Μήκος καμπύλης σε γραφική παράσταση

[juanium]

Καλησπέρα παιδιά, καθόμουν και σκεφτόμουν σήμερα, μια που ορίσαμε το ολοκλήρωμα στο φροντιστήριο τον τελευταίο καιρό, κάτι εξίσου ενδιαφέρον με το εμβαδόν κάτω απο καμπύλη. Δηλαδή το ίδιο το μήκος της καμπύλης. Θέλω λοιπόν να μοιραστώ με εσάς τους μαθηματικοδουλευταράδες του φόρουμ τις σκέψεις μου στο θέμα. Πρώτα πρώτα πήρα το γνωστό σχήμα με τα μικρά ορθογώνια που οπτικοποιεί το πως βρίσκουμε το εμβαδόν. Αθώα πρώτη σκέψη ήταν να αθροίσω τις οριζόντιες πλευρές των ορθογωνίων, βεβαια μετα ενιωσα χαζός γιατι απλα αυτη ειναι η οριζοντια απόσταση των α,β που έστω οτι ειναι τα ακρα του μηκους καμπύλης που θέλω. Μετά λέω στον εαυτό μου: "οκ, στην ουσία εκτός απο την οριζόντια απόσταση θελω να λάβω υπόψιν και οτι τρελες κανει η γραφικη παρασταση κατακορυφα, άρα πρεπει να ρίξω μεσα και κατακορυφες μεταβολες." Σκέφτηκα λοιπόν να πάρω τις υποτείνουσες απο τα τρίγωνα που δείχνω στην παρακάτω εικόνα (σε οριακα μεγέθη) και ίσως τελικά το άθροισμα αυτό να μου δίνει όντως το μήκος της καμπύλης. Αυτά βασικα, πείτε μου παρακαλώ αμα ισχύει αυτό που λεω γιατι μεχρι να ανοιξουν φροντ και σχολεία έχουμε ακομα και θα με φάει η απορία.

 

[nearos]

8.1: Arc Length

In this section, we use definite integrals to find the arc length of a curve. We can think of arc length as the distance you would travel if you were walking along the path of the curve. Many real-…

math.libretexts.org

Μπορεί αυτό να σου φανεί χρήσιμο.
Νομίζω με τις υποτείνουσες το προσεγγίζεις

 

[juanium]

8.1: Arc Length

In this section, we use definite integrals to find the arc length of a curve. We can think of arc length as the distance you would travel if you were walking along the path of the curve. Many real-…

math.libretexts.org

Μπορεί αυτό να σου φανεί χρήσιμο.
Νομίζω με τις υποτείνουσες το προσεγγίζεις

καλοο, θενκ γιου

 

[Samael]

Καλησπέρα παιδιά, καθόμουν και σκεφτόμουν σήμερα, μια που ορίσαμε το ολοκλήρωμα στο φροντιστήριο τον τελευταίο καιρό, κάτι εξίσου ενδιαφέρον με το εμβαδόν κάτω απο καμπύλη. Δηλαδή το ίδιο το μήκος της καμπύλης. Θέλω λοιπόν να μοιραστώ με εσάς τους μαθηματικοδουλευταράδες του φόρουμ τις σκέψεις μου στο θέμα. Πρώτα πρώτα πήρα το γνωστό σχήμα με τα μικρά ορθογώνια που οπτικοποιεί το πως βρίσκουμε το εμβαδόν. Αθώα πρώτη σκέψη ήταν να αθροίσω τις οριζόντιες πλευρές των ορθογωνίων, βεβαια μετα ενιωσα χαζός γιατι απλα αυτη ειναι η οριζοντια απόσταση των α,β που έστω οτι ειναι τα ακρα του μηκους καμπύλης που θέλω. Μετά λέω στον εαυτό μου: "οκ, στην ουσία εκτός απο την οριζόντια απόσταση θελω να λάβω υπόψιν και οτι τρελες κανει η γραφικη παρασταση κατακορυφα, άρα πρεπει να ρίξω μεσα και κατακορυφες μεταβολες." Σκέφτηκα λοιπόν να πάρω τις υποτείνουσες απο τα τρίγωνα που δείχνω στην παρακάτω εικόνα (σε οριακα μεγέθη) και ίσως τελικά το άθροισμα αυτό να μου δίνει όντως το μήκος της καμπύλης. Αυτά βασικα, πείτε μου παρακαλώ αμα ισχύει αυτό που λεω γιατι μεχρι να ανοιξουν φροντ και σχολεία έχουμε ακομα και θα με φάει η απορία.
View attachment 143160

Καλησπέρα.
Είχα ασχοληθεί με ακριβώς το ίδιο πρόβλημα όταν πήγαινα Γ λυκείου !
Πράγματι όπως είπες το μήκος της καμπύλης προκύπτει εαν αθροίσεις όλα τα στοιχειώδη τμήματα απο τις υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων :

dx² + dy² = ds² =>
ds = sqrt( dx² + dy² ) =>
ds = sqrt[ 1+ (dy/dx)² ] dx =>

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω ποσότητα απο x = α εως x = β, βρίσκεις το συνολικό μήκος της καμπύλης της συνάρτησης μεταξύ των θέσεων x = α και x = β :

s = S sqrt[ 1+ (f'(x))² ] dx , x = α -> x = β

 

[juanium]

Καλησπέρα.
Είχα ασχοληθεί με ακριβώς το ίδιο πρόβλημα όταν πήγαινα Γ λυκείου !
Πράγματι όπως είπες το μήκος της καμπύλης προκύπτει εαν αθροίσεις όλα τα στοιχειώδη τμήματα απο τις υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων :

dx² + dy² = ds² =>
ds = sqrt( dx² + dy² ) =>
ds = sqrt[ 1+ (dy/dx)² ] dx =>

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω ποσότητα απο x = α εως x = β, βρίσκεις το συνολικό μήκος της καμπύλης της συνάρτησης μεταξύ των θέσεων x = α και x = β :

s = S sqrt[ 1+ (f'(x))² ] dx , x = α -> x = β

Τέλειο, ευχαριστώ πολύ Σαμαελ!

 

[γιαννης_00]

Καλημερα και καλη χρονια και καλη επιτυχία τον ιουνιο.

Τωρα εσυ θες να μπεις σε χωραφια πανεπιστημιου θετικων και μαλιστα φυσικου και μηχανικων... οκ μια χαρα ανήσυχο παιδι εισαι.
Μια και πραγματεύεσαι εργο επι καμπυλης για δες την παρακατω ασκηση.
Η Β περίπτωση σε ενδιαφέρει και κυρίως πως απο δυο μεταβλητές πάμε σε μια.

Ασκηση φυσικου σεμφε

 

[juanium]

Καλημερα και καλη χρονια και καλη επιτυχία τον ιουνιο.

Τωρα εσυ θες να μπεις σε χωραφια πανεπιστημιου θετικων και μαλιστα φυσικου και μηχανικων... οκ μια χαρα ανήσυχο παιδι εισαι.
Μια και πραγματεύεσαι εργο επι καμπυλης για δες την παρακατω ασκηση.
Η Β περίπτωση σε ενδιαφέρει και κυρίως πως απο δυο μεταβλητές πάμε σε μια.

Ασκηση φυσικου σεμφε
View attachment 143174
View attachment 143175
View attachment 143177
View attachment 143178
View attachment 143179
View attachment 143180
View attachment 143181
View attachment 143182

Αρχικά μου φάνηκαν ακαταλβίστικα εντελώς έτσι; Τωρα κατι πιανω. Θυμαμαι μια φορα στην ταξη στο σχολειο ελυνε ενα παιδι μια ασκηση στον πινακα και ηθελε εργο μεταβλητης δυναμης (προφανώς γραμμική εξίσωση με την θέση λόγω λυκειου, καταλαβες) και ανοιγω εκει το τετράδιο και το κανω με ολοκληρωμα για χαβαλε, μια χαρα βγηκε.

 

[γιαννης_00]

Αρχικά μου φάνηκαν ακαταλβίστικα εντελώς έτσι; Τωρα κατι πιανω. Θυμαμαι μια φορα στην ταξη στο σχολειο ελυνε ενα παιδι μια ασκηση στον πινακα και ηθελε εργο μεταβλητης δυναμης (προφανώς γραμμική εξίσωση με την θέση λόγω λυκειου, καταλαβες) και ανοιγω εκει το τετράδιο και το κανω με ολοκληρωμα για χαβαλε, μια χαρα βγηκε.

ενταξει η μεταβλητη δυναμη ειναι ο κομπαρσος της υποθεσης μπορεις να την βαλεις και 1i+1j ( ωχ μπλεξαμε με διανυσματα)
Η καμπυλη εχει το ζουμι
καλη τυχη

 

[nearos]

Αρχικά μου φάνηκαν ακαταλβίστικα εντελώς έτσι; Τωρα κατι πιανω. Θυμαμαι μια φορα στην ταξη στο σχολειο ελυνε ενα παιδι μια ασκηση στον πινακα και ηθελε εργο μεταβλητης δυναμης (προφανώς γραμμική εξίσωση με την θέση λόγω λυκειου, καταλαβες) και ανοιγω εκει το τετράδιο και το κανω με ολοκληρωμα για χαβαλε, μια χαρα βγηκε.

Άμα θες να τρολλάρεις κανά παιδάκι Α λυκείου λύσε του την άσκηση στη φυσική (απλή ΕΟΚ) με ολοκλήρωμα ή sum function, θα πάθει ανεύρυσμα

 

[juanium]

Άμα θες να τρολλάρεις κανά παιδάκι Α λυκείου λύσε του την άσκηση στη φυσική (απλή ΕΟΚ) με ολοκλήρωμα ή sum function, θα πάθει ανεύρυσμα

Την επόμενη φορά που θα έρθει κάνα τέτοιο στο σχολείο για βοήθεια ψήνω Χαχαχα

 

[γιαννης_00]

Άμα θες να τρολλάρεις κανά παιδάκι Α λυκείου λύσε του την άσκηση στη φυσική (απλή ΕΟΚ) με ολοκλήρωμα ή sum function, θα πάθει ανεύρυσμα

σεμναααα...
Η γνωση για να ειναι γνωση πρεπει να διαδιδεται.
Και εσας οπως καποιος σας εμαθε ετσι και εσεις πρεπει να μαθετε αλλους.
Τα νεoτερα παιδια εχουν δικαιωμα να σας εμπιστευονται και οχι να σας βριζουν.