Οι μαθηματικοί από πού ξέρουν γεωμετρία;

Dias · 19-02-11

Έλεος!!! Θα βάλω και τα δικά μου γεμιστά:

Αρχική Δημοσίευση από Chris1993:
Εμάς την Αστρονομία μας στην έκανε Μαθηματικός...καταπληκτικός καθηγητής. Αλλά απο αστρονομία δεν ήξερε και πολλά

Ο φυσικός που μας την έκανε και ήξερε και ασχολιόταν και του άρεσε. Έχει δικό του τηλεσκόπιο που το έφερνε βράδια στο σχολείο και μαζευόμασταν. Μας πήγε και νυχτερινή εκδρομή στο αστεροσκοπείο Πεντέλης.

Rempeskes · 23-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξίνοος:
[FONT=Times New Roman, serif]Αυτό ουδείς το ορίζει.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο Hilbert σε ένα από τα αξιώματά του “αξιώνει” την ύπαρξη σημείου Μ επί ευθείας (α) και μεταξύ δύο σημείων αυτής, Α και Β, διαφόρων αλλήλων, αλλά δεν ορίζει ούτε την “ευθεία[/FONT][FONT=Times New Roman, serif]”,[/FONT][FONT=Times New Roman, serif] ούτε το [/FONT][FONT=Times New Roman, serif]“[/FONT][FONT=Times New Roman, serif]σημείο[/FONT][FONT=Times New Roman, serif]”,[/FONT][FONT=Times New Roman, serif] ούτε το “μεταξύ”...[/FONT]

Αυτό που λες δεν ισχύει. Κοίταξε τα "Θεμέλια της Γεωμετρίας", σελ 2&3.

(υγ. δεν υπάρχει θέμα κλοπιράιτ)

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αγαπητέ Rempeske (#42)
Ο Hilmert αποκαλεί τα Σημεία, τις Ευθείες και τα Επίπεδα ως “πράγματα”, άνευ ουδενός ορισμού.
Άνευ ορισμού χρησιμοποιεί και τις έννοιες “ανήκειν”, “κείσθαι”, “μεταξύ” κτλ, τις οποίες χρησιμοποιεί εις τα αξιώματα, συνδέσεως κτλ.
Είναι οι γνωστοί “όροι άνευ ορισμού” και έχει χυθεί πολύ μελάνι προκειμένου να καταστεί “έλλογο” το οξύμωρο.
Πώς να ορισθεί, άλλωστε, το τι σημαίνει “μεταξύ” δύο σημείων Α και Β “κειμένων” επί ευθείας α κτλ, όταν δεν έχει ορισθεί ούτε η ευθεία ούτε το σημείο;
Ο Ευκλείδης, ο οποίος ...δεν είχε πληροφορηθεί ότι, τα “πράγματα” αυτά, δεν ορίζονται... τα ορίζει.
Όταν λέγει ότι σημείο είναι αυτό που δεν μερίζεται, δεν έχει εξασφαλίσει την ύπαρξή του δι' ενός αξιώματος. Δεν έχει πει δηλαδή ότι “το σημείο, το οποίο ορίζω... υπάρχει”. Φαίνεται πως εννοεί ότι δεν θα ήταν δυνατόν να ορίσει ένα ανύπαρκτο “πράγμα”.
Όταν λέγει ότι ευθεία γραμμή είναι εκείνη που κείται ομοιοτρόπως (εξ ίσου) τοις εφ' εαυτής σημείοις, θεωρεί (ως φαίνεται) περιττό να δηλώσει ότι αυτά τα σημεία υπάρχουν επί της ευθείας - διότι εάν δεν υπήρχαν δεν θα ήταν “εφ' εαυτής”...
Δεν αρνούμαι ότι οι ορισμοί του Ευκλείδη επιδέχονται κριτική ή/και βελτιώσεις.
Αλλά, η κατάργηση των ορισμών, δεν είναι βελτίωση (“πονάει δόντι, κόψε κεφάλι”).
Εάν “αρχή πάσης επιστήμης” είναι “η των ονομάτων επί σκέψις”, δεν δύναται να θεωρηθεί επιστημονικό κάτι που αρχίζει από την μέση...

Rempeskes · 23-02-11

Ο Hilmert αποκαλεί τα Σημεία, τις Ευθείες και τα Επίπεδα ως “πράγματα”, άνευ ουδενός ορισμού...
(...)
Ο Ευκλείδης, ο οποίος ...δεν είχε πληροφορηθεί ότι, τα “πράγματα” αυτά, δεν ορίζονται... τα ορίζει.

Είναι πρωταρχικές έννοιες, Αλεξ μου. Δεν επιδέχονται ορισμό.
Να στο θέσω ως εξής.
Για τα μαθηματικά του καιρού του Ευκλείδη, ο ορισμός του σημείου ήταν ικανοποιητικός.
Για τα μαθηματικά του καιρού του Χίλμπερτ, ο ορισμός δεν είχε αντίκρυσμα,
καθώς είχε νόημα να υπάρχουν σύνολα πραγματικών αριθμών με άπειρα στοιχεία μα μηδενικό μήκος.
Πάμε όμως στο...

Είναι οι γνωστοί “όροι άνευ ορισμού” και έχει χυθεί πολύ μελάνι προκειμένου να καταστεί “έλλογο” το οξύμωρο.

Όλοι οι ορισμοί πρέπει κάποτε να καταλήγουν σε πρωταρχική έννοια, αλλιώς
δεν αποτελούν ορισμό μα περιγραφή. Από την άλλη, ακόμα και όταν ορίζεις κάτι αυστηρά,
δεν είναι αναγκασμένη η πραγματικότητα
να το αναγκάσει να υπάρξει κιόλας.
Παράδειγμα αποτελεί ο μονόκερως.
Κάνω κύκλους όμως... Πίσω πάλι στο

Αλλά, η κατάργηση των ορισμών, δεν είναι βελτίωση

Άκου τώρα τι λες. "Καταργώντας" τον "ορισμό" του "σημείου", καταφέρνουμε να εισάγουμε
γεωμετρία μέσα σε χώρους από συναρτήσεις, τις οποίες ταυτίζουμε με "σημεία". Αυτό αποτελεί
μία κατακτηση την οποία ο Ευκλείδης δεν μπορούσε να είχε φανταστεί στην εποχή του, καθώς
γι' αυτόν το Πυθαγόρειο Θεώρημα αφορούσε τρίγωνα και μόνο τρίγωνα, και η κλασσική Ελληνική Μαθηματική Σκέψη δεν επέτρεπε στην αφαίρεση να εκταθεί πέραν σαφών ορίων.

Χάρη σε αυτόν τον "αρριβισμό", αν θέλετε, μπορεσε ο Αϊνστάιν να εκφράσει την βαρύτητα σε ένα
θεμελιωδώς διαφορετικό πλαίσιο από εκείνο του Νεύτωνα, ο οποίος εργαζόταν με τον Ευκλείδη
ανά χείρας. Αλλά και ο Xάιζενμπεργκ κατόρθωσε να επεξηγήσει μαθηματικά την συμπεριφορά
εντός του ατόμου με τρόπο που ο Μπορ δεν μπορούσε με το δικό του μοντέλο της ύλης.

Μη νομίσεις με αυτά πως συγκρίνω τον Χιλμπερτ με τον Ευκλείδη ή θέτω ζήτημα περί της μίας, ορθής
και αλαθάνστου Γεωμετρίας. Το μόνο που λέω είναι πως η λογική σου πλησιάζει εκείνη του Ευκλείδη, και πως οι μόνες
"διορθώσεις" που μπορείς να θέσεις με αυτόν τον τρόπο, αφορούν μόνο περιγραφές. τεσπα. πολλά είπα.

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αγαπητέ Rempeske (#44)
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν δεν ορίζονται οι αρχικές έννοιες δεν ορίζονται ούτε οι παράγωγες αυτών...
Η πεποίθηση ότι η γεωμετρία μπορεί να οικοδομηθεί με αόριστα δομικά στοιχεία και η αοριστία γενικότερα νομίζω ότι δεν είναι ό,τι καλλίτερο διά μαθητές εις την εφηβεία...
Κατά τα άλλα... ούτε εγώ θέλω να συγκρίνω τον Hilbert με τον Ευκλείδη.
Πάντως, οι “ψευδεπώνυμοι συγγραφείς” για τους οποίους έκαμα λόγο στο #24 δεν επιδεικνύουν ουδένα σεβασμό ούτε στον ένα ούτε στον άλλο...
Εκεί πρότεινα, για αρχική μελέτη της γεωμετρίας, τα στοιχεία του Ευκλείδη. Όχι επειδή νομίζω πως είναι αλάθητος, όπως μου παρατηρείς στο #28, αλλά διότι θεωρώ τα στοιχεία του ως κατάλληλα δια την απόκτηση των στοιχειωδών γεωμετρικών γνώσεων... Εννοείται ότι, εις αυτά, δεν υπάρχει όλη η γεωμετρία... Πως να υπάρχει (π.χ.) η μέθοδος μέτρησης του κύκλου αφού ο Αρχιμήδης είναι μεταγενέστερος του Ευκλείδη;...
Στο #27 εξειδίκευσα ότι, λέγοντας “ψευδεπώνυμες “συγγραφές”, εννοώ τα σχολικά βιβλία εις τα οποία (συν τοις άλλοις) αναφέρεται ως μονάδα μέτρησης των γωνιών η ...μοίρα κάτι το οποίο δεν κατασκευάζεται ούτε με τα αξιώματα του Hilbert ούτε με τα αιτήματα του Ευκλείδη.
Αυτό, δεν είναι μόνο τωρινό φαινόμενο. Αλλά σήμερα οι άσχετοι συγγραφείς αναφέρουν και γωνίες συγκεκριμένων μοιρών (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ) οι οποίες είναι αδύνατον να κατασκευαστούν:
“59” (σ. 48 ).
“65”, (σ. 82).
“50”, “55”, “20” (σ. 87).[/FONT]

Rempeskes · 23-02-11

[FONT=Times New Roman, serif]Εάν δεν ορίζονται οι αρχικές έννοιες δεν ορίζονται ούτε οι παράγωγες αυτών...[/FONT]

Mπορούμε τότε, να ορίσουμε το σημείο; Σε παρακαλώ να αποπειραθείς

[FONT=Times New Roman, serif][/FONT]

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:
Mπορούμε τότε, να ορίσουμε το σημείο; Σε παρακαλώ να αποπειραθείς

[FONT=Times New Roman, serif]Έχω ήδη αναφέρει τον ορισμό του Ευκλείδη (#43). Τον γράφω επακριβώς:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Σημείον εστί ου μέρος ουθέν”: Αυτό το οποίο δεν έχει μέρος, δεν μερίζεται, δεν μπορείς να πεις περί αυτού: “το επάνω μέρος” ή, “...το δεξί” κτλ.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Ο Πυθαγόρας το ορίζει διαφορετικά: “μονάδα θέσιν έχουσα”.)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο ορισμός του Ευκλείδη αρκεί διά την δουλειά εις την οποία θέλει να το χρησιμοποιήσει...[/FONT]

Rempeskes · 23-02-11

[FONT=Times New Roman, serif]Ευκλείδης. Τον γράφω επακριβώς:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Σημείον εστί ου μέρος ουθέν”[/FONT]

Αυτό περίμενα και εγώ. Θα μου ορίσεις επακριβώς το "δεν μερίζεται";
Επακριβώς, όχι περιγραφικά.

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:
Αυτό περίμενα και εγώ. Θα μου ορίσεις επακριβώς το "δεν μερίζεται";
Επακριβώς, όχι περιγραφικά.

Οι ορισμοί διατυπώνονται με την βασική γλώσσα ή, με την βοήθεια όρων που έχουν ορισθεί πρότερον.
Το “μέρος” είναι στοιχείο της βασικής γλώσσας, δηλαδή, περιέχεται εις άπαντα τα λεξικά.
Εγώ διευκρίνισα (“δεν μερίζεται” και ότι δεν έχει [FONT=Times New Roman, serif]“επάνω μέρος” ή, “...δεξί” κτλ.[/FONT]) διότι έχω δει σε παλαιότερο βιβλίο σχολικής γεωμετρίας την απίθανη ερμηνεία: “Σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέγεθος”.

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξίνοος:
[FONT=Times New Roman, serif]Αλλά σήμερα οι άσχετοι συγγραφείς αναφέρουν και γωνίες συγκεκριμένων μοιρών (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ) οι οποίες είναι αδύνατον να κατασκευαστούν:
“59” (σ. 48 ).
“65”, (σ. 82).
“50”, “55”, “20” (σ. 87).[/FONT]

Παρότι η “μοίρα” είναι μέτρο ανύπαρκτο η γωνία των τριών “μοιρών” κατασκευάζεται εάν με αυτό εννοούμε το 1/120 των τεσσάρων ορθών. Συμβολίζω 1/120 C. Αυτό προκύπτει δι' αφαιρέσεως του 1/12 C από το 1/10 C (επίκεντροι γωνίες κανονικού δωδεκαγώνου και κανονικού δεκαγώνου αντιστοίχως) και διχοτομήσεως του υπολοίπου, ήτοι:
1/10-1/12=6/60-5/60=1/60
(1/60)/2=1/120.
Άρα οι γωνίες οι οποίες είναι πολλαπλάσια του 1/120 C είναι κατασκευάσιμες.
Εάν σε ένα σχήμα εμφανίζεται μία γωνία 21 ή, 51 ή, 54 ή, 57, ή 66 κτλ “μοιρών”, αυτό συνιστά “μόνον” σφαλερή ή, μάλλον, ασύστατη διατύπωση.
Εάν σε ένα σχήμα εμφανίζεται μία γωνία 20 ή, 50 ή, 55 ή, 59, ή 65 κτλ “μοιρών”, αυτό συνιστά ψεύδος ή/και παραφροσύνη...

Rempeskes · 24-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξίνοος:
Οι ορισμοί διατυπώνονται με την βασική γλώσσα ή, με την βοήθεια όρων που έχουν ορισθεί πρότερον.

...Και όμως, οι όροι στα λεξικά δεν έχουν ορισθεί, έχουν περιγραφεί με έτερους όρους,
γι' αυτό και επέμενα πριν, να δοθεί μη περιγραφικός ορισμός.
Βλέπουμε λοιπόν πως, αν είναι να τεθούν οι ορισμοί αυστηρά, κάποιες έννοιες πρέπει να είναι δομικές.

_______________________________________

έχω δει σε παλαιότερο βιβλίο σχολικής γεωμετρίας την απίθανη ερμηνεία: “Σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέγεθος”.

Δεν βρίσκω αυτή την ερμηνεία
και τόσο απίθανη

Αλεξίνοος · 24-02-11

Απάντηση στο #51:
Ο όρος (ορισμός) είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη διά το οριζόμενο.
Όταν λέγομε “μη περιγραφικός ορισμός”, δεν εννοούμε ένα ορισμό ...απερίγραπτο, ήτοι το οξύμωρον: “όρος άνευ ορισμού”.
Ο ορισμός (π.χ.) του “σημείου” που δίδει ο Ευκλείδης προϋποθέτει την καταφατική απάντηση εις τις ερωτήσεις σχετικές με την “βασική γλώσσα” - όπως ανέφερα:
-Γνωρίζεις τι σημαίνει η λέξη: “εστί”;
-Γνωρίζεις τι σημαίνουν οι λέξεις: “ος, η, ο”;
-Γνωρίζεις τι σημαίνει η λέξη: “μέρος”;
-Γνωρίζεις τι σημαίνει η λέξη: “ουθέν” (“ου δε εν”);
(Η ερώτηση: “γνωρίζεις ότι η λέξη “μέρος” σημαίνει άλλο από την λέξη “μέγεθος” (ή, ...“αχλάδι” κτλ)”, δεν περιλαμβάνεται, διότι ο Ευκλείδης ήταν μαθηματικός και όχι ...προφήτης, ώστε να γνωρίζει το πως θα τον 'ερμήνευαν' σήμερα...)
-Αφού τις γνωρίζεις, τότε αντιλαμβάνεσαι τι σημαίνει ο όρος (ορισμός):
“Σημείον εστί ου μέρος ουθέν”.
Εάν δεν γνωρίζεις (π.χ.) τι είναι ο “μέρος” τότε μπορείς να θεωρήσεις, αυτό, ως “όρο άνευ ορισμού” αλλ', όχι το “σημείο”.
...
Εξ άλλου, όποιος ακούει: “όρος άνευ ορισμού”, ουδέν αντιλαμβάνεται (ούτε καν το οξύμωρο του πράγματος) εάν δεν έχει ένα ορισμό του ονόματος: “όρος” ή/και του ρήματος: “ορίζω”.
Εάν θεωρήσουμε όλους του όρους ως “άνευ ορισμού” (και δη τους “δομικούς”), τότε, θα πρέπει να συνενοούμεθα με γρυλίσματα, οπότε μπορούμε να καταργήσουμε κάθε ορισμό (π.χ. της τραγωδίας) και να κάψουμε και τα λεξικά, διότι εις αυτά ...δεν βρίσκεις άκρη: Αναζητάς ερμηνεία διά το “υιός”, ευρίσκεις ότι είναι το γεννηθέν άρρεν τέκνον ως προς τον πατέρα του. Αναζητάς ερμηνεία διά το “πατήρ”, ευρίσκεις ότι είναι το ο γεννήτωρ ως προς τα τέκνα του... Π.χ. δεν μπορείς να κατανοήσεις ένα αγγλικό κείμενο χρησιμοποιώντας ΜΟΝΟΝ ένα αγγλαγγλικό λεξικό...
Ε, αυτά βλέπει και ο Hilbert και λέγει: “αυτά τα διακριτά πράγματα (σημεία, ευθείες, επίπεδα) ΔΕΝ τα ορίζω”.
Καλά, αλλά πρέπει να μας ορίζει (π.χ.) τι εννοεί λέγοντας “διακριτά” (κτλ, κτλ)... και όχι “περιγραφικά”, όπως θα έλεγες κι' εσύ.
Φαίνεται πως, ο δρόμος της επιστροφής προς την μη λεκτική ανθρώπινη επικοινωνία, είναι στρωμένος με επιφάσεις αφαιρετικότητας...

Rempeskes · 24-02-11

Ξεκινώ με το...

...να κάψουμε και τα λεξικά, διότι εις αυτά ...δεν βρίσκεις άκρη: Αναζητάς ερμηνεία διά το “υιός”, ευρίσκεις ότι είναι το γεννηθέν άρρεν τέκνον ως προς τον πατέρα του. Αναζητάς ερμηνεία διά το “πατήρ”, ευρίσκεις ότι είναι το ο γεννήτωρ ως προς τα τέκνα του

Ορίστε λοιπόν ένα φαινόμενο (ένα σημείο με ...μέγεθος) το οποίο δεν φαίνεται να σου προκάλεσε
κάτι ιδιαίτερο πλην αγανάκτησης. :rolleyes:

Για εμένα πάλι, ήταν μια στιγμή σχεδόν Εσωτερική, ύστερα από την οποία δεν ήμουν πια ο ίδιος (σσ. είχα γεράσει κατά ένα δευτερόλεπτο).

Βλέπεις και εσύ πως, ακόμα και σε ένα τόσο απλά διεκπεραιωτικό ζήτημα
όπως η συγγραφή ενός λεξικού,
παρότι κάθε σελίδα θα αποτελείται από συστοιβαγμένους "όρους",
η απαίτηση

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξίνοος:
Ο όρος (ορισμός) είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη διά το οριζόμενο.

δεν μπορεί να εκπληρωθεί
χωρίς μερικά από τα οριζόμενα
να συστραφούν επί του ευατού τους,
κάτι σαν τον ουροβόρο όφι βρε παιδί μου...

Και, παρ' οτι τα λεξικά πάσχουν από αυτή την εγγενή αδυναμία,
σε γενικές γραμμές, ο κόσμος δεν συννενοείται με ...γρυλίσματα,
όπως θρηνείς ότι θα συνέβαινε
(...εκτός αν πρόκειται για αστυνομικούς ή στρατιωτικούς βέβαια)

Και καταλήγουμε λοιπόν στο

Ε, αυτά βλέπει και ο Hilbert και λέγει: “αυτά τα διακριτά πράγματα (σημεία, ευθείες, επίπεδα) ΔΕΝ τα ορίζω”.

...Δε νομίζω.
Ένας τόσο οξυδερκής άνθρωπος,
με βαθύτατη γνώση του αντικειμένου του,
δεν θα έπεφτε τόσο φτηνά σε "οξύμωρα", όπως λες.
Τα πάντα είναι στην θέση τους όπως πρέπει να είναι.

Καλά, όχι τα πάντα

όπως μας λέει η μετέπειτα εμπειρία.
Μα γι' αυτόν, όπως και για τον Ευκλείδη, τα πράγματα δεν μπορούσαν να είναι αλλιώς.

Για να καταλήξω στο...

Φαίνεται πως, ο δρόμος της επιστροφής προς την μη λεκτική ανθρώπινη επικοινωνία, είναι στρωμένος με επιφάσεις αφαιρετικότητας.

...Ουγκ!

Αλεξίνοος · 24 Φεβρουαρίου 2011

[FONT=Times New Roman, serif]Εξ αφορμής του #53 και όχι μόνον:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ουδείς υποχρεούται να αναγιγνώσκει μετά προσοχής αυτά που γράφω. Εγώ όμως απαντώ μόνον επί θεμάτων εις τα οποία δεν έχω απαντήσει ήδη (ή, δεν τα έχω διευκρινίσει ικανοποιητικώς).[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Ο Ευκλείδης δεν λέγει “σημείον εστί ου μέγεθος ουθέν”, ούτε λέγει: “σημείον εστί ου οσμή ουδεμία”, ούτε οτιδήποτε άλλο από αυτά που ο καθείς μπορεί να νομίσει ότι δεν είναι χαρακτηριστικά του σημείου. [/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν κάποιος έβλεπε τον όρο (ορισμό): “σημείον εστί ου μέρος ουθέν” και “ερμήνευε”: “σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει οσμή”, εγώ, θα θεωρούσα αυτή την ερμηνεία τόσο απίθανη όσο και την ερμηνεία “σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέγεθος”, η οποία υπάρχει εις το σχολικό βιβλίο που ανέφερα (#49) (κυκλοφορούσε γύρω στο '90).[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Και αν κάποιος τρίτος με ειρωνευόταν λέγοντάς μου: “να ένα σημείο με ...οσμή”, θα με άφηνε άναυδο...)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο Ευκλείδης - όπως προείπα (#47) - δίδει ένα ορισμό κατάλληλο διά την θεωρία του: Δηλαδή, όταν, εν συνεχεία, θα πει: “Ητήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν αγαγείν” (1ον αίτημα), να μη τον ερωτήσει κάποιος:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Από ποία μεριά του σημείου να αχθεί η γραμμή; Από δώθε του σημείου ή, από κείθε;”[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Οι απίθανες “ερμηνείες” είναι συνέπεια της αγνοίας της ελληνικής (άμα τε και της γεωμετρίας) η οποία χαρακτηρίζει ορισμένους “συγγραφείς”:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Π.χ. εις το βιβλίο που προανέφερα, υπάρχει και μία άλλη ...απιθανότερη “ερμηνεία”:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Ευθεία γραμμή είναι εκείνη που απέχει εξ ίσου από τα άκρα της”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Άρα τα άκρα της απέχουν εξ ίσου από αυτήν.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν τα άκρα της γραμμής κείνται επ' αυτής ήτοι οι ίσες αποστάσεις είναι μηδενικές, τότε, σύμφωνα με την “ερμηνεία”, η κάθε γραμμή είναι ευθεία.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν οι ίσες αποστάσεις δεν είναι μηδενικές τότε τα άκρα της ευθείας ...δεν κείνται επ' αυτής. Σαν να λέμε: “Τράβα στη γωνία να δεις αν έρχομαι...”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο ορισμός του Ευκλείδη είναι:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Ευθεία γραμμή εστίν ήτις εξ ίσου κείται (όχι απέχει) τοις εφ' εαυτής σημείοις”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν αυτός ο ορισμός “είναι σκοτεινός” όπως δηλώνει και ο Ευάγγελος Σταμάτης εις την σελίδα 29 του πρώτου τόμου των Στοιχείων, τότε, οι καλοί συγγραφείς, καλά θα κάμουν να τον αφήσουν στη ...σκοτεινιά του και να μη διατυπώνουν μπουρδολογικές ερμηνείες.[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Οι συγγραφείς του τωρινού βιβλίου... δεν γράφουν ουδέν περί των επιμάχων ορισμών και έχουν το κεφαλάκι τους ήσυχο. Διευκρινίζουν βέβαια ότι οι ορισμοί (π.χ.) του σημείου και της ευθείας δεν χρησιμοποιούνται εις τις αποδείξεις. Ο ισχυρισμός αυτός είναι ψευδής:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Π.χ. στην τέταρτη κιόλας αποδεικτική πρόταση ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την κοινή έννοια ότι “δύο ευθείαι χωρίον ου περιέχουσιν”. Λέγει δηλαδή, ότι εάν τα άκρα δύο ευθειών (αυτό που, εμείς, λέμε “ευθύγραμμο τμήμα”) ταυτιστούν τότε και οι ευθείες ταυτίζονται διαφορετικά θα περιείχαν χωρίο “όπερ εστίν αδύνατον”. Η εν λόγω έννοια η οποία χρησιμοποιείται εις την απόδειξη, θεωρείται κοινή μόνον επειδή προκύπτει εκ του ορισμού της ευθείας τον οποίο έχει προθέσει. (Ειδεμή θα την περιελάμβανε εις τα αιτήματα).
Αλλά, και αν ακόμη, ο ισχυρισμός των συγγαφέων, ήταν αληθής, θα ήταν σαν να λέγουν ότι όταν πέσεις στο κενό χρειάζεσαι το αλεξίπτωτο και όχι τον ορισμό του. Βέβαια, αλλά τον ορισμό τον χρειάζεσαι και μάλιστα εκ των προτέρων, διά να μη πάρεις το ...αλεξήλιο και νομίζεις ότι κρατάς αλεξίπτωτο...
...
[/FONT] [FONT=Times New Roman, serif]Εξ αιτίας παρομοίων φαινομένων πρότεινα κι' εγώ, εις όποιον θέλει να μάθει γεωμετρία, αντί των ψευδεπωνύμων “συγγραφών” να επιλέξει τα Στοιχεία του Ευκλείδη (#24).[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Σημείωση:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Την ερμηνεία του Ευκλειδείου ορισμού της ευθείας θα την πραγματευτώ εάν εκδηλωθεί σχετικό ενδιαφέρον.[/FONT]

Αλεξίνοος · 24-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξίνοος:
[FONT=Times New Roman, serif]
[/FONT] [FONT=Times New Roman, serif]Εξ αιτίας παρομοίων φαινομένων πρότεινα κι' εγώ, εις όποιον θέλει να μάθει γεωμετρία, αντί των ψευδεπωνύμων “συγγραφών” να επιλέξει τα Στοιχεία του Ευκλείδη (#24).[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Ένα γεγονός και δύο ερωτήματα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Το γεγονός:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εις την 27η σελίδα του σχολικού βιβλίου της γεωμετρίας ο μαθητής βλέπει, σε μία εφαρμογή, ένα κύκλο κέντρου Ο και ένα τόξο του (ΓΑ), τέτοιο ώστε 9(ΓΑ) να ισούνται με 360 “μοίρες”, ενώ στο τέλος της εφαρμογής βλέπει και ότι, η γωνία ΓΟΑ, είναι (βεβαίως) 40 “μοιρών”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]1ον ερώτημα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν, κατόπιν αυτού, ο μαθητής νομίσει πως, το κανονικό εννεάγωνο, κατασκευάζεται (όπως το οκτάγωνο και το δεκάγωνο), δεν θα έχει πέσει θύμα παραπλάνησης;[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]2ον ερώτημα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν οι συγγραφείς δεν ενεργούν ασκόπως, εις τί αποσκοπούν;[/FONT]

antwwwnis · 24-02-11

Δεν κατασκευαζεται γωνια ιση με 40° ?

garch · 24-02-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Δεν κατασκευαζεται γωνια ιση με 40° ?

Εξ' όσων γνωρίζω κυρίως από τη θητεία μου στην πρακτική γεωμετρία του σχεδιασμού και όχι μόνο, είναι αδύνατη η τριχοτόμηση γωνίας άλλης από αυτή των 90 μοιρών και των πολλαπλασίων της.

Με κανόνα και διαβήτη και όχι με μοιρογνωμόνιο δεν ξέρω να κατασκευάζεται γωνία 40 μοιρών.

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξίνοος:
[FONT=Times New Roman, serif]Ένα γεγονός και δύο ερωτήματα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Το γεγονός:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εις την 27η σελίδα του σχολικού βιβλίου της γεωμετρίας ο μαθητής βλέπει, σε μία εφαρμογή, ένα κύκλο κέντρου Ο και ένα τόξο του (ΓΑ), τέτοιο ώστε 9(ΓΑ) να ισούνται με 360 “μοίρες”, ενώ στο τέλος της εφαρμογής βλέπει και ότι, η γωνία ΓΟΑ, είναι (βεβαίως) 40 “μοιρών”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]1ον ερώτημα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν, κατόπιν αυτού, ο μαθητής νομίσει πως, το κανονικό εννεάγωνο, κατασκευάζεται (όπως το οκτάγωνο και το δεκάγωνο), δεν θα έχει πέσει θύμα παραπλάνησης;[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]2ον ερώτημα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν οι συγγραφείς δεν ενεργούν ασκόπως, εις τί αποσκοπούν;[/FONT]

Δεν ξέρω σε ποιο βιβλίο συγκεκριμένα αναφέρεσαι, αλλά απ' όσο θυμάμαι στη 2α λυκείου διδασκόμαστε κατασκευή κανονικών πολυγώνων. Κάπου πρέπει να αναφέρεται ρητά πως ΔΕΝ κατασκευάζεται κανονικό 9γωνο.

Τώρα οι συγγραφείς να αποσκοπούν κάπου με το να αποκρύψουν εσκεμμένα από 17χρονα άτομα (που πραγματικά αν εξαιρέσουμε 2-3 ανά τάξη δεν τους νοιάζει κιόλας) ότι είναι αδύνατη η κατασκευή κανονικού 9γώνου το βρίσκω κάπως υπερβολικό

antwwwnis · 24-02-11

Πισω απο τη συγγραφη βρισκονται τα καταχθονια σχεδια των βριλ!

Αλεξίνοος · 24-02-11

Αρχική Δημοσίευση από garch:
1ον: Δεν ξέρω σε ποιο βιβλίο συγκεκριμένα αναφέρεσαι,...
...
2ον: Τώρα οι συγγραφείς να αποσκοπούν κάπου με το να αποκρύψουν εσκεμμένα από 17χρονα άτομα (που πραγματικά αν εξαιρέσουμε 2-3 ανά τάξη δεν τους νοιάζει κιόλας) ότι είναι αδύνατη η κατασκευή κανονικού 9γώνου το βρίσκω κάπως υπερβολικό

[FONT=Times New Roman, serif]1ον: Βιβλίο Α και Β, Γενικού Λυκείου, έκδοση 2008, σελιδα 27.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]2ον: Εάν λοιπόν (κατά την γνώμη σου) δεν ενεργούν σκοπίμως, ενεργούν ασκόπως...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Πάντως, προτού να τους θεωρήσεις άσκοπους, σκέψου ότι μπορεί να υπάρχει και άλλη σκοπιμότητα από αυτήν που αναφέρεις...[/FONT]

Αλεξίνοος · 24-02-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Πισω απο τη συγγραφη βρισκονται τα καταχθονια σχεδια των βριλ!

[FONT=Times New Roman, serif]Τίνος σχεδίου αποτέλεσμα υπήρξε η αφέλεια με την οποία ερωτάς εάν δεν κατασκευάζεται η γωνία των 40 “μοιρών”.[/FONT]

Οι μαθηματικοί από πού ξέρουν γεωμετρία;

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος