Αφού έσπασα κάνα 100 εγκεφαλικά νεύρα, νομίζω πως βρήκα μια λύση για το πρόβλημα 2!!
Καταρχάς πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της σχέσης χ<=y<=z ( συγγνώμη, ούτε εγώ ξέρω latex!!) με το χ, και σύμφωνα με την ιδιότητα α<β => αγ < βγ έχουμε χ ^ 2<=yχ<=zχ. Κάνουμε το ίδιο, αλλά αυτή την φορά πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το z: zχ <=zy<=z ^ 2. Από αυτά βγάζουμε το συμπέρασμα ότι yχ<=zχ<=zy ( το χ ^ 2 και το z ^ 2 δεν τα συμπεριλαμβάνουμε, επειδή δεν μας χρειάζονται.
Τώρα, χρησιμοποιώντας την εις άτοπον απαγωγή, θα αποδείξουμε ότι zχ < 1/2 : Έστω zχ >= 1/2.Πρώτη Περίπτωση : Αν zχ = 1/2, τότε το zy θα έπρεπε και αυτό να ισούται με το 1/2, αφού xy+yz+zx=1, αλλά έτσι αποδεικνύουμε ότι x, z, y είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός, και έτσι το xy θα έπρεπε επίσης να έχει τιμή διάφορη του μηδενός, αφού είναι γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών διαφόρων του μηδενός. Αλλά έτσι xy+yz+zx είναι διάφορο του 1. Εκτός αν χy είναι μικρότερο του μηδενός και zy μεγαλύτερο του 1/2, αλλά ούτε αυτό ισχύει, αφού έτσι θα έπρεπε , αν πχ ο χ του γινομένου χy είναι ο αρνητικός παράγοντας, και το γινόμενο zχ να είναι αρνητικό, που δεν ισχύει, εκτός αν ο z ήταν αρνητικός, έτσι ώστε το γινόμενο zχ να είναι θετικό. Αλλά ούτε αυτό πάλι μπορεί να ισχύει, γιατί έτσι το γινόμενο yz γίνεται αυτομάτως αρνητικό, εκτός αν ο y αρνητικός, άρα και το γινόμενο xy είναι θετικό, κάτι που δεν μπορεί να ισχύει. Άρα zχ = 1/2 απορρίπτεται.
Δεύτερη εκδοχή : zχ > 1/2. Εδώ τα πράγματα είναι πιο απλά, αφού αν zχ > 1/2, τότε καταρρίπτεται το zχ<=zy, αφού για να είναι xy+yz+zx=1 πρέπει το zy να είναι μικρότερο του zχ, ακόμα και αν xy = 0, που ούτε αυτό ισχύει.
Συμπέρασμα : αφού zχ >= 1/2 δεν ισχύει, ισχύει το αντίθετό του, δηλαδή ότι zχ < 1/2
Ελέγξτε αν μπορείτε την λύση μου, γιατί είμαι επιρρεπής στα βιαστικά λάθη!!! Και αν βρείτε λάθος, τότε την επόμενη φορά θα προσέχω πιο πολύ (και ας κάψω 200 νευρικά κύτταρα

