Αρχική Forum
Ρωτήστε κάτι
Προσωπικές Συζητήσεις
Πανελλαδικές
Αγγελίες
Συνδεδεμένοι Χρήστες
Λίστα Αποκλεισμένων
Υπεύθυνοι του Forum
e-steki
07-02-12
16:13
Ούτε το άθροισμα αλλά ούτε και το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων μπορεί να είναι τετράγωνο κάποιου άλλου ακεραίου.
Ζητώ συγνώμη, ξέχασα τη λέξη άλλου στην εκφώνηση.
Έστω οι ακέραιοι αριθμοί ν, ν+1, ν+2, ν+3.
Άθροισμα
+(\nu +2)+(\nu +3)=4\nu +6=4\nu +4+2=4(\nu +1)+2=4\mu +2)
. A άρτιος.
Αν υποθέσουμε ότι
, τότε και κ άρτιος, άρα της μορφής 2λ.
Έχουμε:
}^{2}\Leftrightarrow 4\mu +2=4{\lambda }^{2} \Leftrightarrow 2(2\mu +1)=2\cdot 2{\lambda }^{2}\Leftrightarrow 2\mu +1=2{\lambda }^{2})
. Δηλαδή ένας περιττός ισούται με ένα άρτιο. Άτοπο.
Πώς αλλιώς μπορεί να αποδειχθεί, με βάση τις μορφές τετραγώνων;
Γινόμενο
Αν ν = 0, -1, -2, -3 , ένας από τους αριθμούς μηδενίζεται και το γινόμενο γίνεται 0, δηλαδή ναι μεν τετράγωνο ακεραίου,αλλά ενός από τους τέσσερις αριθμούς.
Έχουμε
Γ =(\nu +2)(\nu +3)={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+11{\nu }^{2}+6\nu )
Έχουμε επίσης
Δ1 =}^{2}={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+9{\nu }^{2})
και
Δ2 =}^{2}={\nu }^{4}+6{\nu }^{3}+11{\nu }^{2}+6\nu +1)
Όμως Δ1, Δ2 τετράγωνα διαδοχικών ακεραίων.
Θα δείξουμε ότι Δ1<Γ<Δ2. Προφανώς ισχύει ότι Γ<Δ2.
Θα δείξουμε ότι Γ>Δ1.
>0)
Προφανώς ισχύει για ν>0 και ν<-3.
Μιά κάπως διαφορετική λύση χωρίς το Δ1. Αν πούμε Δ2-1=Γ (που ισχύει), πως καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα;
Ζητώ συγνώμη, ξέχασα τη λέξη άλλου στην εκφώνηση.
Έστω οι ακέραιοι αριθμοί ν, ν+1, ν+2, ν+3.
Άθροισμα
Αν υποθέσουμε ότι
Έχουμε:
Πώς αλλιώς μπορεί να αποδειχθεί, με βάση τις μορφές τετραγώνων;
Γινόμενο
Αν ν = 0, -1, -2, -3 , ένας από τους αριθμούς μηδενίζεται και το γινόμενο γίνεται 0, δηλαδή ναι μεν τετράγωνο ακεραίου,αλλά ενός από τους τέσσερις αριθμούς.
Έχουμε
Γ =
Έχουμε επίσης
Δ1 =
και
Δ2 =
Όμως Δ1, Δ2 τετράγωνα διαδοχικών ακεραίων.
Θα δείξουμε ότι Δ1<Γ<Δ2. Προφανώς ισχύει ότι Γ<Δ2.
Θα δείξουμε ότι Γ>Δ1.
Προφανώς ισχύει για ν>0 και ν<-3.
Μιά κάπως διαφορετική λύση χωρίς το Δ1. Αν πούμε Δ2-1=Γ (που ισχύει), πως καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
