογία αυτή, αν θέλεις να τη χρησιμοποιήσεις, πρέπει να γράψεις πρώτα κάποια απόδειξη. Δε γνωρίζω αν σας την έχει δείξει ο καθηγητής σου ή αν υπάρχει στο βοήθημα του Παπαδάκη(στου Στεργίου, πάντως, δε θυμάμαι να υπήρχε). Πάντως, αν το γράψεις έτσι αυθαίρετα, δε νομίζω να σου δώσουν μονάδες, παρόλο που το όριο όντως βγαίνει σωστό. Αν τώρα δεν αισθάνεσαι σίγουρος για τη μεθοδολογία αυτή, είτε επειδή ίσως ξεφεύγει από την ύλη του λυκείου, είτε επειδή είναι μακροσκελής, είτε για οποιονδήποτε άλλο λόγο, θα σου πρότεινα να χρησιμοποιήσεις τη μεθοδολογία με την εφαπτομένη, η οποία υπάρχει σε όλα τα βοηθήματα(τουλάχιστον εγώ την έκανα στο φροντιστήριο και από τον Στεργίου) και τη θεωρώ <<standard>>.
Αυτή τη μεθοδολογία, πιστεύω, ήθελαν και αυτοί να εξετάσουν αν τη γνωρίζει ο υποψήφιος ή όχι. Γι αυτό το λόγο εξακολουθώ να θεωρώ ότι το Δ3 ήταν, για κάποιον καλά προετοιμασμένο μαθητή, βατό και γνωστό. Δεν πρόκειται ποτέ να σου βάλουν θέμα το οποίο να λύνεται μόνο με τη μεθοδολογία που πρότεινες εσύ ή ο καθηγητής σου, ούτε στις Πανελλήνιες, ούτε από τον ΟΕΦΕ. Ακόμα και να μη σου έδινε τη g'(2): μπορείς να πεις ότι, αφού η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα και μηδενίζει στο ξ, για κάθε χ>ξ η παράγωγος είναι μεγαλύτερη του 0. Άρα, παίρνεις τυχαίο α>ξ και λες ότι, αφού η g είναι παραγωγίσιμη στο α, ορίζεται πλάγια εφαπτομένη σε αυτό(νομίζω ότι αυτό ισχύει, αν και δε θυμάμαι αν το λέει ακριβώς έτσι στο βιβλίο), η οποία έχει μορφή: h(x)=g'(a)(x-a)+g(a). Αφού η g είναι κυρτή(πρέπει να σου δίνει ή να έχεις βρει κυρτότητα), ισχύει g(x)>=h(x) σε όλο το πεδίο ορισμού της g. Το όριο της h στο συν άπειρο είναι το συν άπειρο(αφού ξέρω ότι g'(a)>0), άρα η h, κοντά στο συν άπειρο, είναι μεγαλύτερη του μηδέν, άρα και η g(αφού είναι μεγαλύτερη ή ίση της h). Δηλαδή ισχύει g(x)>=h(x)>0 ή(έχω δικαίωμα να αντιστρέψω) 0<1/g(x)<=1/h(x), κοντά στο συν άπειρο. Από το κριτήριο παρεμβολής βλέπω ότι το όριο της 1/g(x) στο συν άπειρο ισούται με μηδέν και, επειδή(το απέδειξα πριν) η g είναι θετική κοντά στο συν άπειρο, το όριο της g στο συν άπειρο είναι συν άπειρο.
Όπως βλέπεις, ό,τι έκανα στη μέθοδο αυτή το αιτιολόγησα με βάση κανόνες του σχολικού βιβλίου ή τελοσπάντων κανόνες που έχω διδαχθεί καθ΄ όλη τη διάρκεια των σχολικών μου ετών.
Υ.Γ.: αν σε το ρωτήσουν αυτό στις πανελλήνιες, κατά πάσα πιθανότητα θα σου ζητήσει σε προηγούμενο βοηθητικό ερώτημα να βρείς την ανίσωση της συνάρτησης με την εφαπτομένη, οπότε μην ανησυχείς...